مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تركيب دالتين

المفاهيم الأساسية

تركيب دالتين: عملية تطبيق دالة على ناتج دالة أخرى. يمكن أن يكون تركيب دالتين غير معرّف.

خريطة المفاهيم

```markmap

تهيئة الفصل 4

تبسيط العبارات الجذرية

مثال: تبسيط √(45/20)

#### خطوات الحل

• ضرب البسط والمقام في √20
• تبسيط √900 إلى 30
• النتيجة: 3/2 أو 1.5

القسمة التركيبية

خطوات العمل

#### 1. تحديد قيمة r من المقسوم عليه (x - r)

#### 2. كتابة معاملات المقسوم

#### 3. إجراء خوارزمية القسمة التركيبية

#### 4. كتابة النتيجة (خارج القسمة + الباقي/المقسوم عليه)

مثال: (3x⁴ + 4x³ + x² + 9x - 6) ÷ (x + 2)

#### r = -2

#### النتيجة: 3x³ - 2x² + 5x - 1 - 4/(x+2)

تطبيقات حياتية

الطاقة الحركية

#### معادلة السرعة: v = \sqrt{\frac{2KE}{m}}

#### تبسيط المعادلة عند معرفة الكتلة (m = 0.50 kg)

المبيعات

#### نموذج تقدير المبيعات: n = \frac{4000x²}{x² + 50}

#### حيث x: المبلغ المنفق على الدعاية (بمئات الريالات)

#### n: عدد السلع المبيعة

العمليات على الدوال

العمليات الحسابية

#### الجمع: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

#### الطرح: (f-g)(x) = f(x) - g(x)

#### الضرب: (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

#### القسمة: (f/g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0

مجال العمليات على الدوال

#### الجمع، الطرح، الضرب: تقاطع مجالَيْ f و g.

#### القسمة: تقاطع مجالَيْ f و g، مع استثناء قيم x التي تجعل المقام g(x) = 0.

تركيب دالتين

#### تعريف التركيب

• (f \circ g)(x) = f[g(x)]
• (g \circ f)(x) = g[f(x)]

#### شروط التعريف

• (f \circ g)(x) معرف فقط إذا كانت g(x) عنصرًا في مجال f.
• (g \circ f)(x) معرف فقط إذا كانت f(x) عنصرًا في مجال g.

#### أمثلة على التركيب

##### مثال 3 (أ): دوال مجموعة مرتبطة

• f = \{(1, 8), (0, 13), (14, 9), (15, 11)\}
• g = \{(8, 15), (5, 1), (10, 14), (9,0)\}
• f \circ g = \{(8, 11), (5, 8), (10, 9), (9, 13)\}
• g \circ f غير معرفة بالكامل لأن g(13) و g(11) غير معرفتين.

##### مثال 3 (ب): دوال حدودية

• f(x) = 2x - 5, g(x) = 4x
• (f \circ g)(x) = f[g(x)] = f(4x) = 8x - 5
• (g \circ f)(x) = g[f(x)] = g(2x - 5) = 8x - 20

#### ملاحظة مهمة

• في معظم الحالات: f \circ g \neq g \circ f
• ترتيب الدالتين عند التركيب مهم.

إرشادات للدراسة

التركيب

• كن حذرًا من الخلط بين:

- تركيب دالتين: (f \circ g)(x) أو f[g(x)]

- ضرب دالتين: (f \cdot g)(x)

```

نقاط مهمة

• التركيب (f \circ g)(x) يقرأ "f تركيب g" ويُحسب بتطبيق g أولاً ثم f على الناتج.
• التركيب ليس عملية تبديلية، أي (f \circ g)(x) لا يساوي بالضرورة (g \circ f)(x).
• يجب التحقق من مجال التركيب للتأكد من أن ناتج الدالة الداخلية يقع ضمن مجال الدالة الخارجية.

يمكن أن يكون تركيب دالتين غير معرّف. فإذا كانت f و 8 دالتين، فإن (fox] يكون معرفًا فقط عند قيم x التي تجعل (x) 8 عنصرًا في مجال الدالة . وكذلك تكون الدالة (of(x] معرفة فقط عند قيم x التي تجعل (f(x عنصرًا في مجال الدالة ..

