سيارات - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 استعمال تركيب دالتين

المفاهيم الأساسية

تركيب دالتين: عملية تطبيق دالة على ناتج دالة أخرى. إذا كانت `d(x)` تمثل السعر بعد التخفيض و `r(x)` تمثل السعر بعد الخصم، فإن:

* `[r o d](x) = r[d(x)]` تمثل تطبيق التخفيض أولاً ثم الخصم.

* `[d o r](x) = d[r(x)]` تمثل تطبيق الخصم أولاً ثم التخفيض.

خريطة المفاهيم

```markmap

تهيئة الفصل 4

تبسيط العبارات الجذرية

مثال: تبسيط √(45/20)

#### خطوات الحل

• ضرب البسط والمقام في √20
• تبسيط √900 إلى 30
• النتيجة: 3/2 أو 1.5

القسمة التركيبية

خطوات العمل

#### 1. تحديد قيمة r من المقسوم عليه (x - r)

#### 2. كتابة معاملات المقسوم

#### 3. إجراء خوارزمية القسمة التركيبية

#### 4. كتابة النتيجة (خارج القسمة + الباقي/المقسوم عليه)

مثال: (3x⁴ + 4x³ + x² + 9x - 6) ÷ (x + 2)

#### r = -2

#### النتيجة: 3x³ - 2x² + 5x - 1 - 4/(x+2)

تطبيقات حياتية

الطاقة الحركية

#### معادلة السرعة: v = \sqrt{\frac{2KE}{m}}

#### تبسيط المعادلة عند معرفة الكتلة (m = 0.50 kg)

المبيعات

#### نموذج تقدير المبيعات: n = \frac{4000x²}{x² + 50}

#### حيث x: المبلغ المنفق على الدعاية (بمئات الريالات)

#### n: عدد السلع المبيعة

العمليات على الدوال

العمليات الحسابية

#### الجمع: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

#### الطرح: (f-g)(x) = f(x) - g(x)

#### الضرب: (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

#### القسمة: (f/g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0

مجال العمليات على الدوال

#### الجمع، الطرح، الضرب: تقاطع مجالَيْ f و g.

#### القسمة: تقاطع مجالَيْ f و g، مع استثناء قيم x التي تجعل المقام g(x) = 0.

تركيب دالتين

#### تعريف التركيب

• (f \circ g)(x) = f[g(x)]
• (g \circ f)(x) = g[f(x)]

#### شروط التعريف

• (f \circ g)(x) معرف فقط إذا كانت g(x) عنصرًا في مجال f.
• (g \circ f)(x) معرف فقط إذا كانت f(x) عنصرًا في مجال g.

#### أمثلة على التركيب

##### مثال 3 (أ): دوال مجموعة مرتبطة

• f = \{(1, 8), (0, 13), (14, 9), (15, 11)\}
• g = \{(8, 15), (5, 1), (10, 14), (9,0)\}
• f \circ g = \{(8, 11), (5, 8), (10, 9), (9, 13)\}
• g \circ f غير معرفة بالكامل لأن g(13) و g(11) غير معرفتين.

##### مثال 3 (ب): دوال حدودية

• f(x) = 2x - 5, g(x) = 4x
• (f \circ g)(x) = f[g(x)] = f(4x) = 8x - 5
• (g \circ f)(x) = g[f(x)] = g(2x - 5) = 8x - 20

#### ملاحظة مهمة

• في معظم الحالات: f \circ g \neq g \circ f
• ترتيب الدالتين عند التركيب مهم.

#### استعمال تركيب دالتين (مثال 4)

##### تطبيق: شراء سيارة

• المعطيات: تخفيض 12%، خصم 1500 ريال، سعر السيارة 64500 ريال.
• دالة التخفيض: d(x) = x - 0.12x = 0.88x
• دالة الخصم: r(x) = x - 1500
• التخفيض قبل الخصم: [r \circ d](64500) = r[d(64500)] = 55260
• الخصم قبل التخفيض: [d \circ r](64500) = d[r(64500)] = 55440
• النتيجة: السعر أقل عند تطبيق التخفيض قبل الخصم.

إرشادات للدراسة

التركيب

• كن حذرًا من الخلط بين:

- تركيب دالتين: (f \circ g)(x) أو f[g(x)]

- ضرب دالتين: (f \cdot g)(x)

```

نقاط مهمة

* ترتيب تطبيق العمليات (التخفيض النسبي والخصم المقطوع) يؤثر على السعر النهائي.

