تأكد - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 العمليات على الدوال وتركيبها

المفاهيم الأساسية

* العمليات الحسابية على الدوال: (موجودة في الصفحة ضمن أسئلة "تأكد" و"تدرب") جمع وطرح وضرب وقسمة دالتين.

* تركيب الدوال: (موجودة في الصفحة ضمن أسئلة "تأكد" و"تدرب") إيجاد `f∘g` و `g∘f` لدوال محددة.

خريطة المفاهيم

```markmap

تهيئة الفصل 4

تبسيط العبارات الجذرية

مثال: تبسيط √(45/20)

#### خطوات الحل

• ضرب البسط والمقام في √20
• تبسيط √900 إلى 30
• النتيجة: 3/2 أو 1.5

القسمة التركيبية

خطوات العمل

#### 1. تحديد قيمة r من المقسوم عليه (x - r)

#### 2. كتابة معاملات المقسوم

#### 3. إجراء خوارزمية القسمة التركيبية

#### 4. كتابة النتيجة (خارج القسمة + الباقي/المقسوم عليه)

مثال: (3x⁴ + 4x³ + x² + 9x - 6) ÷ (x + 2)

#### r = -2

#### النتيجة: 3x³ - 2x² + 5x - 1 - 4/(x+2)

تطبيقات حياتية

الطاقة الحركية

#### معادلة السرعة: v = \sqrt{\frac{2KE}{m}}

#### تبسيط المعادلة عند معرفة الكتلة (m = 0.50 kg)

المبيعات

#### نموذج تقدير المبيعات: n = \frac{4000x²}{x² + 50}

#### حيث x: المبلغ المنفق على الدعاية (بمئات الريالات)

#### n: عدد السلع المبيعة

العمليات على الدوال

العمليات الحسابية

#### الجمع: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

#### الطرح: (f-g)(x) = f(x) - g(x)

#### الضرب: (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

#### القسمة: (f/g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0

مجال العمليات على الدوال

#### الجمع، الطرح، الضرب: تقاطع مجالَيْ f و g.

#### القسمة: تقاطع مجالَيْ f و g، مع استثناء قيم x التي تجعل المقام g(x) = 0.

تركيب دالتين

#### تعريف التركيب

• (f \circ g)(x) = f[g(x)]
• (g \circ f)(x) = g[f(x)]

#### شروط التعريف

• (f \circ g)(x) معرف فقط إذا كانت g(x) عنصرًا في مجال f.
• (g \circ f)(x) معرف فقط إذا كانت f(x) عنصرًا في مجال g.

#### أمثلة على التركيب

##### مثال 3 (أ): دوال مجموعة مرتبطة

• f = \{(1, 8), (0, 13), (14, 9), (15, 11)\}
• g = \{(8, 15), (5, 1), (10, 14), (9,0)\}
• f \circ g = \{(8, 11), (5, 8), (10, 9), (9, 13)\}
• g \circ f غير معرفة بالكامل لأن g(13) و g(11) غير معرفتين.

##### مثال 3 (ب): دوال حدودية

• f(x) = 2x - 5, g(x) = 4x
• (f \circ g)(x) = f[g(x)] = f(4x) = 8x - 5
• (g \circ f)(x) = g[f(x)] = g(2x - 5) = 8x - 20

#### ملاحظة مهمة

• في معظم الحالات: f \circ g \neq g \circ f
• ترتيب الدالتين عند التركيب مهم.

#### استعمال تركيب دالتين (مثال 4)

##### تطبيق: شراء سيارة

• المعطيات: تخفيض 12%، خصم 1500 ريال، سعر السيارة 64500 ريال.
• دالة التخفيض: d(x) = x - 0.12x = 0.88x
• دالة الخصم: r(x) = x - 1500
• التخفيض قبل الخصم: [r \circ d](64500) = r[d(64500)] = 55260
• الخصم قبل التخفيض: [d \circ r](64500) = d[r(64500)] = 55440
• النتيجة: السعر أقل عند تطبيق التخفيض قبل الخصم.

تمارين الصفحة 182

قسم "تأكد"

#### العمليات الحسابية على الدوال

• س1: f(x) = x + 2, g(x) = 3x - 1
• س2: f(x) = x²-5, g(x) = -x + 8

#### تركيب الدوال (مجموعات مرتبطة)

• س3: f = \{(2, 5), (6, 10), (12, 9), (7,6)\}, g = \{(9, 11), (6, 15), (10, 13), (5,8)\}
• س4: f = \{(-5, 4), (14, 8), (12, 1), (0, -3)\}, g = \{(-2,-4), (3, 2), (-1, 4), (5, -6)\}

#### تركيب الدوال (دوال حدودية)

• س5: f(x) = -3x, g(x) = 5x - 6
• س6: f(x) = x + 4, g(x) = x² + 3x - 10

#### تطبيق: الادخار (مثال 4)

• اقتطاع 8% للادخار، قسط 17.5%، الراتب 9500 ريال.
• السؤال: هل الادخار أكثر إذا كان الاقتطاع قبل القسط أم بعده؟

قسم "تدرب وحل المسائل"

#### العمليات الحسابية على الدوال

• س8: f(x) = x - 1, g(x) = 5x-2
• س9: f(x) = x², g(x) = -x + 1
• س10: f(x) = 3x²-4, g(x) = x² - 8x + 4

#### تطبيق: رياضة المشي (س11)

• سرعة راشد: I(x) = 3x - 4
• سرعة الممر المتحرك: W(x) = 4x + 7
• أ: الدالة عند السير في اتجاه الممر.
• ب: الدالة عند السير في عكس اتجاه الممر.

#### تركيب الدوال (مجموعات مرتبطة)

• س12: f = \{(5, 13), (-4, -2), (-8, -11), (3, 1)\}, g = \{(-8, 2), (-4, 1), (3, 3), (5, 7)\}
• س13: f = \{(-8,-4), (0,4), (2, 6), (-6, -2)\}, g = \{(4,-4), (-2, -1), (-4, 0), (6, -5)\}
• س14: f = \{(-1, 11), (2, 2), (5, -7), (4, 4)\}, g = \{(5,-4), (4, -3), (-1, 2), (2, 3)\}
• س15: f = \{(-4, -14), (0,6), (-6, -18), (2, 2)\}, g = \{(-6, 1), (-18, 13), (-14, 9), (-2, -3)\}

#### تركيب الدوال (دوال حدودية)

• س16: f(x) = 2x² - x + 1, g(x) = 4x + 3
• س17: f(x) = 4x - 1, g(x) = x³ + 2
• س18: f(x) = 2x2, g(x) = 8x2 + 3x

إرشادات للدراسة

التركيب

• كن حذرًا من الخلط بين:

- تركيب دالتين: (f \circ g)(x) أو f[g(x)]

- ضرب دالتين: (f \cdot g)(x)

```

نقاط مهمة

* تركز الصفحة على تطبيق قواعد العمليات على الدوال وتركيبها من خلال العديد من التمارين.

* التمارين تنقسم إلى نوعين: إيجاد ناتج العمليات الحسابية `(f+g)(x)`، وإيجاد تركيب الدوال `f∘g`.

* تظهر الدوال في صور متعددة: دوال حدودية (مثل `f(x)=x+2`) ومجموعات مرتبطة (مثل `f={(2,5), (6,10)}`).

* يوجد تطبيقان حياتيان: أحدهما عن الادخار والآخر عن حساب السرعة الكلية في رياضة المشي.

تأكد

المثالان 12

أوجد (f + g)(x), (f - g)(x), (f . g)(x), (f/g)(x) للدالتين f(x) ,g(x) في كل مما يأتي:

f(x) = x + 2

g(x) = 3x - 1

أوجد (f + g)(x), (f - g)(x), (f . g)(x), (f/g)(x) للدالتين f(x) ,g(x) في كل مما يأتي:

f(x) = x²-5

g(x) = -x + 8

مثال 3

أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية، إذا كان ذلك ممكنا:

f = {(2, 5), (6, 10), (12, 9), (7,6)}

g = {(9, 11), (6, 15), (10, 13), (5,8)}

أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية، إذا كان ذلك ممكنا:

f = {(-5, 4), (14, 8), (12, 1), (0, -3)}

g = {(-2,-4), (3, 2), (-1, 4), (5, -6)}

أوجد [fog](x), [g o f](x) في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا.

f(x) = -3x

g(x) = 5x - 6

أوجد [fog](x), [g o f](x) في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا.

f(x) = x + 4

g(x) = x² + 3x - 10

(7) ادخار: يقتطع ما نسبته 8% من راتب موظف للادخار. ويستطيع الموظف أن يختار بحيث يكون الاقتطاع قبل تسديده قسطا آخر قيمته 17.5% من الراتب، أو بعده. فإذا كان راتب الموظف قبل الاقتطاع وتسديد القسط 9500 ريال، فهل يكون ادخاره أكثر إذا كان الاقتطاع قبل تسديد القسط أم بعده؟ وضح إجابتك.

تدرب وحل المسائل

المثالان 12

أوجد (f + g)(x), (f - g)(x), (f . g)(x), (f/g)(x) للدالتين f(x) ,g(x) في كل مما يأتي:

f(x) = x - 1

g(x) = 5x-2

أوجد (f + g)(x), (f - g)(x), (f . g)(x), (f/g)(x) للدالتين f(x) ,g(x) في كل مما يأتي:

f(x) = x²

g(x) = -x + 1

أوجد (f + g)(x), (f - g)(x), (f . g)(x), (f/g)(x) للدالتين f(x) ,g(x) في كل مما يأتي:

f(x) = 3x²-4

g(x) = x² - 8x + 4

(11) رياضة المشي : يمشي راشد على ممر متحرك. فإذا كانت سرعته يعبر عنها بالدالة: I(x) = 3x - 4، وسرعة الممر المتحرك يعبر عنها بالدالة: W(x) = 4x + 7 ، حيث x الزمن بالثواني. (a) ما الدالة التي تعبّر عن سرعته الكلية إذا كان يمشي في اتجاه سير الممر المتحرك؟ (b) ما الدالة التي تعبر عن سرعته الكلية إذا مشى في عكس اتجاه سير الممر المتحرك؟

مثال 3

أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية ، إذا كان ذلك ممكنا:

f = {(5, 13), (-4, -2), (-8, -11), (3, 1)}

g = {(-8, 2), (-4, 1), (3, 3), (5, 7)}

أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية ، إذا كان ذلك ممكنا:

f = {(-8,-4), (0,4), (2, 6), (-6, -2)}

g = {(4,-4), (-2, -1), (-4, 0), (6, -5)}

أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية ، إذا كان ذلك ممكنا:

f = {(-1, 11), (2, 2), (5, -7), (4, 4)}

g = {(5,-4), (4, -3), (-1, 2), (2, 3)}

أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية ، إذا كان ذلك ممكنا:

f = {(-4, -14), (0,6), (-6, -18), (2, 2)}

g = {(-6, 1), (-18, 13), (-14, 9), (-2, -3)}

أوجد [fog](x), [g o f](x) في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا:

f(x) = 2x² - x + 1

g(x) = 4x + 3

أوجد [fog](x), [g o f](x) في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا:

f(x) = 4x - 1

g(x) = x³ + 2

أوجد [fog](x), [g o f](x) في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا:

f(x) = 2x2

g(x) = 8x2 + 3x

--- SECTION: تأكد --- تأكد --- SECTION: المثالان 1, 2 --- المثالان 12 --- SECTION: 1 --- أوجد (f + g)(x), (f - g)(x), (f . g)(x), (f/g)(x) للدالتين f(x) ,g(x) في كل مما يأتي: f(x) = x + 2 g(x) = 3x - 1 --- SECTION: 2 --- أوجد (f + g)(x), (f - g)(x), (f . g)(x), (f/g)(x) للدالتين f(x) ,g(x) في كل مما يأتي: f(x) = x²-5 g(x) = -x + 8 --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3 --- SECTION: 3 --- أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية، إذا كان ذلك ممكنا: f = {(2, 5), (6, 10), (12, 9), (7,6)} g = {(9, 11), (6, 15), (10, 13), (5,8)} --- SECTION: 4 --- أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية، إذا كان ذلك ممكنا: f = {(-5, 4), (14, 8), (12, 1), (0, -3)} g = {(-2,-4), (3, 2), (-1, 4), (5, -6)} --- SECTION: 5 --- أوجد [fog](x), [g o f](x) في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا. f(x) = -3x g(x) = 5x - 6 --- SECTION: 6 --- أوجد [fog](x), [g o f](x) في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا. f(x) = x + 4 g(x) = x² + 3x - 10 --- SECTION: مثال 4 --- (7) ادخار: يقتطع ما نسبته 8% من راتب موظف للادخار. ويستطيع الموظف أن يختار بحيث يكون الاقتطاع قبل تسديده قسطا آخر قيمته 17.5% من الراتب، أو بعده. فإذا كان راتب الموظف قبل الاقتطاع وتسديد القسط 9500 ريال، فهل يكون ادخاره أكثر إذا كان الاقتطاع قبل تسديد القسط أم بعده؟ وضح إجابتك. --- SECTION: تدرب وحل المسائل --- تدرب وحل المسائل --- SECTION: المثالان 1, 2 --- المثالان 12 --- SECTION: 8 --- أوجد (f + g)(x), (f - g)(x), (f . g)(x), (f/g)(x) للدالتين f(x) ,g(x) في كل مما يأتي: f(x) = x - 1 g(x) = 5x-2 --- SECTION: 9 --- أوجد (f + g)(x), (f - g)(x), (f . g)(x), (f/g)(x) للدالتين f(x) ,g(x) في كل مما يأتي: f(x) = x² g(x) = -x + 1 --- SECTION: 10 --- أوجد (f + g)(x), (f - g)(x), (f . g)(x), (f/g)(x) للدالتين f(x) ,g(x) في كل مما يأتي: f(x) = 3x²-4 g(x) = x² - 8x + 4 --- SECTION: 11 --- (11) رياضة المشي : يمشي راشد على ممر متحرك. فإذا كانت سرعته يعبر عنها بالدالة: I(x) = 3x - 4، وسرعة الممر المتحرك يعبر عنها بالدالة: W(x) = 4x + 7 ، حيث x الزمن بالثواني. (a) ما الدالة التي تعبّر عن سرعته الكلية إذا كان يمشي في اتجاه سير الممر المتحرك؟ (b) ما الدالة التي تعبر عن سرعته الكلية إذا مشى في عكس اتجاه سير الممر المتحرك؟ a. ما الدالة التي تعبّر عن سرعته الكلية إذا كان يمشي في اتجاه سير الممر المتحرك؟ b. ما الدالة التي تعبر عن سرعته الكلية إذا مشى في عكس اتجاه سير الممر المتحرك؟ --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3 --- SECTION: 12 --- أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية ، إذا كان ذلك ممكنا: f = {(5, 13), (-4, -2), (-8, -11), (3, 1)} g = {(-8, 2), (-4, 1), (3, 3), (5, 7)} --- SECTION: 13 --- أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية ، إذا كان ذلك ممكنا: f = {(-8,-4), (0,4), (2, 6), (-6, -2)} g = {(4,-4), (-2, -1), (-4, 0), (6, -5)} --- SECTION: 14 --- أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية ، إذا كان ذلك ممكنا: f = {(-1, 11), (2, 2), (5, -7), (4, 4)} g = {(5,-4), (4, -3), (-1, 2), (2, 3)} --- SECTION: 15 --- أوجد fog, go f لكل زوج من الدوال الآتية ، إذا كان ذلك ممكنا: f = {(-4, -14), (0,6), (-6, -18), (2, 2)} g = {(-6, 1), (-18, 13), (-14, 9), (-2, -3)} --- SECTION: 16 --- أوجد [fog](x), [g o f](x) في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا: f(x) = 2x² - x + 1 g(x) = 4x + 3 --- SECTION: 17 --- أوجد [fog](x), [g o f](x) في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا: f(x) = 4x - 1 g(x) = x³ + 2 --- SECTION: 18 --- أوجد [fog](x), [g o f](x) في كل مما يأتي، إذا كان ذلك ممكنا: f(x) = 2x2 g(x) = 8x2 + 3x