صفحة 187 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 العلاقات والدوال العكسية

المفاهيم الأساسية

الدالة العكسية: تكون كل من الدالتين `f` و `g` دالة عكسية للأخرى، إذا وفقط إذا كان تركيب كل منهما يساوي الدالة المحايدة `(x) = x`.

الرموز: `[gof](x) = [fog](x) = x`

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 4-2: العلاقات والدوال العكسية

العلاقة العكسية

#### التعريف

• تبديل إحداثيات الأزواج المرتبة
• مجال الأصل = مدى العكسية
• مدى الأصل = مجال العكسية

#### التعبير اللفظي

• كل من العلاقتين عكسية للأخرى إذا وفقط إذا: كلما احتوت إحداهما على (b, a)، احتوت الأخرى على (a, b).

#### التمثيل البياني

• العلاقة العكسية تمثل انعكاس العلاقة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).

الدالة العكسية

#### التعريف

• معكوس الدالة، إذا كان دالة.

#### الرمز

• \( f^{-1}(x) \)

#### خواص الدالة العكسية

• إذا كان كل من \( f, f^{-1} \) دالة عكسية للأخرى، فإن:

- \( f(a) = b \) إذا وفقط إذا كان \( f^{-1}(b) = a \)

#### اختبار الخط الأفقي

• إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أيضًا، فإن الدالة الأصلية تكون دالة متباينة.
• يمكن استعماله لتحديد ما إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أم لا.

#### إيجاد معكوس الدالة (خطوات)

• الخطوة 1: أعد كتابة الدالة كمعادلة بدلالة \( x, y \).
• الخطوة 2: بدل بين المتغيرين \( x \) و \( y \).
• الخطوة 3: حل المعادلة الجديدة بالنسبة للمتغير \( y \).
• الخطوة 4: ضع \( f^{-1}(x) \) بدلاً من \( y \)، إذا كان المعكوس دالة.

#### التأكد من الدالة العكسية

• يمكن تحديد ما إذا كانت دالتان كل منهما عكسية للأخرى أم لا، وذلك بإيجاد كل من تركيبيهما.
• يجب أن يساوي كل من التركيبين `(fog)(x)` و `(gof)(x)` الدالة المحايدة `(x) = x`.

#### مثال توضيحي

• `f(x) = 3x + 9`, `g(x) = x - 3`

- `(gof)(x) = x`

- `(fog)(x) = x`

- إذن كل منهما دالة عكسية للأخرى.

• `f(x) = 4x²`, `g(x) = 2√x`

- `(fog)(x) = 16x`

- إذن لا تمثل كل منهما دالة عكسية للأخرى.

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة (38)

#### أوجد دالتين f(x), g(x)

#### بحيث يكون (f ∘ g)(4) = 0

اكتشف الخطأ (39)

#### f(x) = x² + 2x – 8

#### g(x) = x² + 8

#### إيجاد (f ∘ g)(x)

#### مقارنة حلّي ريم والعنود

تحدّ (40)

#### f(x) = √x , g(x) = √x

#### تحديد مجال:

##### (g ∘ g)(x)

##### (f ∘ f)(x)

تبرير (41)

#### تحديد صحة الجمل حول مجال تركيب الدوال

##### مجال (f ∘ g)(x) هو نفس مجال f(x) أو جزء منه

##### مجال (g ∘ f)(x) هو نفس مجال g(x) أو جزء منه

كتابة (42)

#### توضيح سبب استخدام تركيب الدوال

#### إعطاء مثال من واقع الحياة

تدريب على اختبار

اختيار من متعدد (43)

#### g(x) = x² + 9x + 21

#### h(x) = 2(x + 5)²

#### إيجاد الدالة المكافئة لـ h(x) - g(x)

اختيار من متعدد (44)

#### f(x) = 2x + 4

#### g(x) = x² + 5

#### إيجاد قيمة (f ∘ g)(6)

مراجعة تراكمية

تحديد أصفار الدوال (45، 46)

#### f(x) = 2x⁴ - x³ + 5x² + 3x - 9

#### f(x) = 2x⁴ - 3x³ - 2x² + 3

مسألة حجم (47)

#### صندوق أبعاده: 1 in, 16 in, x in

#### إيجاد المقدار المضاف ليكون الحجم 5985 in³

حل معادلات لمتغير محدد (48، 49، 50)

#### 5x - 7y = 12 (حل بالنسبة لـ x)

#### 3x² - 6xy + 1 = 4 (حل بالنسبة لـ y)

#### (x + 2)² + (y + 5)² = 4 (حل بالنسبة لـ y)

```

نقاط مهمة

• معكوس الدالة `f(x) = x² + 1` لا يمثل دالة؛ لأنه لا يحقق اختبار الخط الرأسي (أو لأن `f` لا تحقق اختبار الخط الأفقي).
• خطوات إيجاد معكوس `f(x) = x² + 1`:

1. `y = x² + 1`

2. `x = y² + 1`

3. `x - 1 = y²`

4. `y = ±√(x - 1)`

• تمثيله البياني هو انعكاس منحنى `f(x) = x² + 1` حول المستقيم `y = x`.
• تنبيه: لتكون كل من الدالتين دالة عكسية للأخرى، يجب أن يساوي كل من التركيبين `(fog)(x)` و `(gof)(x)` الدالة المحايدة `(x) = x`.

--- SECTION: ارشادات للدراسة --- الدوال معكوس الدالة f في الفرع b لا يمثل دالة؛ لأنه لا يحقق اختبار الخط الرأسي، أو لأن الدالة f لا تحقق اختبار الخط الأفقي. f(x) = x² + 1 (b الخطوة 1 : f(x) = x² + 1 → y = x² + 1 الخطوة 2 : x = y² + 1 الخطوة 3 : x = y² + 1 اطرح 1 من كلا الطرفين x - 1 = y² خُذ الجذر التربيعي للطرفين Vx - 1 = y الخطوة 4: y = ±√x - 1 مثل بيانيا 1 - y = V بإجراء انعكاس لمنحنى الدالة 1 + f(x) = x2 حول المستقيم y = x. f(x) = (2A 5 f(x) = 3x2 (2B التأكد من الدالة العكسية : يمكنك تحديد ما إذا كانت دالتان، كل منهما تمثل دالة عكسية للأخرى أم لا، وذلك بإيجاد كل من تركيبيهما. --- SECTION: مفهوم أساسي --- الدالة العكسية التعبير اللفظي: تكون كل من الدالتين f g دالة عكسية للأخرى، إذا وفقط إذا كان تركيب كل منهما يساوي الدالة المحايدة (x) = (x). الرموز: الدالتان (f(x) (x كل منهما تمثل دالة عكسية للأخرى، إذا وفقط إذا كان [gof](x) = [fog](x) = x --- SECTION: مثال 3 --- التأكد أن كل دالة تمثل دالة عكسية للأخرى في كل زوج مما يأتي حدد هل كل دالة تمثل دالة عكسية للأخرى أم لا؟ ووضّح إجابتك. f(x) = 3x + 9, g(x) = x-3 (a تأكد بأن تركيب الدالتين (f(x) ,(x يساوي الدالة المحايدة. [gf](x) = g[f(x)] = g(3x + 9) = (3x + 9) - 3 =x+3-3 = x [fog](x) = f[g(x)] = f(x-3) = 3(x-3)+9 =x-9+9= x إذن تمثل كل من الدالتين دالة عكسية للأخرى؛ لأن f o g](x) = [g o f](x) = x]. f(x) = 4x2, g(x) = 2√x (b [fog](x) = f[ g(x)] = f(2√x) = 4(2√x)2 = 4(4x) = 16x بما أن (fox] ، فإن الدالتين (x)) و (f(x لا تمثل كلُّ منهما دالة عكسية للأخرى. f(x) = 3x - 3, g(x) = x +4 (3A f(x) = 2x³-1, g(x) = x+1 (3B 2 --- SECTION: تنبيه ! --- الدالة العكسية تأكد أن التركيبين ]fog](x( و ]of](x( يساوي كل منهما الدالة المحايدة × = (x)؛ وذلك لتكون كل من الدالتين دالة عكسية للأخرى. الدرس 2-4 العلاقات والدوال العكسية 2018/447 Mi of Education وزارة التعليم --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a parabola f(x)=x²+1 and a line y=x X-axis: x Y-axis: y