* لتحديد الخيار الأفضل، يجب حساب كلا الترتيبين `[r o d](x)` و `[d o r](x)` ومقارنة النتائج.

* التخفيض النسبي (مثل 12%) يعطي قيمة خصم أكبر عند تطبيقه على مبلغ أكبر.

استعمال تركيب دالتين

مثال 4 من واقع الحياة

سيارات: استعمل تركيب دالتين لحل المسألة الآتية: قدم معرض لبيع السيارات عرضًا بتخفيض 12% من قيمة كل سيارة جديدة. مضافًا إليه خصم مقداره 1500 ريال يقدمه وكيل شركة السيارات. فإذا أراد أحمد شراء سيارة جديدة سعرها 64500 ريال، فهل سيكون السعر النهائي للسيارة أقل إذا طبق التخفيض قبل الخصم أم بعده؟

افهم: المعطيات: • نسبة التخفيض من قيمة كل سيارة 12%، وقيمة الخصم 1500 ريال. • سعر السيارة التي يريد أحمد شراءها 64500 ريال. المطلوب: هل سيكون السعر النهائي للسيارة أقل إذا طبق التخفيض قبل الخصم أم بعده؟

خطط: افترض أن x تمثل السعر الأصلي للسيارة، و d(x) تمثل السعر بعد التخفيض، و r(x) تمثل السعر بعد الخصم؛ إذن [r o d](x) تمثل السعر إذا طبق التخفيض قبل الخصم، و [d o r](x) تمثل السعر إذا طبق الخصم قبل التخفيض.

حل: اكتب معادلتين لدالتي التخفيض (d(x))، والخصم (r(x)). يخفض المعرض 12% من السعر الأصلي للسيارة. فتكون دالة التخفيض d(x) = x - 0.12x = 0.88x يخصم الوكيل 1500 ريال من سعر كل سيارة جديدة؛ لذا فإن دالة الخصم هي: r(x) = x - 1500 إذا طبق التخفيض قبل الخصم، فإن السعر النهائي للسيارة يمثل بـ [r o d](64500) [r o d](x) = r[d(x)] [r o d](64500) = r[d(64500)] = r[0.88 (64500)] = r(56760) = 56760 - 1500 = 55260 أما إذا طبق الخصم قبل التخفيض، فإن السعر النهائي للسيارة يمثل بـ [d o r](64500) [d o r](x) = d[r(x)] [d o r](64500) = d[r(64500)] = d(64500 - 1500) = d(63000) = 0.88 (63000) = 55440 وبما أن 55440 = [d o r](64500) و 55260 = [r o d](64500)، فإن السعر النهائي للسيارة سيكون أقل عندما يطبق التخفيض قبل الخصم.

تحقق: تبدو الإجابة منطقية؛ لأن تخفيضًا نسبته 12% سيتم تطبيقه على قيمة أكبر؛ لذا ستكون قيمة التخفيض أعلى.

الربط مع الحياة في أعقاب الأزمة المالية العالمية عام 2009م، هبطت مبيعات كبرى شركات صناعة السيارات الأمريكية بصورة كبيرة بلغت 53% في أكبر انخفاض لها منذ 42 عامًا، مما اضطر هذه الشركات إلى خفض حجم إنتاجها بمقدار 40%.

تحقق من فهمك

4) تسوق: يقدم محل أجهزة كهربائية عرضين معًا على جهاز كهربائي هما: خصم 35 ريالاً، وتخفيض نسبته 15%، فإذا كان سعر الجهاز الأصلي 300 ريال، فأيهما يعطي سعرًا أقل: تطبيق التخفيض قبل الخصم أم بعده؟

وزارة التعليم

181

الدرس 1-4 العمليات على الدوال

استعمال تركيب دالتين مثال 4 من واقع الحياة --- SECTION: سيارات --- سيارات: استعمل تركيب دالتين لحل المسألة الآتية: قدم معرض لبيع السيارات عرضًا بتخفيض 12% من قيمة كل سيارة جديدة. مضافًا إليه خصم مقداره 1500 ريال يقدمه وكيل شركة السيارات. فإذا أراد أحمد شراء سيارة جديدة سعرها 64500 ريال، فهل سيكون السعر النهائي للسيارة أقل إذا طبق التخفيض قبل الخصم أم بعده؟ --- SECTION: افهم --- افهم: المعطيات: • نسبة التخفيض من قيمة كل سيارة 12%، وقيمة الخصم 1500 ريال. • سعر السيارة التي يريد أحمد شراءها 64500 ريال. المطلوب: هل سيكون السعر النهائي للسيارة أقل إذا طبق التخفيض قبل الخصم أم بعده؟ --- SECTION: خطط --- خطط: افترض أن x تمثل السعر الأصلي للسيارة، و d(x) تمثل السعر بعد التخفيض، و r(x) تمثل السعر بعد الخصم؛ إذن [r o d](x) تمثل السعر إذا طبق التخفيض قبل الخصم، و [d o r](x) تمثل السعر إذا طبق الخصم قبل التخفيض. --- SECTION: حل --- حل: اكتب معادلتين لدالتي التخفيض (d(x))، والخصم (r(x)). يخفض المعرض 12% من السعر الأصلي للسيارة. فتكون دالة التخفيض d(x) = x - 0.12x = 0.88x يخصم الوكيل 1500 ريال من سعر كل سيارة جديدة؛ لذا فإن دالة الخصم هي: r(x) = x - 1500 إذا طبق التخفيض قبل الخصم، فإن السعر النهائي للسيارة يمثل بـ [r o d](64500) [r o d](x) = r[d(x)] [r o d](64500) = r[d(64500)] = r[0.88 (64500)] = r(56760) = 56760 - 1500 = 55260 أما إذا طبق الخصم قبل التخفيض، فإن السعر النهائي للسيارة يمثل بـ [d o r](64500) [d o r](x) = d[r(x)] [d o r](64500) = d[r(64500)] = d(64500 - 1500) = d(63000) = 0.88 (63000) = 55440 وبما أن 55440 = [d o r](64500) و 55260 = [r o d](64500)، فإن السعر النهائي للسيارة سيكون أقل عندما يطبق التخفيض قبل الخصم. --- SECTION: تحقق --- تحقق: تبدو الإجابة منطقية؛ لأن تخفيضًا نسبته 12% سيتم تطبيقه على قيمة أكبر؛ لذا ستكون قيمة التخفيض أعلى. --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة في أعقاب الأزمة المالية العالمية عام 2009م، هبطت مبيعات كبرى شركات صناعة السيارات الأمريكية بصورة كبيرة بلغت 53% في أكبر انخفاض لها منذ 42 عامًا، مما اضطر هذه الشركات إلى خفض حجم إنتاجها بمقدار 40%. تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- 4) تسوق: يقدم محل أجهزة كهربائية عرضين معًا على جهاز كهربائي هما: خصم 35 ريالاً، وتخفيض نسبته 15%، فإذا كان سعر الجهاز الأصلي 300 ريال، فأيهما يعطي سعرًا أقل: تطبيق التخفيض قبل الخصم أم بعده؟ وزارة التعليم 181 الدرس 1-4 العمليات على الدوال --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: A photograph showing two white pickup trucks or SUVs parked side-by-side, facing slightly towards the left. The trucks appear to be modern vehicles. The background is blurred, suggesting a dealership or parking lot setting. Context: Illustrates the 'سيارات' example problem about car discounts and sales.