تركيب دالتين

أوجد (fo g] (x), [g of] (x]، لكل زوج من الدوال الآتية، إذا كان ذلك ممكنا:

f = {(1, 8), (0, 13), (14, 9), (15, 11)}, g = {(8, 15), (5, 1), (10, 14), (9,0)} (a

لإيجاد fog، أوجد قيم (x) أولا، ثم استعملها كقيم من مجال الدالة لإيجاد [(f [g (x

g(8) = 15 f[g(8)] = f(15) = 11 g(10) = 14 f[g(10)] = f(14) = 9 g(5) = 1 f[g(5)] = f(1) = 8 g (9) = 0 f[g(9)] = f(0) = 13 fog = {(8, 11), (5, 8), (10, 9), (9, 13)}

لإيجاد g of ، أوجد قيم (f(x أولا ثم استعملها كقيم من مجال الدالة 8 ، لإيجاد [(g [ f(x

f(1) = 8 g[f(1)] = g(8) = 15 f(14) = 9 g[f(14)] = g(9) = 0 f(0) = 13 g[f(0)] = g(13) f(15) = 11 g[f(15)] = g(11) (13) غير معرفة (11) غير معرفة

وبما أن 13, 11 لا ينتميان لمجال الدالة 8 فإن الدالة g of غير معرفة عند 11 = x و 13 = x وبما أن .go f = {(1, 15), g[f(1)] = 15, g[f(14)] = 0

f(x) = 2x - 5, g(x) = 4x (b [fog](x) = f[g(x)] = f(4x) = 2(4x) - 5 = 8x - 5

[gof](x) = g[f(x)] = g(2x - 5) = 4(2x - 5) = 8x - 20

التركيب كن حذرا من الخلط بين عملية تركيب دالتين [(f[g (x وعملية ضرب دالتين .(f.g)(x)

تحقق من فهمك f(x) = {(3,2), (−1, −5), (4, 7), (10,8)}, g(x) = {(4,3), (2, 1), (9, 4), (3, 10)} (3A

f(x) = x² + 2, g(x) = x - 6 (3B

لاحظ أنه في معظم الحالات تكون f o g of ؛ لذا فإن ترتيب الدالتين عند تركيبهما مهم.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447

180 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية

يمكن أن يكون تركيب دالتين غير معرّف. فإذا كانت f و 8 دالتين، فإن (fox] يكون معرفًا فقط عند قيم x التي تجعل (x) 8 عنصرًا في مجال الدالة . وكذلك تكون الدالة (of(x] معرفة فقط عند قيم x التي تجعل (f(x عنصرًا في مجال الدالة .. --- SECTION: مثال 3 --- تركيب دالتين أوجد (fo g] (x), [g of] (x]، لكل زوج من الدوال الآتية، إذا كان ذلك ممكنا: f = {(1, 8), (0, 13), (14, 9), (15, 11)}, g = {(8, 15), (5, 1), (10, 14), (9,0)} (a لإيجاد fog، أوجد قيم (x) أولا، ثم استعملها كقيم من مجال الدالة لإيجاد [(f [g (x g(8) = 15 f[g(8)] = f(15) = 11 g(10) = 14 f[g(10)] = f(14) = 9 g(5) = 1 f[g(5)] = f(1) = 8 g (9) = 0 f[g(9)] = f(0) = 13 fog = {(8, 11), (5, 8), (10, 9), (9, 13)} لإيجاد g of ، أوجد قيم (f(x أولا ثم استعملها كقيم من مجال الدالة 8 ، لإيجاد [(g [ f(x f(1) = 8 g[f(1)] = g(8) = 15 f(14) = 9 g[f(14)] = g(9) = 0 f(0) = 13 g[f(0)] = g(13) f(15) = 11 g[f(15)] = g(11) (13) غير معرفة (11) غير معرفة وبما أن 13, 11 لا ينتميان لمجال الدالة 8 فإن الدالة g of غير معرفة عند 11 = x و 13 = x وبما أن .go f = {(1, 15), g[f(1)] = 15, g[f(14)] = 0 f(x) = 2x - 5, g(x) = 4x (b [fog](x) = f[g(x)] = f(4x) = 2(4x) - 5 = 8x - 5 [gof](x) = g[f(x)] = g(2x - 5) = 4(2x - 5) = 8x - 20 --- SECTION: إرشادات للدراسة --- التركيب كن حذرا من الخلط بين عملية تركيب دالتين [(f[g (x وعملية ضرب دالتين .(f.g)(x) --- SECTION: 3A --- تحقق من فهمك f(x) = {(3,2), (−1, −5), (4, 7), (10,8)}, g(x) = {(4,3), (2, 1), (9, 4), (3, 10)} (3A --- SECTION: 3B --- f(x) = x² + 2, g(x) = x - 6 (3B لاحظ أنه في معظم الحالات تكون f o g of ؛ لذا فإن ترتيب الدالتين عند تركيبهما مهم. وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447 180 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية