صفحة 188 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 العلاقات والدوال العكسية (تمارين)

المفاهيم الأساسية

(الصفحة تحتوي على تمارين تطبيقية فقط، ولا تقدم تعريفات جديدة)

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 4-2: العلاقات والدوال العكسية

العلاقة العكسية

#### التعريف

تبديل إحداثيات الأزواج المرتبة
مجال الأصل = مدى العكسية
مدى الأصل = مجال العكسية

#### التعبير اللفظي

كل من العلاقتين عكسية للأخرى إذا وفقط إذا: كلما احتوت إحداهما على (b, a)، احتوت الأخرى على (a, b).

#### التمثيل البياني

العلاقة العكسية تمثل انعكاس العلاقة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).

الدالة العكسية

#### التعريف

معكوس الدالة، إذا كان دالة.

#### الرمز

\( f^{-1}(x) \)

#### خواص الدالة العكسية

إذا كان كل من \( f, f^{-1} \) دالة عكسية للأخرى، فإن:

- \( f(a) = b \) إذا وفقط إذا كان \( f^{-1}(b) = a \)

#### اختبار الخط الأفقي

إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أيضًا، فإن الدالة الأصلية تكون دالة متباينة.
يمكن استعماله لتحديد ما إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أم لا.

#### إيجاد معكوس الدالة (خطوات)

الخطوة 1: أعد كتابة الدالة كمعادلة بدلالة \( x, y \).
الخطوة 2: بدل بين المتغيرين \( x \) و \( y \).
الخطوة 3: حل المعادلة الجديدة بالنسبة للمتغير \( y \).
الخطوة 4: ضع \( f^{-1}(x) \) بدلاً من \( y \)، إذا كان المعكوس دالة.

#### التأكد من الدالة العكسية

يمكن تحديد ما إذا كانت دالتان كل منهما عكسية للأخرى أم لا، وذلك بإيجاد كل من تركيبيهما.
يجب أن يساوي كل من التركيبين `(fog)(x)` و `(gof)(x)` الدالة المحايدة `(x) = x`.

#### مثال توضيحي

`f(x) = 3x + 9`, `g(x) = x - 3`

- `(gof)(x) = x`

- `(fog)(x) = x`

- إذن كل منهما دالة عكسية للأخرى.

`f(x) = 4x²`, `g(x) = 2√x`

- `(fog)(x) = 16x`

- إذن لا تمثل كل منهما دالة عكسية للأخرى.

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة (38)

#### أوجد دالتين f(x), g(x)

#### بحيث يكون (f ∘ g)(4) = 0

اكتشف الخطأ (39)

#### f(x) = x² + 2x – 8

#### g(x) = x² + 8

#### إيجاد (f ∘ g)(x)

#### مقارنة حلّي ريم والعنود

تحدّ (40)

#### f(x) = √x , g(x) = √x

#### تحديد مجال:

##### (g ∘ g)(x)

##### (f ∘ f)(x)

تبرير (41)

#### تحديد صحة الجمل حول مجال تركيب الدوال

##### مجال (f ∘ g)(x) هو نفس مجال f(x) أو جزء منه

##### مجال (g ∘ f)(x) هو نفس مجال g(x) أو جزء منه

كتابة (42)

#### توضيح سبب استخدام تركيب الدوال

#### إعطاء مثال من واقع الحياة

تدريب على اختبار

اختيار من متعدد (43)

#### g(x) = x² + 9x + 21

#### h(x) = 2(x + 5)²

#### إيجاد الدالة المكافئة لـ h(x) - g(x)

اختيار من متعدد (44)

#### f(x) = 2x + 4

#### g(x) = x² + 5

#### إيجاد قيمة (f ∘ g)(6)

مراجعة تراكمية

تحديد أصفار الدوال (45، 46)

#### f(x) = 2x⁴ - x³ + 5x² + 3x - 9

#### f(x) = 2x⁴ - 3x³ - 2x² + 3

مسألة حجم (47)

#### صندوق أبعاده: 1 in, 16 in, x in

#### إيجاد المقدار المضاف ليكون الحجم 5985 in³

حل معادلات لمتغير محدد (48، 49، 50)

#### 5x - 7y = 12 (حل بالنسبة لـ x)

#### 3x² - 6xy + 1 = 4 (حل بالنسبة لـ y)

#### (x + 2)² + (y + 5)² = 4 (حل بالنسبة لـ y)

تمارين الصفحة 188

قسم "تأكد"

#### مثال 1: إيجاد العلاقة العكسية لمجموعات مرتبة

#### مثال 2: إيجاد معكوس دالة وتمثيله بيانياً

دوال خطية: f(x) = -3x، g(x) = 4x - 6
دالة تربيعية: h(x) = x²-3

#### مثال 3: التحقق مما إذا كانت دالتان عكسيتين

باستخدام التركيب: f(g(x)) = x و g(f(x)) = x

قسم "تدرب وحل المسائل"

#### مثال 1: إيجاد العلاقة العكسية لمجموعات مرتبة

#### مثال 2: إيجاد معكوس دوال متنوعة وتمثيلها بيانياً

دوال خطية: f(x) = x + 2، g(x) = 5x، l(x) = -2x + 1، h(x) = (x-4)/3، k(x) = -⅗x - 8
دوال تربيعية: h(x) = x² + 4، f(x) = 5x²، f(x) = ½x² - 1، f(x) = (x + 1)² + 3

#### مثال 3: التحقق مما إذا كانت دالتان عكسيتين

دوال خطية وتربيعية وجذرية وتكعيبية

مسائل تطبيقية

#### 26. تطبيق على الوقود

استخدام الدالة العكسية لإيجاد سعر الوقود لكل كيلومتر.
صورة: مضخة وقود (سعر اللتر: 1.37).

#### 27. تطبيق هندسي (مساحة الدائرة)

إيجاد معكوس دالة المساحة: A = πr²
استخدام المعكوس لإيجاد نصف القطر عند معرفة المساحة.

```

نقاط مهمة

الصفحة عبارة عن تمارين تطبيقية على إيجاد العلاقات والدوال العكسية والتحقق منها.
التمارين تشمل: مجموعات مرتبة، دوال خطية، ودوال تربيعية.
هناك مسألتان تطبيقيتان تربطان المفهوم بواقع الحياة (الوقود والهندسة).
التركيز على مهارتين: الإيجاد الجبري للمعكوس والتحقق مما إذا كانت دالتان عكسيتين.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تأكد ---


--- SECTION: مثال 1 ---
أوجد العلاقة العكسية لكل من العلاقتين الآتيتين:
1. {(-9, 10), (1, -3), (8, -5)}
2. {(-2, 9), (4, -1), (-7, 9), (7,0)}

--- SECTION: مثال 2 ---
أوجد معكوس كل من الدوال الآتية، ثم مثل الدالة ومعكوسها بيانيا على مستوى إحداثي واحد:
3. f(x) = -3x
4. g(x) = 4x - 6
5. h(x) = x²-3

--- SECTION: مثال 3 ---
في كل زوج مما يأتي، حدد هل كلُّ دالة تمثل دالة عكسية للأخرى أم لا؟ ووضح إجابتك.
6. f(x) = x - 7
g(x) = x + 7
7. f(x) = ½x + ¾
g(x) = 2x - ⅔
8. f(x) = 2x³
g(x) = ⅓√x

--- SECTION: تدرب وحل المسائل ---


--- SECTION: مثال 1 ---
أوجد العلاقة العكسية لكل من العلاقتين الآتيتين:
9. {(1, -5), (2, 6), (3, -7), (4, 8), (5, -9)}
10. {(3,0), (5, 4), (7, -8), (9, 12), (11, 16)}

--- SECTION: مثال 2 ---
أوجد معكوس كل من الدوال الآتية، ثم مثل الدالة ومعكوسها بيانيًا على مستوى إحداثي واحد:
11. f(x) = x + 2
12. g(x) = 5x
13. l(x) = -2x + 1
14. h(x) = (x-4)/3
15. k(x) = -⅗x - 8
16. h(x) = x² + 4
17. f(x) = 5x²
18. f(x) = ½x² - 1
19. f(x) = (x + 1)² + 3

--- SECTION: مثال 3 ---
في كل زوج مما يأتي، حدد هل كل دالة تمثل دالة عكسية للأخرى أم لا؟ ووضح إجابتك.
20. f(x) = 2x + 3
g(x) = 2x - 3
21. f(x) = -⅓x + 3
g(x) = -3x + 9
22. f(x) = (x+10)/8
g(x) = 8x - 10
23. f(x) = ⅔x³
g(x) = √(3/2)x
24. f(x) = (x + 6)²
g(x) = √x - 6
25. f(x) = 2√x - 5
g(x) = ¼x² - 5

--- SECTION: 26 ---
وقود : إذا كان عدد الكيلومترات التي تقطعها سيارة فهد لكل 1 لتر من
البنزين يُعبر عنه بالدالة 121 = (k(l، وكان سعر اللتر كما هو موضح في
الشكل المجاور.

a. أوجد الدالة (1) التي تمثل سعر 1 من لترات البنزين
b. أوجد دالة تمثل سعر الوقود المستهلك في الكيلو متر الواحد،
مستعملاً فكرة الدالة العكسية.

--- SECTION: 27 ---
هندسة : يُعبر عن مساحة الدائرة بالدالة A = πr2.
a. أوجد معكوس الدالة.
b. استعمل المعكوس لإيجاد نصف قطر دائرة مساحتها 36cm2.

--- VISUAL CONTEXT ---
**IMAGE**: Fuel Pump Display
Description: Image of a fuel pump display showing the price per liter and purchase gallons.
Key Values: Price/L: 1.37, Premium: 0.00, Regular: 1.37
Context: Relates to question 26 about calculating fuel costs.
(Note: Some details are estimated)

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

كيف نوجد العلاقة العكسية لمجموعة مرتبة من الأزواج المرتبة؟

أ) نضرب إحداثيات كل زوج مرتب في -1.
ب) نبدل إحداثيات كل زوج مرتب (x, y) ليصبح (y, x).
ج) نوجد معكوس جمع كل إحداثي.
د) نوجد معكوس ضرب كل إحداثي.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نبدل إحداثيات كل زوج مرتب (x, y) ليصبح (y, x).

الشرح: العلاقة العكسية هي العلاقة الناتجة عن تبديل إحداثيات كل زوج مرتب في العلاقة الأصلية. إذا كانت العلاقة الأصلية هي {(a, b), (c, d)}، فإن العلاقة العكسية هي {(b, a), (d, c)}.

تلميح: فكر في عكس ترتيب الإحداثيات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما معكوس الدالة الخطية f(x) = -3x؟

أ) f⁻¹(x) = 3x
ب) f⁻¹(x) = x/3
ج) f⁻¹(x) = -x/3
د) f⁻¹(x) = -3/x

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: f⁻¹(x) = -x/3

الشرح: 1. اكتب الدالة: y = -3x. 2. بدل x و y: x = -3y. 3. حل من أجل y: اقسم الطرفين على -3، فتصبح y = x / (-3) = -x/3. إذن، f⁻¹(x) = -x/3.

تلميح: استبدل f(x) بـ y، ثم بدل x و y، وأخيرًا حل من أجل y.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما معكوس الدالة التربيعية h(x) = x² - 3؟

أ) h⁻¹(x) = √(x - 3)
ب) h⁻¹(x) = √(x + 3)
ج) h⁻¹(x) = ±√(x + 3)
د) h⁻¹(x) = x² + 3

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: h⁻¹(x) = ±√(x + 3)

الشرح: 1. اكتب: y = x² - 3. 2. بدل: x = y² - 3. 3. حل من أجل y: أضف 3: x + 3 = y². 4. خذ الجذر التربيعي: y = ±√(x + 3). إذن، h⁻¹(x) = ±√(x + 3).

تلميح: تذكر أن معكوس الدالة التربيعية ليس دالة (إلا إذا قيدنا المجال)، ويحتوي على رمز ±.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

كيف نتحقق مما إذا كانت الدالة g(x) هي معكوس الدالة f(x)؟

أ) نقارن بين قيم f(x) و g(x) عند عدة نقاط.
ب) نتحقق من أن ميل f(x) معكوس ميل g(x).
ج) نتحقق من أن تركيب الدالتين (f∘g)(x) و (g∘f)(x) يساوي x.
د) نتحقق من أن f(x) + g(x) = 0.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نتحقق من أن تركيب الدالتين (f∘g)(x) و (g∘f)(x) يساوي x.

الشرح: لتكون g(x) هي الدالة العكسية لـ f(x)، يجب أن يحقق التركيب الشرطين: 1. (f∘g)(x) = f(g(x)) = x. 2. (g∘f)(x) = g(f(x)) = x. إذا تحقق الشرطان، فإن g = f⁻¹.

تلميح: فكر في عملية التركيب للدوال.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كانت f(x) = 2x + 3 و g(x) = 2x - 3، فهل g(x) هي معكوس f(x)؟

أ) نعم، لأن ميل كل منهما هو 2.
ب) نعم، لأن (f∘g)(x) = 4x - 3.
ج) لا، لأن (f∘g)(x) لا يساوي x.
د) لا، لأن (g∘f)(x) = 4x + 3.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا، لأن (f∘g)(x) لا يساوي x.

الشرح: 1. احسب (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(2x - 3) = 2(2x - 3) + 3 = 4x - 6 + 3 = 4x - 3. 2. الناتج 4x - 3 ≠ x. 3. بما أن أحد شروط الدالة العكسية لم يتحقق (f∘g)(x) = x، فإن g(x) ليست معكوسًا لـ f(x).

تلميح: احسب f(g(x)) وبسط الناتج.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط