مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 العمليات على الدوال (تطبيقات وتمارين)

المفاهيم الأساسية

ربح المصنع: الربح = ثمن البيع - تكلفة الإنتاج.

تركيب الدوال: (f \circ g)(x) = f[g(x)]، وترتيب الدوال مهم.

خريطة المفاهيم

```markmap

تهيئة الفصل 4

تبسيط العبارات الجذرية

مثال: تبسيط √(45/20)

#### خطوات الحل

• ضرب البسط والمقام في √20
• تبسيط √900 إلى 30
• النتيجة: 3/2 أو 1.5

القسمة التركيبية

خطوات العمل

#### 1. تحديد قيمة r من المقسوم عليه (x - r)

#### 2. كتابة معاملات المقسوم

#### 3. إجراء خوارزمية القسمة التركيبية

#### 4. كتابة النتيجة (خارج القسمة + الباقي/المقسوم عليه)

مثال: (3x⁴ + 4x³ + x² + 9x - 6) ÷ (x + 2)

#### r = -2

#### النتيجة: 3x³ - 2x² + 5x - 1 - 4/(x+2)

تطبيقات حياتية

الطاقة الحركية

#### معادلة السرعة: v = \sqrt{\frac{2KE}{m}}

#### تبسيط المعادلة عند معرفة الكتلة (m = 0.50 kg)

المبيعات

#### نموذج تقدير المبيعات: n = \frac{4000x²}{x² + 50}

#### حيث x: المبلغ المنفق على الدعاية (بمئات الريالات)

#### n: عدد السلع المبيعة

العمليات على الدوال

العمليات الحسابية

#### الجمع: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

#### الطرح: (f-g)(x) = f(x) - g(x)

#### الضرب: (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

#### القسمة: (f/g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0

مجال العمليات على الدوال

#### الجمع، الطرح، الضرب: تقاطع مجالَيْ f و g.

#### القسمة: تقاطع مجالَيْ f و g، مع استثناء قيم x التي تجعل المقام g(x) = 0.

تركيب دالتين

#### تعريف التركيب

• (f \circ g)(x) = f[g(x)]
• (g \circ f)(x) = g[f(x)]

#### شروط التعريف

• (f \circ g)(x) معرف فقط إذا كانت g(x) عنصرًا في مجال f.
• (g \circ f)(x) معرف فقط إذا كانت f(x) عنصرًا في مجال g.

#### أمثلة على التركيب

##### مثال 3 (أ): دوال مجموعة مرتبطة

• f = \{(1, 8), (0, 13), (14, 9), (15, 11)\}
• g = \{(8, 15), (5, 1), (10, 14), (9,0)\}
• f \circ g = \{(8, 11), (5, 8), (10, 9), (9, 13)\}
• g \circ f غير معرفة بالكامل لأن g(13) و g(11) غير معرفتين.

##### مثال 3 (ب): دوال حدودية

• f(x) = 2x - 5, g(x) = 4x
• (f \circ g)(x) = f[g(x)] = f(4x) = 8x - 5
• (g \circ f)(x) = g[f(x)] = g(2x - 5) = 8x - 20

#### ملاحظة مهمة

• في معظم الحالات: f \circ g \neq g \circ f
• ترتيب الدالتين عند التركيب مهم.

#### استعمال تركيب دالتين (مثال 4)

##### تطبيق: شراء سيارة

• المعطيات: تخفيض 12%، خصم 1500 ريال، سعر السيارة 64500 ريال.
• دالة التخفيض: d(x) = x - 0.12x = 0.88x
• دالة الخصم: r(x) = x - 1500
• التخفيض قبل الخصم: [r \circ d](64500) = r[d(64500)] = 55260
• الخصم قبل التخفيض: [d \circ r](64500) = d[r(64500)] = 55440
• النتيجة: السعر أقل عند تطبيق التخفيض قبل الخصم.

تطبيقات عملية (صفحة 183)

#### مثال 4: صناعة الفناجين

• ثمن البيع: r(x) = 6.5x
• تكلفة الإنتاج: c(x) = 0.75x + 1850
• دالة الربح: p(x) = r(x) - c(x)

#### مثال 20: تسوق (تلفاز)

• السعر الأصلي: 2299 ريال.
• دالة الخصم (35%): p(x) = x - 0.35x
• دالة إضافة الضمان (6.25%): t(x) = x + 0.0625x
• السعر النهائي: (t \circ p)(2299)

#### تمارين تركيب الدوال (21-29)

• المعطيات الأساسية: f(x) = x² + x - 12, g(x) = x - 3
• المطلوب: إيجاد (f-g)(x), 2(gf)(x), مجالها، وقيم تركيب دوال أخرى.

#### تمارين تركيب الدوال (24-29)

• المعطيات الأساسية: f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x² + 6x + 8
• المطلوب: إيجاد قيم مثل g[h(3)], h[f(-5)], f[g(3a)].

#### تمارين متقدمة (30-37)

• تمثيلات متعددة (30): إنشاء جداول ورسوم بيانية للدوال f(x)=x² و g(x)=x وعملياتها.
• توظيف (31): كتابة دالة تمثل العدد الكلي للموظفين من معادلتين خطيتين.
• تركيب وضرب ثلاث دوال (32-37): إيجاد قيم مثل (f \cdot g \cdot h)(3), [f \circ (g \circ h)](2).

تمارين الصفحة 182

قسم "تأكد"

#### العمليات الحسابية على الدوال

• س1: f(x) = x + 2, g(x) = 3x - 1
• س2: f(x) = x²-5, g(x) = -x + 8

#### تركيب الدوال (مجموعات مرتبطة)

• س3: f = \{(2, 5), (6, 10), (12, 9), (7,6)\}, g = \{(9, 11), (6, 15), (10, 13), (5,8)\}
• س4: f = \{(-5, 4), (14, 8), (12, 1), (0, -3)\}, g = \{(-2,-4), (3, 2), (-1, 4), (5, -6)\}

#### تركيب الدوال (دوال حدودية)

• س5: f(x) = -3x, g(x) = 5x - 6
• س6: f(x) = x + 4, g(x) = x² + 3x - 10

#### تطبيق: الادخار (مثال 4)

• اقتطاع 8% للادخار، قسط 17.5%، الراتب 9500 ريال.
• السؤال: هل الادخار أكثر إذا كان الاقتطاع قبل القسط أم بعده؟

قسم "تدرب وحل المسائل"

#### العمليات الحسابية على الدوال

• س8: f(x) = x - 1, g(x) = 5x-2
• س9: f(x) = x², g(x) = -x + 1
• س10: f(x) = 3x²-4, g(x) = x² - 8x + 4

#### تطبيق: رياضة المشي (س11)

• سرعة راشد: I(x) = 3x - 4
• سرعة الممر المتحرك: W(x) = 4x + 7
• أ: الدالة عند السير في اتجاه الممر.
• ب: الدالة عند السير في عكس اتجاه الممر.

#### تركيب الدوال (مجموعات مرتبطة)

• س12: f = \{(5, 13), (-4, -2), (-8, -11), (3, 1)\}, g = \{(-8, 2), (-4, 1), (3, 3), (5, 7)\}
• س13: f = \{(-8,-4), (0,4), (2, 6), (-6, -2)\}, g = \{(4,-4), (-2, -1), (-4, 0), (6, -5)\}
• س14: f = \{(-1, 11), (2, 2), (5, -7), (4, 4)\}, g = \{(5,-4), (4, -3), (-1, 2), (2, 3)\}
• س15: f = \{(-4, -14), (0,6), (-6, -18), (2, 2)\}, g = \{(-6, 1), (-18, 13), (-14, 9), (-2, -3)\}

#### تركيب الدوال (دوال حدودية)

• س16: f(x) = 2x² - x + 1, g(x) = 4x + 3
• س17: f(x) = 4x - 1, g(x) = x³ + 2
• س18: f(x) = 2x2, g(x) = 8x2 + 3x

