قراءة الرياضيات - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: قراءة الرياضيات

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 الدالة العكسية

المفاهيم الأساسية

الدالة العكسية (f⁻¹): هي الدالة التي تتبادل المدخلات والمخرجات مع الدالة الأصلية (f). الرمز f⁻¹(x) يُقرأ "الدالة العكسية للدالة f" وليس أُساً.

اختبار الخط الأفقي: اختبار لتحديد ما إذا كان معكوس الدالة يمثل دالة أيضاً. إذا قطع أي خط أفقي منحنى الدالة الأصلية في أكثر من نقطة، فإن الدالة ليست متباينة ومعكوسها ليس دالة.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 4-2: العلاقات والدوال العكسية

العلاقة العكسية

#### التعريف

  • تبديل إحداثيات الأزواج المرتبة
  • مجال الأصل = مدى العكسية
  • مدى الأصل = مجال العكسية

#### التعبير اللفظي

  • كل من العلاقتين عكسية للأخرى إذا وفقط إذا: كلما احتوت إحداهما على (b, a)، احتوت الأخرى على (a, b).

#### التمثيل البياني

  • العلاقة العكسية تمثل انعكاس العلاقة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).

الدالة العكسية

#### التعريف

  • معكوس الدالة، إذا كان دالة.

#### الرمز

  • \( f^{-1}(x) \)

#### خواص الدالة العكسية

  • إذا كان كل من \( f, f^{-1} \) دالة عكسية للأخرى، فإن:

- \( f(a) = b \) إذا وفقط إذا كان \( f^{-1}(b) = a \)

#### اختبار الخط الأفقي

  • إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أيضًا، فإن الدالة الأصلية تكون دالة متباينة.
  • يمكن استعماله لتحديد ما إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أم لا.

#### إيجاد معكوس الدالة (خطوات)

  • الخطوة 1: أعد كتابة الدالة كمعادلة بدلالة \( x, y \).
  • الخطوة 2: بدل بين المتغيرين \( x \) و \( y \).
  • الخطوة 3: حل المعادلة الجديدة بالنسبة للمتغير \( y \).
  • الخطوة 4: ضع \( f^{-1}(x) \) بدلاً من \( y \)، إذا كان المعكوس دالة.

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة (38)

#### أوجد دالتين f(x), g(x)

#### بحيث يكون (f ∘ g)(4) = 0

اكتشف الخطأ (39)

#### f(x) = x² + 2x – 8

#### g(x) = x² + 8

#### إيجاد (f ∘ g)(x)

#### مقارنة حلّي ريم والعنود

تحدّ (40)

#### f(x) = √x , g(x) = √x

#### تحديد مجال:

##### (g ∘ g)(x)

##### (f ∘ f)(x)

تبرير (41)

#### تحديد صحة الجمل حول مجال تركيب الدوال

##### مجال (f ∘ g)(x) هو نفس مجال f(x) أو جزء منه

##### مجال (g ∘ f)(x) هو نفس مجال g(x) أو جزء منه

كتابة (42)

#### توضيح سبب استخدام تركيب الدوال

#### إعطاء مثال من واقع الحياة

تدريب على اختبار

اختيار من متعدد (43)

#### g(x) = x² + 9x + 21

#### h(x) = 2(x + 5)²

#### إيجاد الدالة المكافئة لـ h(x) - g(x)

اختيار من متعدد (44)

#### f(x) = 2x + 4

#### g(x) = x² + 5

#### إيجاد قيمة (f ∘ g)(6)

مراجعة تراكمية

تحديد أصفار الدوال (45، 46)

#### f(x) = 2x⁴ - x³ + 5x² + 3x - 9

#### f(x) = 2x⁴ - 3x³ - 2x² + 3

مسألة حجم (47)

#### صندوق أبعاده: 1 in, 16 in, x in

#### إيجاد المقدار المضاف ليكون الحجم 5985 in³

حل معادلات لمتغير محدد (48، 49، 50)

#### 5x - 7y = 12 (حل بالنسبة لـ x)

#### 3x² - 6xy + 1 = 4 (حل بالنسبة لـ y)

#### (x + 2)² + (y + 5)² = 4 (حل بالنسبة لـ y)

```

نقاط مهمة

  • العلاقة الأساسية: f(a) = b \iff f^{-1}(b) = a
  • مثال: إذا كانت f(x) = x - 4 و f^{-1}(x) = x + 4 ، فإن f(6) = 2 و f^{-1}(2) = 6 .
  • لمعرفة إذا كان معكوس الدالة دالة، استخدم اختبار الخط الأفقي على الدالة الأصلية.
  • لإيجاد معكوس دالة: ابدأ بـ y = f(x) ، ثم بدل x و y ، ثم حل من أجل y .
  • التمثيل البياني للدالة ومعكوسها يكونان انعكاساً لبعضهما حول المستقيم y = x .

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

قراءة الرياضيات

نوع: محتوى تعليمي

الدالة العكسية 1-f يقرأ الدالة العكسية للدالة f. تذكر أن (1) ليس أسا.

مفهوم أساسي

نوع: محتوى تعليمي

خواص الدالة العكسية

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: إذا كان كل من f, f⁻¹ دالة عكسية للأخرى، فإن f(a) = b إذا وفقط إذا كان f⁻¹(b) = a. مثال : ليكن f(x) = x - 4 ودالتها العكسية هي f⁻¹(x) = x + 4. أوجد (6)f. أوجد (2)f⁻¹. f(x) = x - 4 f⁻¹(x) = x + 4 f(6) = 6-4 = 2 f⁻¹(2) = 2 + 4 = 6 وبما أن كلا من f(x) , f⁻¹(x) دالة عكسية للأخرى، فإن f(6) = 2 , f⁻¹(2) = 6.

أضف إلى مطويتك

نوع: NON_EDUCATIONAL

اختبار الخط الأفقي

نوع: محتوى تعليمي

إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أيضًا، فإن الدالة الأصلية تكون دالة متباينة. تذكر أنه يمكنك استعمال اختبار الخط الرأسي لمعرفة ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة أم لا . وبالمثل يمكنك استعمال اختبار الخط الأفقي لتحديد ما إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أم لا.

نوع: FIGURE_REFERENCE

نوع: FIGURE_REFERENCE

نوع: محتوى تعليمي

لا يمكن رسم أي مستقيم أفقي يقطع منحنى الدالة في أكثر من نقطة (الدالة متباينة)؛ لذا يمثل معكوس الدالة (y = f(x دالة أيضًا.

نوع: محتوى تعليمي

يمكن رسم مستقيم أفقي يقطع منحنى الدالة، في أكثر من نقطة (الدالة ليست متباينة)؛ لذا لا يكون معکوس الدالة (y = (x دالة.

نوع: محتوى تعليمي

يمكنك إيجاد معكوس دالة بالتبديل بين x و y في قاعدة الدالة.

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

رمز الدالة العكسية بما أن معكوس الدالة (f(x في الفرع a من المثال 2 هو دالة أيضا، لذا تم التعبير عنها ب f-1(x).

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

إيجاد معكوس الدالة وتمثيله بيانيا

نوع: محتوى تعليمي

أوجد معكوس كل من الدالتين الآتيتين، ثم مثل الدالة ومعكوسها بيانيا على مستوى إحداثي واحد.

نوع: محتوى تعليمي

f(x) = 2x-5 (a

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة 1: أعد كتابة الدالة كمعادلة بدلالة المتغيرين x,y

نوع: محتوى تعليمي

f(x) = 2x-5→ y = 2x - 5

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة 2 بدل بين كل من المتغير x والمتغير y في المعادلة 5 – x = 2y

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة 3 حل المعادلة بالنسبة للمتغير .

نوع: محتوى تعليمي

x = 2y - 5

نوع: محتوى تعليمي

x + 5 = 2y

نوع: محتوى تعليمي

x+5=y

نوع: محتوى تعليمي

2

نوع: محتوى تعليمي

أضف 5 للطرفين

نوع: محتوى تعليمي

اقسم الطرفين على 2

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة 4: ضع (f(x بدلا من المتغير y، إذا كان المعكوس دالة.

نوع: محتوى تعليمي

بما أن الدالة (f(x خطية، وباستعمال اختبار الخط الأفقي، تجد أن معكوسها هو دالة أيضًا، لذا يمكنك استعمال الرمز (f(x) = 2x - 5 f-1 (x

نوع: محتوى تعليمي

y = x + 5 → f-1(x) = x + 5

نوع: محتوى تعليمي

2

نوع: محتوى تعليمي

x+5 2

نوع: محتوى تعليمي

فتكون الدالة العكسية للدالة 5 - f(x) = 2x هي * = (f(x والتمثيل البياني للدالة + 1 5 = (f-1(x هي انعكاس للتمثيل 2 البياني للدالة 5 - f(x) = 2x حول المستقيم y = x.

🔍 عناصر مرئية

The graph shows a curve that extends to infinity on both ends. The left arrow points downward-left, and the right arrow points downward-right. There is a local maximum at approximately (0, 0).

The graph shows a curve that extends to infinity on both ends. The left arrow points upward-left, and the right arrow points upward-right. There is a local minimum at approximately (0, -1).

The graph shows two linear functions, f(x) = 2x - 5 and f⁻¹(x) = (x + 5) / 2, and the line y = x. The functions are reflections of each other across the line y = x.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: قراءة الرياضيات --- الدالة العكسية 1-f يقرأ الدالة العكسية للدالة f. تذكر أن (1) ليس أسا. --- SECTION: مفهوم أساسي --- --- SECTION: خواص الدالة العكسية --- التعبير اللفظي: إذا كان كل من f, f⁻¹ دالة عكسية للأخرى، فإن f(a) = b إذا وفقط إذا كان f⁻¹(b) = a. مثال : ليكن f(x) = x - 4 ودالتها العكسية هي f⁻¹(x) = x + 4. أوجد (6)f. أوجد (2)f⁻¹. f(x) = x - 4 f⁻¹(x) = x + 4 f(6) = 6-4 = 2 f⁻¹(2) = 2 + 4 = 6 وبما أن كلا من f(x) , f⁻¹(x) دالة عكسية للأخرى، فإن f(6) = 2 , f⁻¹(2) = 6. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- --- SECTION: اختبار الخط الأفقي --- إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أيضًا، فإن الدالة الأصلية تكون دالة متباينة. تذكر أنه يمكنك استعمال اختبار الخط الرأسي لمعرفة ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة أم لا . وبالمثل يمكنك استعمال اختبار الخط الأفقي لتحديد ما إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أم لا. لا يمكن رسم أي مستقيم أفقي يقطع منحنى الدالة في أكثر من نقطة (الدالة متباينة)؛ لذا يمثل معكوس الدالة (y = f(x دالة أيضًا. يمكن رسم مستقيم أفقي يقطع منحنى الدالة، في أكثر من نقطة (الدالة ليست متباينة)؛ لذا لا يكون معکوس الدالة (y = (x دالة. يمكنك إيجاد معكوس دالة بالتبديل بين x و y في قاعدة الدالة. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- رمز الدالة العكسية بما أن معكوس الدالة (f(x في الفرع a من المثال 2 هو دالة أيضا، لذا تم التعبير عنها ب f-1(x). --- SECTION: مثال 2 --- --- SECTION: إيجاد معكوس الدالة وتمثيله بيانيا --- أوجد معكوس كل من الدالتين الآتيتين، ثم مثل الدالة ومعكوسها بيانيا على مستوى إحداثي واحد. f(x) = 2x-5 (a الخطوة 1: أعد كتابة الدالة كمعادلة بدلالة المتغيرين x,y f(x) = 2x-5→ y = 2x - 5 الخطوة 2 بدل بين كل من المتغير x والمتغير y في المعادلة 5 – x = 2y الخطوة 3 حل المعادلة بالنسبة للمتغير . x = 2y - 5 x + 5 = 2y x+5=y 2 أضف 5 للطرفين اقسم الطرفين على 2 الخطوة 4: ضع (f(x بدلا من المتغير y، إذا كان المعكوس دالة. بما أن الدالة (f(x خطية، وباستعمال اختبار الخط الأفقي، تجد أن معكوسها هو دالة أيضًا، لذا يمكنك استعمال الرمز (f(x) = 2x - 5 f-1 (x y = x + 5 → f-1(x) = x + 5 2 x+5 2 فتكون الدالة العكسية للدالة 5 - f(x) = 2x هي * = (f(x والتمثيل البياني للدالة + 1 5 = (f-1(x هي انعكاس للتمثيل 2 البياني للدالة 5 - f(x) = 2x حول المستقيم y = x. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a curve that extends to infinity on both ends. The left arrow points downward-left, and the right arrow points downward-right. There is a local maximum at approximately (0, 0). X-axis: x Y-axis: y (Note: Some details are estimated) **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a curve that extends to infinity on both ends. The left arrow points upward-left, and the right arrow points upward-right. There is a local minimum at approximately (0, -1). X-axis: x Y-axis: y (Note: Some details are estimated) **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows two linear functions, f(x) = 2x - 5 and f⁻¹(x) = (x + 5) / 2, and the line y = x. The functions are reflections of each other across the line y = x. X-axis: x Y-axis: y (Note: Some details are estimated)

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 17

سؤال 37: 37. تسلق: يقف خالد وسعيد أمام جدار صخري لتسلق والمسافة بينهما 8 أقدام كما هو مبين في الشكل المجاور. ما ارتفاع الجدار الصخري، مقربا إلى أقرب قدم؟

الإجابة: h ≈ 19 قدمًا

سؤال 38: 38. اكتشاف الخطأ: درست ARST في 24 = R, 12 = r, 56° = T. فإذا حاول كل من رضوان وعلي إيجاد MAT، فمن منهما إجابته صحيحة؟ وضح إجابتك.

الإجابة: على sin T = ٠.٩٤٥ T ≈ ٧٠.٩٥

سؤال 40: 40. مسألة مفتوحة: إذا كانت 38 = R, 62° = D. فأوجد قيمة r. هل يوجد حلان؟ وضح إجابتك.

الإجابة: لا يوجد حل أو وضع 33.62° ≈ 38 sin 62° < 38.62° ومثال مناسب: 33.62° = 38 sin 62°

سؤال 41: 41. إجابة قصيرة: في الشكل المجاور التمثيل البياني لكل من (f(x و (g(x. ما قيمة (f(g(4))؟

الإجابة: g(4) = 0 f(g(4)) = f(0) = 2

سؤال 42: 42. أوجد جميع الأصفار الحقيقية للدالة 72 + 6x - 7x² - x³ = (f(x.

الإجابة: التحليل هو (x - 4)(x - 6)(x + 3) الإجابة الصحيحة: (ب).

سؤال 43: أوجد القيمة الدقيقة لكل دالة مثلثية فيما يأتي (الدرس 3-8) 43. sin 210°

الإجابة: 210°

سؤال 44: 44. cos $\frac{3\pi}{4}$

الإجابة: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

سؤال 45: 45. tan 235°

الإجابة: 235°

سؤال 46: 46. cot 48°

الإجابة: 48°

سؤال 47: 47. sec (-328°)

الإجابة: -328°

سؤال 48: 48. csc $\frac{8\pi}{3}$

الإجابة: $\frac{8\pi}{3}$

سؤال 49: أوجد قيمة x في كل مما يأتي: 49. 296 = 6x

الإجابة: 296

سؤال 50: 50. لا يوجد أقطار متصلة

الإجابة: لا يوجد أقطار متصلة

سؤال 51: 51. يوجد (متساوية متعامدة)

الإجابة: يوجد (متساوية متعامدة)

سؤال 52: 52. x² - 6x = 225

الإجابة: 225

سؤال 53: 53. x² + 5z² + 5uy

الإجابة: 16

سؤال 54: 54. x² + 51 = 77

الإجابة: 26

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الشرط الأساسي الذي يجب أن تتحقق فيه الدالة الأصلية حتى يكون معكوسها دالة أيضًا؟

  • أ) أن تكون الدالة الأصلية خطية.
  • ب) أن تكون الدالة الأصلية متباينة (واحد لواحد).
  • ج) أن تكون الدالة الأصلية تربيعية.
  • د) أن تكون الدالة الأصلية متصلة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أن تكون الدالة الأصلية متباينة (واحد لواحد).

الشرح: 1. لكي يكون معكوس العلاقة دالة، يجب أن تمر العلاقة الأصلية باختبار الخط الأفقي. 2. اختبار الخط الأفقي: لا يمكن رسم أي مستقيم أفقي يقطع منحنى الدالة في أكثر من نقطة. 3. إذا اجتازت الدالة هذا الاختبار، فهي دالة متباينة (واحد لواحد). 4. عندها فقط سيكون معكوسها دالة أيضًا.

تلميح: فكر في الاختبار الذي يحدد إذا كان المعكوس يمثل دالة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخطوة الأولى في إجراء إيجاد معكوس دالة جبريًا؟

  • أ) تبديل بين المتغيرين x و y في قاعدة الدالة.
  • ب) حل المعادلة بالنسبة للمتغير y.
  • ج) إعادة كتابة الدالة كمعادلة بدلالة المتغيرين x و y (أي جعل y = f(x)).
  • د) رسم الدالة بيانيًا.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إعادة كتابة الدالة كمعادلة بدلالة المتغيرين x و y (أي جعل y = f(x)).

الشرح: 1. الخطوة 1: إعادة كتابة الدالة f(x) كمعادلة باستخدام y، أي y = f(x). 2. الخطوة 2: تبديل بين المتغيرين x و y في المعادلة. 3. الخطوة 3: حل المعادلة الناتجة بالنسبة للمتغير y. 4. الخطوة 4: استبدال y بـ f⁻¹(x) إذا كان المعكوس دالة.

تلميح: قبل التبديل بين المتغيرات، نحتاج إلى صيغة معينة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كانت الدالة العكسية للدالة f(x) = 2x - 5 هي f⁻¹(x) = (x + 5)/2، فأي مما يلي يمثل العلاقة الصحيحة بين تمثيليهما البيانيين؟

  • أ) تمثيلاهما البيانيان متطابقان.
  • ب) تمثيلاهما البيانيان ينعكسان حول المستقيم y = x.
  • ج) تمثيلاهما البيانيان متوازيان.
  • د) تمثيلاهما البيانيان متعامدان.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تمثيلاهما البيانيان ينعكسان حول المستقيم y = x.

الشرح: 1. خاصية هندسية: التمثيل البياني للدالة f ومعكوسها f⁻¹ متماثلان حول المستقيم y = x. 2. المستقيم y = x هو خط التناظر (الانعكاس). 3. هذه الخاصية تنطبق عندما تكون f⁻¹ دالة أيضًا (أي f متباينة). 4. في المثال، f(x)=2x-5 و f⁻¹(x)=(x+5)/2 هما انعكاس لبعضهما حول y=x.

تلميح: فكر في خاصية التمثيل البياني للدالة ومعكوسها.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي الخطوة الإجرائية الصحيحة لإيجاد الدالة العكسية f⁻¹(x) جبرياً، والتي تلي مباشرة خطوة كتابة الدالة في صورة المعادلة y = f(x)؟

  • أ) حل المعادلة الناتجة بالنسبة للمتغير y مباشرة قبل أي تغيير.
  • ب) التبديل بين موقعي المتغير x والمتغير y في المعادلة.
  • ج) استخدام اختبار الخط الرأسي للتأكد من تباين الدالة الأصلية.
  • د) ضرب طرفي المعادلة في القيمة (-1) لعكس إشارات الحدود.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: التبديل بين موقعي المتغير x والمتغير y في المعادلة.

الشرح: وفقاً لخطوات إيجاد الدالة العكسية الموضحة في المنهج: 1. نكتب الدالة في صورة y = f(x). 2. نبدل بين المتغيرين x و y (وهي الخطوة المطلوبة). 3. نحل المعادلة الناتجة بالنسبة للمتغير y. 4. نستبدل y بالرمز f⁻¹(x) إذا كان المعكوس يمثل دالة.

تلميح: تذكر أن مفهوم الدالة العكسية يعتمد على عكس العلاقة بين المدخلات والمخرجات.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط