لماذا؟ - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 العلاقات والدوال العكسية

المفاهيم الأساسية

العلاقة العكسية: مجموعة من الأزواج المرتبة، يمكن الحصول عليها عن طريق تبديل إحداثيات كل زوج مرتب في العلاقة الأصلية. يصبح مجال العلاقة هو مدى العلاقة العكسية، ومداها هو مجال العلاقة العكسية.

الدالة العكسية: إذا كان معكوس الدالة دالة، فإنه يسمى دالة عكسية. يرمز لها بالرمز \( f^{-1}(x) \).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 4-2: العلاقات والدوال العكسية

العلاقة العكسية

#### التعريف

• تبديل إحداثيات الأزواج المرتبة
• مجال الأصل = مدى العكسية
• مدى الأصل = مجال العكسية

#### التعبير اللفظي

• كل من العلاقتين عكسية للأخرى إذا وفقط إذا: كلما احتوت إحداهما على (b, a)، احتوت الأخرى على (a, b).

#### التمثيل البياني

• العلاقة العكسية تمثل انعكاس العلاقة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).

الدالة العكسية

#### التعريف

• معكوس الدالة، إذا كان دالة.

#### الرمز

• \( f^{-1}(x) \)

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة (38)

#### أوجد دالتين f(x), g(x)

#### بحيث يكون (f ∘ g)(4) = 0

اكتشف الخطأ (39)

#### f(x) = x² + 2x – 8

#### g(x) = x² + 8

#### إيجاد (f ∘ g)(x)

#### مقارنة حلّي ريم والعنود

تحدّ (40)

#### f(x) = √x , g(x) = √x

#### تحديد مجال:

##### (g ∘ g)(x)

##### (f ∘ f)(x)

تبرير (41)

#### تحديد صحة الجمل حول مجال تركيب الدوال

##### مجال (f ∘ g)(x) هو نفس مجال f(x) أو جزء منه

##### مجال (g ∘ f)(x) هو نفس مجال g(x) أو جزء منه

كتابة (42)

#### توضيح سبب استخدام تركيب الدوال

#### إعطاء مثال من واقع الحياة

تدريب على اختبار

اختيار من متعدد (43)

#### g(x) = x² + 9x + 21

#### h(x) = 2(x + 5)²

#### إيجاد الدالة المكافئة لـ h(x) - g(x)

اختيار من متعدد (44)

#### f(x) = 2x + 4

#### g(x) = x² + 5

#### إيجاد قيمة (f ∘ g)(6)

مراجعة تراكمية

تحديد أصفار الدوال (45، 46)

#### f(x) = 2x⁴ - x³ + 5x² + 3x - 9

#### f(x) = 2x⁴ - 3x³ - 2x² + 3

مسألة حجم (47)

#### صندوق أبعاده: 1 in, 16 in, x in

#### إيجاد المقدار المضاف ليكون الحجم 5985 in³

حل معادلات لمتغير محدد (48، 49، 50)

#### 5x - 7y = 12 (حل بالنسبة لـ x)

#### 3x² - 6xy + 1 = 4 (حل بالنسبة لـ y)

#### (x + 2)² + (y + 5)² = 4 (حل بالنسبة لـ y)

```

نقاط مهمة

• العلاقة العكسية تُعرف من خلال تبديل إحداثيات الأزواج المرتبة في العلاقة الأصلية.
• تمثيل العلاقة العكسية بيانياً هو انعكاس للعلاقة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).
• مثال: العلاقة \( A = \{(1, 5), (2, 6), (3, 7)\} \) وعكسها \( B = \{(5, 1), (6, 2), (7, 3)\} \).
• إذا كان معكوس الدالة دالة، فإنه يسمى دالة عكسية ويرمز له بـ \( f^{-1}(x) \).

يبين الجدول المجاور قيمة الريال السعودي مقارنة بالدولار الأمريكي، والدالة r = 0.267 d تمثل عدد الدولارات التي تحصل عليها مقابل كل دولار أمريكي، حل المعادلة السابقة بالنسبة للمتغير r فتكون النتيجة d ≈ 3.75 r وتمثل دالة عكسية للدالة السابقة.

العلاقة هي مجموعة من الأزواج المرتبة. والعلاقة العكسية هي مجموعة من الأزواج المرتبة، يمكنك الحصول عليها عن طريق تبديل إحداثيات كل زوج مرتب في العلاقة، فيصبح مجال العلاقة هو مدى العلاقة العكسية لها، ومداها هو مجال العلاقة لها.

مطلوبك

التعبير اللفظي: تكون كل من العلاقتين عكسية للأخرى إذا وفقط إذا تحقق الشرط التالي: كلما احتوت إحداهما على زوج مرتب (b, a)، احتوت الأخرى على زوج مرتب (a, b).

كل من العلاقتين B, A علاقة عكسية للأخرى: A = {(1, 5), (2, 6), (3, 7)} B = {(5, 1), (6, 2), (7, 3)}

العلاقة العكسية inverse relation الدالة العكسية inverse function

هندسة: يمكن تمثيل رؤوس AABC بالعلاقة {(1−, 1), (2, 5), (4, −2), (1, −1)}، أو أوجد العلاقة العكسية لها، ثم مثل بيانيًا العلاقة والعلاقة العكسية لها على مستوى إحداثي واحد، واذكر العلاقة المعطاة إلى العلاقة العكسية لها. مثل العلاقة بيانياً. ولايجاد العلاقة العكسية قم بتبديل إحداثيات الأزواج المرتبة. فتكون العلاقة العكسية هي: {(−1, 1), (5, 2), (−2, 4), (−1, −1)}، وبتمثيل هذه الأزواج المرتبة للعلاقة العكسية بيانياً تتضح أنها تمثل رؤوس A'B'C' بعد انعكاس رؤوس AABC حول المستقيم x = y.

هندسة : إذا كانت الأزواج المرتبة للعلاقة {(6−, −8), (−3, −8), (−6, −3), (−8, −1)} تمثل إحداثيات رؤوس مثلث قائم الزاوية، فأوجد العلاقة العكسية لها، وصف تمثيلها البياني.

إن ما ينطبق على الأزواج المرتبة في العلاقة والعلاقة العكسية، ينطبق أيضاً على الأزواج المرتبة ومعكوسها، وإذا كان معكوس الدالة دالة عكسية، فإنه يسمى دالة عكسية. ويرمز إلى الدالة العكسية بالرمز (x)f¯¹(x)f.

2023 - 1447

185

--- SECTION: لماذا؟ --- يبين الجدول المجاور قيمة الريال السعودي مقارنة بالدولار الأمريكي، والدالة r = 0.267 d تمثل عدد الدولارات التي تحصل عليها مقابل كل دولار أمريكي، حل المعادلة السابقة بالنسبة للمتغير r فتكون النتيجة d ≈ 3.75 r وتمثل دالة عكسية للدالة السابقة. العلاقة هي مجموعة من الأزواج المرتبة. والعلاقة العكسية هي مجموعة من الأزواج المرتبة، يمكنك الحصول عليها عن طريق تبديل إحداثيات كل زوج مرتب في العلاقة، فيصبح مجال العلاقة هو مدى العلاقة العكسية لها، ومداها هو مجال العلاقة لها. --- SECTION: أضف إلى --- مطلوبك --- SECTION: العلاقة العكسية --- التعبير اللفظي: تكون كل من العلاقتين عكسية للأخرى إذا وفقط إذا تحقق الشرط التالي: كلما احتوت إحداهما على زوج مرتب (b, a)، احتوت الأخرى على زوج مرتب (a, b). --- SECTION: مثال --- كل من العلاقتين B, A علاقة عكسية للأخرى: A = {(1, 5), (2, 6), (3, 7)} B = {(5, 1), (6, 2), (7, 3)} --- SECTION: المفردات --- العلاقة العكسية inverse relation الدالة العكسية inverse function --- SECTION: إيجاد العلاقة العكسية --- هندسة: يمكن تمثيل رؤوس AABC بالعلاقة {(1−, 1), (2, 5), (4, −2), (1, −1)}، أو أوجد العلاقة العكسية لها، ثم مثل بيانيًا العلاقة والعلاقة العكسية لها على مستوى إحداثي واحد، واذكر العلاقة المعطاة إلى العلاقة العكسية لها. مثل العلاقة بيانياً. ولايجاد العلاقة العكسية قم بتبديل إحداثيات الأزواج المرتبة. فتكون العلاقة العكسية هي: {(−1, 1), (5, 2), (−2, 4), (−1, −1)}، وبتمثيل هذه الأزواج المرتبة للعلاقة العكسية بيانياً تتضح أنها تمثل رؤوس A'B'C' بعد انعكاس رؤوس AABC حول المستقيم x = y. --- SECTION: 1 --- هندسة : إذا كانت الأزواج المرتبة للعلاقة {(6−, −8), (−3, −8), (−6, −3), (−8, −1)} تمثل إحداثيات رؤوس مثلث قائم الزاوية، فأوجد العلاقة العكسية لها، وصف تمثيلها البياني. إن ما ينطبق على الأزواج المرتبة في العلاقة والعلاقة العكسية، ينطبق أيضاً على الأزواج المرتبة ومعكوسها، وإذا كان معكوس الدالة دالة عكسية، فإنه يسمى دالة عكسية. ويرمز إلى الدالة العكسية بالرمز (x)f¯¹(x)f. --- SECTION: وزارة التعليم --- 2023 - 1447 --- SECTION: الدرس 4-2 العلاقات والدوال العكسية --- 185 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A triangle ABC with vertices A(1, -1), B(2, 5), C(4, -2) and its reflection A'B'C' across the line y=x. The reflected vertices are A'(−1, 1), B'(5, 2), C'(−2, 4). The line y=x is shown as a dashed red line. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates the geometric interpretation of inverse relations by reflecting points across the line y=x.