```

نقاط مهمة

• الربح يحسب بطرح دالة التكلفة من دالة الإيراد: p(x) = r(x) - c(x).
• عند تطبيق عمليتين متتاليتين (مثل خصم ثم ضمان)، نستخدم تركيب الدوال، وترتيب التطبيق يغير النتيجة.
• تمارين هذه الصفحة تركز على التطبيق العملي للعمليات على الدوال (جمع، طرح، ضرب، قسمة، تركيب) في سياقات حياتية ورياضية.

صناعة : ينتج مصنع نوعًا من الفناجين. فإذا كان ثمن بيع x فنجان يُعبر عنه بالدالة: x) = 6.5x)، وتكلفة إنتاج x فنجان يُعبر عنها بالدالة : 1850 + c(x) = 0.75x. a) اكتب الدالة (p(x التي تعبّر عن ربح المصنع إذا باع x فنجان. b) أوجد ربح المصنع عند بيع 500 فنجان و 1000 فنجان و 5000 فنجان.

تسوق : يرغب سامر في شراء تلفاز ذي شاشة مسطحة معروض للبيع بخصم نسبته %35% من السعر الأصلي. فإذا كان . سعره الأصلي 2299 ريالا، ويضاف إليه 6.25% بدل ضمان بعد الخصم. a) اكتب دالتين: الأولى تمثل سعر التلفاز بعد الخصم (p(x ، والثانية سعر التلفاز بعد إضافة بدل الضمان (x). b) أي الدالتين الآتيتين يمثل سعر التلفاز النهائي: (pox) ، أم (top] (x] وضح إجابتك. c) كم سيدفع سامر ثمنًا للتلفاز؟

الربط مع الحياة الخاصية المميزة للشاشات المسطحة HDTV هي أن نسبة عرضها إلى ارتفاعها هي 16:9، فتوفر للمشاهد صورة أوضح.

إذا كان 3 - f(x) = x 2 + x - 12 (x) = x . فأوجد كل دالة فيما يأتي، وحدد مجالها: (f-g)(x)

إذا كان 3 - f(x) = x 2 + x - 12 (x) = x . فأوجد كل دالة فيما يأتي، وحدد مجالها: 2(gf)(x)

إذا كان 3 - f(x) = x 2 + x - 12 (x) = x . فأوجد كل دالة فيما يأتي، وحدد مجالها: ((x)

:فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان g[h(3)]

:فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان h[f(-5)]

:فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان h[f(9)]

:فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان f[g(3a)]

:فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان f[h(a + 4)]

:فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان g[f(a²-a)]

(30) تمثيلات متعددة لتكن : f(x) = x2 (x) = x. a) جدوليا : أنشئ جدولا يبين بعض قيم الدوال : (f(x), (x), ( + ) (x), (f - ) (x b) بيانيا : مثل بيانيا الدوال () () () (f(x على مستوى إحداثي واحد. بيانيا : مثل بيانيا الدوال (f(x) ,(x), f - (x على مستوى إحداثي واحد. .f(x), g(x), (f + g)(x), g(x( لفظيا : صف العلاقة بين التمثيلات البيانية للدوال )d(

(31) توظيف يمكن التعبير عن عدد الرجال والنساء الذين تم توظيفهم منذ عام 1434 هـ في مؤسسة ما بالمعادلتين الآتيتين: عدد الرجال : 6 + y = 7x عدد النساء : 5 + y = 5x حيث x تمثل عدد الأعوام منذ عام 1434 هـ ، ولا تمثل عدد الموظفين. a) اكتب دالة تمثل العدد الكلي للرجال والنساء الذين تم توظيفهم منذ عام 1434 هـ. إذا كانت الدالة تمثل عدد الرجال الذين تم توظيفهم، والدالة 8 تمثل عدد النساء اللاتي تم توظيفهن فماذا تمثل الدالة (f - ) (x) ؟

إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: (f.g.h)(3)

إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: [(f+g).h](1)

إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: ()(-6)

إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: [fo(goh)](2)

إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: [go (hof)](-4)

إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: [ho(fog)] (5)

--- SECTION: مثال 4 --- صناعة : ينتج مصنع نوعًا من الفناجين. فإذا كان ثمن بيع x فنجان يُعبر عنه بالدالة: x) = 6.5x)، وتكلفة إنتاج x فنجان يُعبر عنها بالدالة : 1850 + c(x) = 0.75x. a) اكتب الدالة (p(x التي تعبّر عن ربح المصنع إذا باع x فنجان. b) أوجد ربح المصنع عند بيع 500 فنجان و 1000 فنجان و 5000 فنجان. a. اكتب الدالة (p(x التي تعبّر عن ربح المصنع إذا باع x فنجان. b. أوجد ربح المصنع عند بيع 500 فنجان و 1000 فنجان و 5000 فنجان. --- SECTION: 20 --- تسوق : يرغب سامر في شراء تلفاز ذي شاشة مسطحة معروض للبيع بخصم نسبته %35% من السعر الأصلي. فإذا كان . سعره الأصلي 2299 ريالا، ويضاف إليه 6.25% بدل ضمان بعد الخصم. a) اكتب دالتين: الأولى تمثل سعر التلفاز بعد الخصم (p(x ، والثانية سعر التلفاز بعد إضافة بدل الضمان (x). b) أي الدالتين الآتيتين يمثل سعر التلفاز النهائي: (pox) ، أم (top] (x] وضح إجابتك. c) كم سيدفع سامر ثمنًا للتلفاز؟ a. اكتب دالتين: الأولى تمثل سعر التلفاز بعد الخصم (p(x ، والثانية سعر التلفاز بعد إضافة بدل الضمان (x). b. أي الدالتين الآتيتين يمثل سعر التلفاز النهائي: (pox) ، أم (top] (x] وضح إجابتك. c. كم سيدفع سامر ثمنًا للتلفاز؟ الربط مع الحياة الخاصية المميزة للشاشات المسطحة HDTV هي أن نسبة عرضها إلى ارتفاعها هي 16:9، فتوفر للمشاهد صورة أوضح. --- SECTION: 21 --- إذا كان 3 - f(x) = x 2 + x - 12 (x) = x . فأوجد كل دالة فيما يأتي، وحدد مجالها: (f-g)(x) (f-g)(x) --- SECTION: 22 --- إذا كان 3 - f(x) = x 2 + x - 12 (x) = x . فأوجد كل دالة فيما يأتي، وحدد مجالها: 2(gf)(x) 2(gf)(x) --- SECTION: 23 --- إذا كان 3 - f(x) = x 2 + x - 12 (x) = x . فأوجد كل دالة فيما يأتي، وحدد مجالها: ((x) ((x) --- SECTION: 24 --- :فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان g[h(3)] g[h(3)] --- SECTION: 25 --- :فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان h[f(-5)] h[f(-5)] --- SECTION: 26 --- :فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان h[f(9)] h[f(9)] --- SECTION: 27 --- :فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان f[g(3a)] f[g(3a)] --- SECTION: 28 --- :فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان f[h(a + 4)] f[h(a + 4)] --- SECTION: 29 --- :فأوجد قيمة كل مما يأتي f(x) = 5x, g(x) = 2x + 1, h(x) = x2 + 6x + 8 إذا كان g[f(a²-a)] g[f(a²-a)] (30) تمثيلات متعددة لتكن : f(x) = x2 (x) = x. a) جدوليا : أنشئ جدولا يبين بعض قيم الدوال : (f(x), (x), ( + ) (x), (f - ) (x b) بيانيا : مثل بيانيا الدوال () () () (f(x على مستوى إحداثي واحد. بيانيا : مثل بيانيا الدوال (f(x) ,(x), f - (x على مستوى إحداثي واحد. .f(x), g(x), (f + g)(x), g(x( لفظيا : صف العلاقة بين التمثيلات البيانية للدوال )d( a. جدوليا : أنشئ جدولا يبين بعض قيم الدوال : (f(x), (x), ( + ) (x), (f - ) (x b. بيانيا : مثل بيانيا الدوال () () () (f(x على مستوى إحداثي واحد. c. بيانيا : مثل بيانيا الدوال (f(x) ,(x), f - (x على مستوى إحداثي واحد. d. لفظيا : صف العلاقة بين التمثيلات البيانية للدوال )d( (31) توظيف يمكن التعبير عن عدد الرجال والنساء الذين تم توظيفهم منذ عام 1434 هـ في مؤسسة ما بالمعادلتين الآتيتين: عدد الرجال : 6 + y = 7x عدد النساء : 5 + y = 5x حيث x تمثل عدد الأعوام منذ عام 1434 هـ ، ولا تمثل عدد الموظفين. a) اكتب دالة تمثل العدد الكلي للرجال والنساء الذين تم توظيفهم منذ عام 1434 هـ. إذا كانت الدالة تمثل عدد الرجال الذين تم توظيفهم، والدالة 8 تمثل عدد النساء اللاتي تم توظيفهن فماذا تمثل الدالة (f - ) (x) ؟ a. اكتب دالة تمثل العدد الكلي للرجال والنساء الذين تم توظيفهم منذ عام 1434 هـ. b. إذا كانت الدالة تمثل عدد الرجال الذين تم توظيفهم، والدالة 8 تمثل عدد النساء اللاتي تم توظيفهن فماذا تمثل الدالة (f - ) (x) ؟ --- SECTION: 32 --- إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: (f.g.h)(3) (f.g.h)(3) --- SECTION: 33 --- إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: [(f+g).h](1) [(f+g).h](1) --- SECTION: 34 --- إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: ()(-6) ()(-6) --- SECTION: 35 --- إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: [fo(goh)](2) [fo(goh)](2) --- SECTION: 36 --- إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: [go (hof)](-4) [go (hof)](-4) --- SECTION: 37 --- إذا كان f(x) = x + 2, g(x) = -4x + 3(x) = x2 – 2x + 1 فأوجد قيمة كل مما يأتي: [ho(fog)] (5) [ho(fog)] (5)