تدريب على اختبار - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: تدريب على اختبار

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 تدريب على اختبار ومسائل مهارات التفكير العليا

المفاهيم الأساسية

* اختبار الخط الأفقي: أداة لتحديد ما إذا كان معكوس دالة ما يمثل دالة أيضًا.

* الدالة العكسية: إذا كانت `f` و `g` دالتين عكسيتين، فإن `f(g(x)) = x` و `g(f(x)) = x`.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 4-2: العلاقات والدوال العكسية

العلاقة العكسية

#### التعريف

  • تبديل إحداثيات الأزواج المرتبة
  • مجال الأصل = مدى العكسية
  • مدى الأصل = مجال العكسية

#### التعبير اللفظي

  • كل من العلاقتين عكسية للأخرى إذا وفقط إذا: كلما احتوت إحداهما على (b, a)، احتوت الأخرى على (a, b).

#### التمثيل البياني

  • العلاقة العكسية تمثل انعكاس العلاقة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).

الدالة العكسية

#### التعريف

  • معكوس الدالة، إذا كان دالة.

#### الرمز

  • \( f^{-1}(x) \)

#### خواص الدالة العكسية

  • إذا كان كل من \( f, f^{-1} \) دالة عكسية للأخرى، فإن:

- \( f(a) = b \) إذا وفقط إذا كان \( f^{-1}(b) = a \)

#### اختبار الخط الأفقي

  • إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أيضًا، فإن الدالة الأصلية تكون دالة متباينة.
  • يمكن استعماله لتحديد ما إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أم لا.

#### إيجاد معكوس الدالة (خطوات)

  • الخطوة 1: أعد كتابة الدالة كمعادلة بدلالة \( x, y \).
  • الخطوة 2: بدل بين المتغيرين \( x \) و \( y \).
  • الخطوة 3: حل المعادلة الجديدة بالنسبة للمتغير \( y \).
  • الخطوة 4: ضع \( f^{-1}(x) \) بدلاً من \( y \)، إذا كان المعكوس دالة.

#### التأكد من الدالة العكسية

  • يمكن تحديد ما إذا كانت دالتان كل منهما عكسية للأخرى أم لا، وذلك بإيجاد كل من تركيبيهما.
  • يجب أن يساوي كل من التركيبين `(fog)(x)` و `(gof)(x)` الدالة المحايدة `(x) = x`.

#### مثال توضيحي

  • `f(x) = 3x + 9`, `g(x) = x - 3`

- `(gof)(x) = x`

- `(fog)(x) = x`

- إذن كل منهما دالة عكسية للأخرى.

  • `f(x) = 4x²`, `g(x) = 2√x`

- `(fog)(x) = 16x`

- إذن لا تمثل كل منهما دالة عكسية للأخرى.

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة (38)

#### أوجد دالتين f(x), g(x)

#### بحيث يكون (f ∘ g)(4) = 0

اكتشف الخطأ (39)

#### f(x) = x² + 2x – 8

#### g(x) = x² + 8

#### إيجاد (f ∘ g)(x)

#### مقارنة حلّي ريم والعنود

تحدّ (40)

#### f(x) = √x , g(x) = √x

#### تحديد مجال:

##### (g ∘ g)(x)

##### (f ∘ f)(x)

تبرير (41)

#### تحديد صحة الجمل حول مجال تركيب الدوال

##### مجال (f ∘ g)(x) هو نفس مجال f(x) أو جزء منه

##### مجال (g ∘ f)(x) هو نفس مجال g(x) أو جزء منه

كتابة (42)

#### توضيح سبب استخدام تركيب الدوال

#### إعطاء مثال من واقع الحياة

تدريب على اختبار

اختيار من متعدد (43)

#### g(x) = x² + 9x + 21

#### h(x) = 2(x + 5)²

#### إيجاد الدالة المكافئة لـ h(x) - g(x)

اختيار من متعدد (44)

#### f(x) = 2x + 4

#### g(x) = x² + 5

#### إيجاد قيمة (f ∘ g)(6)

مراجعة تراكمية

تحديد أصفار الدوال (45، 46)

#### f(x) = 2x⁴ - x³ + 5x² + 3x - 9

#### f(x) = 2x⁴ - 3x³ - 2x² + 3

مسألة حجم (47)

#### صندوق أبعاده: 1 in, 16 in, x in

#### إيجاد المقدار المضاف ليكون الحجم 5985 in³

حل معادلات لمتغير محدد (48، 49، 50)

#### 5x - 7y = 12 (حل بالنسبة لـ x)

#### 3x² - 6xy + 1 = 4 (حل بالنسبة لـ y)

#### (x + 2)² + (y + 5)² = 4 (حل بالنسبة لـ y)

تمارين الصفحة 188

قسم "تأكد"

#### مثال 1: إيجاد العلاقة العكسية لمجموعات مرتبة

#### مثال 2: إيجاد معكوس دالة وتمثيله بيانياً

  • دوال خطية: f(x) = -3x، g(x) = 4x - 6
  • دالة تربيعية: h(x) = x²-3

#### مثال 3: التحقق مما إذا كانت دالتان عكسيتين

  • باستخدام التركيب: f(g(x)) = x و g(f(x)) = x

قسم "تدرب وحل المسائل"

#### مثال 1: إيجاد العلاقة العكسية لمجموعات مرتبة

#### مثال 2: إيجاد معكوس دوال متنوعة وتمثيلها بيانياً

  • دوال خطية: f(x) = x + 2، g(x) = 5x، l(x) = -2x + 1، h(x) = (x-4)/3، k(x) = -⅗x - 8
  • دوال تربيعية: h(x) = x² + 4، f(x) = 5x²، f(x) = ½x² - 1، f(x) = (x + 1)² + 3

#### مثال 3: التحقق مما إذا كانت دالتان عكسيتين

  • دوال خطية وتربيعية وجذرية وتكعيبية

مسائل تطبيقية

#### 26. تطبيق على الوقود

  • استخدام الدالة العكسية لإيجاد سعر الوقود لكل كيلومتر.
  • صورة: مضخة وقود (سعر اللتر: 1.37).

#### 27. تطبيق هندسي (مساحة الدائرة)

  • إيجاد معكوس دالة المساحة: A = πr²
  • استخدام المعكوس لإيجاد نصف القطر عند معرفة المساحة.

تمارين الصفحة 189

تدريب على اختبار

#### تطبيق اختبار الخط الأفقي

  • f(x) = x³-8
  • h(x) = 2x²
  • g(x) = 3x +7

#### تطبيق عملي: تحويل درجات الحرارة

  • F(x) = \frac{9}{5}x + 32
  • إيجاد F^{-1}(x) والتحقق من أنها دالة عكسية.

#### تمثيلات متعددة: دوال القوة

  • y = x^n حيث n = 0,1,2,...
  • تحديد قيم n التي تجعل معكوس الدالة دالة أيضًا.

مسائل مهارات التفكير العليا

#### تبرير (33)

  • صحة جملة: "إذا كانت العلاقة لا تمثل دالة، فإن معكوسها لا يمثل دالة أيضًا."

#### مسألة مفتوحة (34)

  • إعطاء مثال على دالة ودالتها العكسية والتحقق.

#### تحدّ (35)

  • إعطاء مثال على دالة معكوسها الدالة نفسها.

#### كتابة (36)

  • تبرير لماذا يكون f(g(5)) = 5 إذا كانت f و g دالتين عكسيتين.

#### اختيار من متعدد (37، 38)

  • إيجاد تركيب دوال.
  • تحديد الدالة العكسية لدالة معطاة.

مراجعة تراكمية

#### تركيب الدوال (39، 40، 41)

  • f(x) = 3x + 5, g(x) = x - 2, h(x) = x² - 1
  • إيجاد: g[f(3)]، f[h(-2)]، h[g(1)]

#### مسائل هندسية وجبرية (42-46)

  • إيجاد أبعاد شبه منحرف بمعطى المساحة.
  • تبسيط عبارات مركبة.

```

نقاط مهمة

* الصفحة تحتوي على تدريب على اختبار و مسائل مهارات تفكير عليا و مراجعة تراكمية.

* التركيز على تطبيق اختبار الخط الأفقي لتحديد قابلية عكس الدالة.

* تتضمن المسائل تطبيقات عملية مثل تحويل درجات الحرارة.

* مسائل التفكير العليا تتطلب تبريرًا منطقيًا وبناء أمثلة.

* المراجعة التراكمية تشمل تركيب الدوال وتبسيط الأعداد المركبة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

تدريب على اختبار

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار

28

نوع: QUESTION_HOMEWORK

استعمل اختبار الخط الأفقي لتحدد ما إذا كان معكوس كل دالة من الدوال الآتية دالة أيضًا أم لا: f(x) = x³-8

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

h(x) = 2x²

30

نوع: QUESTION_HOMEWORK

g(x) = 3x +7

31

نوع: QUESTION_HOMEWORK

درجات الحرارة تستعمل الصيغة 32 + : F(x) = x للتحويل من درجة الحرارة السيليزية إلى درجة الحرارة الفهرنهايتية.

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تمثيلات متعددة: تأمل الدالة " y = x ، حيث ... ,0,1,2 = n .

مسائل مهارات التفكير العليا

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تبرير: حدد ما إذا كانت الجملة الآتية صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدًا. وضّح إجابتك. " إذا كانت العلاقة لا تمثل دالة، فإن معكوسها لا يمثل دالة أيضًا."

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

مسألة مفتوحة : أعط مثالا على دالة، ودالتها العكسية . وتحقق من أن كلا منهما دالة عكسية للأخرى.

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحد: أعط مثالا على دالة معكوسها الدالة نفسها.

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب إذا كان لديك تركيب لدالتين كل منهما دالة عكسية للأخرى. فلماذا تكون قيمة تركيب الدالتين عند العدد 5 تساوي العدد 5 دائما ؟

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كان 1 + f(x) = x + 3 (x) = - x، فأي مما يأتي يمثل ؟f[g(x)]

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أيُّ الدوال الآتية هي دالة عكسية للدالة: 35 = (f(x ؟

مراجعة تراكمية

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة تراكمية

39

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كان 1 = h(x) = x2 – ،f(x) = 3x + 5, g(x) = x - 2 :فأوجد قيمة كل مما يأتي : (الدرس: 1-4) g[f(3)]

40

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f[h(-2)]

41

نوع: QUESTION_HOMEWORK

h[g(1)]

42

نوع: QUESTION_HOMEWORK

مساحة : قطعة أرض على شكل شبه منحرف طول قاعدتها الأطول يزيد بمقدار 8ft على 3 أمثال طول قاعدتها الأقصر، ويزيد ارتفاعها قدما واحدةً على 3 أمثال طول قاعدتها الأقصر . ما أبعاد قطعة الأرض إذا كانت مساحتها 4104ft2؟ (مهارة سابقة)

43

نوع: QUESTION_HOMEWORK

بسط كلا مما يأتي : (مهارة سابقة) (3+4i)(52i)

44

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(√6+i)(√6-i)

45

نوع: QUESTION_HOMEWORK

1+i 1-i

46

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4-3i 1+2i

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تدريب على اختبار --- تدريب على اختبار --- SECTION: 28 --- استعمل اختبار الخط الأفقي لتحدد ما إذا كان معكوس كل دالة من الدوال الآتية دالة أيضًا أم لا: f(x) = x³-8 --- SECTION: 29 --- h(x) = 2x² --- SECTION: 30 --- g(x) = 3x +7 --- SECTION: 31 --- درجات الحرارة تستعمل الصيغة 32 + : F(x) = x للتحويل من درجة الحرارة السيليزية إلى درجة الحرارة الفهرنهايتية. a. أوجد (F -1 (x. ثم بيّن أن (F-1 (x و (F(x تمثل كل منهما دالة عكسية للأخرى. b. فيم تستعمل (F-1 (x ؟ --- SECTION: 32 --- تمثيلات متعددة: تأمل الدالة " y = x ، حيث ... ,0,1,2 = n . a. بيانيا : مثل الدوال " y = x بيانيا للقيم 0,1,2,3,4 = n. b. جدوليًا : ما قيم n التي تجعل معكوس هذه الدوال دوال أيضًا؟ سجل نتائجك في جدول. c. تحليليا : استنتج قيم n التي يكون عندها معكوس الدوال f(x) = x دوال أيضًا، على فرض أن 1 عدد كلي. --- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا --- مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 33 --- تبرير: حدد ما إذا كانت الجملة الآتية صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدًا. وضّح إجابتك. " إذا كانت العلاقة لا تمثل دالة، فإن معكوسها لا يمثل دالة أيضًا." --- SECTION: 34 --- مسألة مفتوحة : أعط مثالا على دالة، ودالتها العكسية . وتحقق من أن كلا منهما دالة عكسية للأخرى. --- SECTION: 35 --- تحد: أعط مثالا على دالة معكوسها الدالة نفسها. --- SECTION: 36 --- اكتب إذا كان لديك تركيب لدالتين كل منهما دالة عكسية للأخرى. فلماذا تكون قيمة تركيب الدالتين عند العدد 5 تساوي العدد 5 دائما ؟ --- SECTION: 37 --- إذا كان 1 + f(x) = x + 3 (x) = - x، فأي مما يأتي يمثل ؟f[g(x)] x²-x+2 A -x2-2 B -x3 + x2 3x +3 C x²-2x+4 D --- SECTION: 38 --- أيُّ الدوال الآتية هي دالة عكسية للدالة: 35 = (f(x ؟ g(x) = A g(x) = B g(x) = 2x + 5 C g(x) = D --- SECTION: مراجعة تراكمية --- مراجعة تراكمية --- SECTION: 39 --- إذا كان 1 = h(x) = x2 – ،f(x) = 3x + 5, g(x) = x - 2 :فأوجد قيمة كل مما يأتي : (الدرس: 1-4) g[f(3)] --- SECTION: 40 --- f[h(-2)] --- SECTION: 41 --- h[g(1)] --- SECTION: 42 --- مساحة : قطعة أرض على شكل شبه منحرف طول قاعدتها الأطول يزيد بمقدار 8ft على 3 أمثال طول قاعدتها الأقصر، ويزيد ارتفاعها قدما واحدةً على 3 أمثال طول قاعدتها الأقصر . ما أبعاد قطعة الأرض إذا كانت مساحتها 4104ft2؟ (مهارة سابقة) --- SECTION: 43 --- بسط كلا مما يأتي : (مهارة سابقة) (3+4i)(52i) --- SECTION: 44 --- (√6+i)(√6-i) --- SECTION: 45 --- 1+i 1-i --- SECTION: 46 --- 4-3i 1+2i

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 17 بطاقة لهذه الصفحة

أيُّ الدوال الآتية هي دالة عكسية للدالة: f(x) = 3x - 5؟

  • أ) g(x) = 3x + 5
  • ب) g(x) = (x - 5)/3
  • ج) g(x) = 2x + 5
  • د) g(x) = (x + 5)/3

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: g(x) = (x + 5)/3

الشرح: 1. اكتب الدالة: y = 3x - 5. 2. بدّل x و y: x = 3y - 5. 3. حل من أجل y: أضف 5: x + 5 = 3y. 4. اقسم على 3: y = (x + 5)/3. 5. إذن، f⁻¹(x) = (x + 5)/3.

تلميح: لإيجاد الدالة العكسية، بدّل x و y في المعادلة y = 3x - 5، ثم حل من أجل y.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

استعمل اختبار الخط الأفقي لتحدد ما إذا كان معكوس الدالة f(x) = x³ - 8 دالة أيضًا أم لا.

  • أ) نعم، معكوسها دالة أيضًا.
  • ب) لا، معكوسها ليس دالة.
  • ج) معكوسها دالة فقط عندما x ≥ 0.
  • د) معكوسها دالة فقط عندما x ≤ 0.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نعم، معكوسها دالة أيضًا.

الشرح: ١. الدالة f(x) = x³ - 8 هي دالة تكعيبية. ٢. مشتقتها f'(x) = 3x²، وهي موجبة لجميع قيم x باستثناء x=0 حيث تساوي صفرًا. ٣. الدالة متزايدة على مجالها (جميع الأعداد الحقيقية). ٤. أي خط أفقي سوف يقطع التمثيل البياني لهذه الدالة المتزايدة في نقطة واحدة فقط. ٥. إذن، الدالة واحد لواحد، ومعكوسها دالة أيضًا.

تلميح: اختبار الخط الأفقي: إذا قطع أي خط أفقي التمثيل البياني للدالة في نقطة واحدة على الأكثر، فإن الدالة واحد لواحد ومعكوسها دالة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل اختبار الخط الأفقي لتحدد ما إذا كان معكوس الدالة h(x) = 2x² دالة أيضًا أم لا.

  • أ) نعم، معكوسها دالة أيضًا.
  • ب) لا، معكوسها ليس دالة.
  • ج) معكوسها دالة فقط عندما x ≥ 0.
  • د) معكوسها دالة فقط عندما x ≤ 0.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا، معكوسها ليس دالة.

الشرح: ١. الدالة h(x) = 2x² هي دالة تربيعية، تمثيلها البياني قطع مكافئ مفتوح لأعلى. ٢. نطاق الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة (y ≥ 0). ٣. لأي قيمة y > 0، يوجد قيمتان مختلفتان لـ x (x = √(y/2) و x = -√(y/2)) تحققان h(x) = y. ٤. الخط الأفقي y = 1 (مثلاً) يقطع التمثيل البياني في نقطتين. ٥. إذن، الدالة ليست واحد لواحد، ومعكوسها ليس دالة.

تلميح: تذكر شكل منحنى الدالة التربيعية (قطع مكافئ). هل يمكن لخط أفقي أن يقطعه في أكثر من نقطة؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل اختبار الخط الأفقي لتحدد ما إذا كان معكوس الدالة g(x) = 3x + 7 دالة أيضًا أم لا.

  • أ) نعم، معكوسها دالة أيضًا.
  • ب) لا، معكوسها ليس دالة.
  • ج) معكوسها دالة فقط عندما x ≥ -7/3.
  • د) معكوسها دالة فقط عندما x ≤ -7/3.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نعم، معكوسها دالة أيضًا.

الشرح: ١. الدالة g(x) = 3x + 7 هي دالة خطية. ٢. مشتقتها g'(x) = 3، وهي ثابتة موجبة. ٣. الدالة متزايدة على مجالها (جميع الأعداد الحقيقية). ٤. أي خط أفقي سوف يقطع التمثيل البياني للدالة الخطية المتزايدة في نقطة واحدة فقط. ٥. إذن، الدالة واحد لواحد، ومعكوسها دالة أيضًا.

تلميح: ما نوع الدالة المعطاة؟ هل هي خطية؟ وما ميلها؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

درجات الحرارة: تستعمل الصيغة F(x) = (9/5)x + 32 للتحويل من درجة الحرارة السيليزية إلى درجة الحرارة الفهرنهايتية. أوجد F⁻¹(x).

  • أ) F⁻¹(x) = (9/5)(x - 32)
  • ب) F⁻¹(x) = (5/9)(x + 32)
  • ج) F⁻¹(x) = (5/9)(x - 32)
  • د) F⁻¹(x) = (9/5)x - 32

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: F⁻¹(x) = (5/9)(x - 32)

الشرح: ١. ابدأ بالمعادلة الأصلية: y = (9/5)x + 32. ٢. بدّل بين x و y: x = (9/5)y + 32. ٣. حل من أجل y: اطرح 32 من الطرفين: x - 32 = (9/5)y. ٤. اضرب الطرفين في (5/9): y = (5/9)(x - 32). ٥. إذن، الدالة العكسية هي: F⁻¹(x) = (5/9)(x - 32).

تلميح: لإيجاد الدالة العكسية، بدّل بين x و y في المعادلة الأصلية ثم حل من أجل y.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

تبرير: حدد ما إذا كانت الجملة الآتية صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدًا: 'إذا كانت العلاقة لا تمثل دالة، فإن معكوسها لا يمثل دالة أيضًا.'

  • أ) صحيحة دائماً
  • ب) صحيحة أحياناً
  • ج) غير صحيحة أبداً
  • د) لا يمكن تحديد ذلك

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: صحيحة أحياناً

الشرح: ١. العلاقة التي لا تمثل دالة تفشل في اختبار الخط الرأسي (لكل مدخل x، قد يكون هناك أكثر من مخرج y). ٢. معكوس هذه العلاقة سيفشل في اختبار الخط الأفقي. ٣. لكي يكون المعكوس دالة، يجب أن ينجح في اختبار الخط الأفقي. ٤. مثال: العلاقة {(1,2), (1,3)} ليست دالة. معكوسها {(2,1), (3,1)} هو دالة (لكل مدخل 2 أو 3، هناك مخرج واحد فقط هو 1). ٥. مثال مضاد: العلاقة {(1,2), (3,2)} ليست دالة. معكوسها {(2,1), (2,3)} ليس دالة. ٦. إذن، العبارة ليست صحيحة دائمًا ولا خاطئة أبدًا، بل صحيحة أحيانًا.

تلميح: فكّر في علاقة يكون معكوسها دالة، مثل العلاقة التي تمثل دائرة. هل معكوسها دائرة أيضًا؟

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

تمثيلات متعددة: تأمل الدالة y = xⁿ، حيث n = 0, 1, 2, ... ما قيم n التي تجعل معكوس هذه الدوال دوال أيضًا؟ (افترض أن n عدد كلي)

  • أ) n زوجي فقط (مثل 0، 2، 4، ...)
  • ب) n فردي فقط (مثل 1، 3، 5، ...)
  • ج) جميع قيم n (زوجية وفردية)
  • د) فقط n = 1

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: n فردي فقط (مثل 1، 3، 5، ...)

الشرح: 1. الدالة y = xⁿ تكون تقابلية (واحد لواحد) إذا كانت n فردية. 2. لأنها تكون متزايدة أو متناقصة على مجالها الكامل. 3. إذا كانت n زوجية (مثل 0، 2، 4، ...) فإن الدالة ليست واحد لواحد (مثال: x² و (-x)² يعطيان نفس الناتج). 4. لذلك، معكوس الدالة يكون دالة فقط عندما يكون n فردياً.

تلميح: تذكر أن اختبار الخط الأفقي يحدد إذا كانت الدالة تقابلية (واحد لواحد) وبالتالي يكون معكوسها دالة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

مسألة مفتوحة: أي مما يلي يمثل زوجًا من الدوال العكسية لبعضهما البعض؟

  • أ) f(x) = x² و g(x) = √x
  • ب) f(x) = 2x + 3 و g(x) = (x - 3)/2
  • ج) f(x) = 3x و g(x) = x/4
  • د) f(x) = |x| و g(x) = x

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: f(x) = 2x + 3 و g(x) = (x - 3)/2

الشرح: 1. للتحقق: f(g(x)) = 2 * ((x - 3)/2) + 3 = (x - 3) + 3 = x. 2. وكذلك: g(f(x)) = ((2x + 3) - 3)/2 = (2x)/2 = x. 3. العلاقة f(g(x)) = g(f(x)) = x محققة. 4. الخيارات الأخرى لا تحقق هذه العلاقة.

تلميح: تذكر أن الدالة العكسية تعكس تأثير الدالة الأصلية، أي أن f(g(x)) = x و g(f(x)) = x.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان لديك تركيب لدالتين كل منهما دالة عكسية للأخرى. فلماذا تكون قيمة تركيب الدالتين عند العدد 5 تساوي العدد 5 دائمًا؟

  • أ) لأن العدد 5 هو رقم خاص في الرياضيات.
  • ب) لأن ناتج أي تركيب دوال عند 5 يساوي 5.
  • ج) لأن تركيب دالة مع عكسها يعطي دالة المحايد (f(g(x)) = x).
  • د) لأنه شرط في السؤال فقط.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لأن تركيب دالة مع عكسها يعطي دالة المحايد (f(g(x)) = x).

الشرح: 1. إذا كانت g هي الدالة العكسية لـ f، فإنه بحسب التعريف: f(g(x)) = x. 2. عند التعويض بـ x = 5، نحصل على: f(g(5)) = 5. 3. هذه النتيجة صحيحة لأي عدد x، وليست خاصة بالعدد 5. 4. السبب هو أن الدالة العكسية 'ترجع' القيمة إلى حالتها الأصلية قبل تطبيق الدالة الأولى.

تلميح: تذكر تعريف الدالة العكسية: إذا كانت g هي عكس f، فإن f(g(x)) = x و g(f(x)) = x لأي x في المجال.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

بسط العبارة (4-3i)/(1+2i).

  • أ) 2 - i
  • ب) -2/5 - (11/5)i
  • ج) 10/3 + (5/3)i
  • د) 2 + (11/5)i

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: -2/5 - (11/5)i

الشرح: 1. مرافق المقام (1+2i) هو (1-2i). 2. اضرب: [(4-3i)/(1+2i)] × [(1-2i)/(1-2i)] = ((4-3i)(1-2i)) / ((1+2i)(1-2i)). 3. بسّط البسط: (4)(1) + (4)(-2i) + (-3i)(1) + (-3i)(-2i) = 4 - 8i - 3i + 6i² = 4 - 11i + 6(-1) = 4 - 11i - 6 = -2 - 11i. 4. بسّط المقام: (1)(1) + (1)(-2i) + (2i)(1) + (2i)(-2i) = 1 - 2i + 2i - 4i² = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5. 5. الناتج: (-2 - 11i) / 5 = -2/5 - (11/5)i.

تلميح: اضرب البسط والمقام في مرافق المقام (1-2i)، ثم قسّم الحدين الحقيقي والتخيلي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كانت الجملة الآتية صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدًا: "إذا كانت العلاقة لا تمثل دالة، فإن معكوسها لا يمثل دالة أيضًا."

  • أ) صحيحة دائماً
  • ب) صحيحة أحياناً
  • ج) غير صحيحة أبداً
  • د) تعتمد فقط على المجال المقابل

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: صحيحة أحياناً

الشرح: ١. العلاقة لا تمثل دالة إذا ارتبط عنصر في المجال بأكثر من عنصر في المدى (مثلاً: العدد ١ يرتبط بـ ٢ و ٣). ٢. عند إيجاد المعكوس، تصبح عناصر المدى هي المجال. ٣. إذا كانت القيم في المدى الأصلي فريدة، فقد يصبح المعكوس دالة. مثال: {(١, ٢)، (١, ٣)} ليست دالة، لكن معكوسها {(٢, ١)، (٣, ١)} يمثل دالة. ٤. قد لا يمثل المعكوس دالة أيضاً في حالات أخرى. ٥. بما أن الجملة تتحقق في حالات ولا تتحقق في أخرى، فهي صحيحة أحياناً.

تلميح: فكر في علاقة يرتبط فيها عنصر واحد بقيمتين مختلفتين، ثم اعكس العلاقة واختبر إذا كان الناتج دالة.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

أيُّ الدوال الآتية هي الدالة العكسية للدالة f(x) = (x - 5) / 2 ؟

  • أ) g(x) = (x + 5) / 2
  • ب) g(x) = 2x - 5
  • ج) g(x) = 2x + 5
  • د) g(x) = 5x + 2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: g(x) = 2x + 5

الشرح: ١. نضع y بدلاً من f(x): y = (x - 5) / 2 ٢. نبدل المتغيرات x و y: x = (y - 5) / 2 ٣. نضرب طرفي المعادلة في 2: 2x = y - 5 ٤. نجمع 5 للطرفين لعزل y: y = 2x + 5 ٥. الناتج النهائي هو الدالة العكسية: g(x) = 2x + 5.

تلميح: لإيجاد الدالة العكسية، بدّل بين x و y ثم حل المعادلة لإيجاد قيمة y الجديدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أيُّ الدوال الآتية هي دالة عكسية للدالة: f(x) = (x - 5) / 3 ؟

  • أ) g(x) = 3x - 5
  • ب) g(x) = (x + 5) / 3
  • ج) g(x) = 3x + 5
  • د) g(x) = 5x + 3

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: g(x) = 3x + 5

الشرح: ١. نضع الدالة في صورة معادلة: y = (x - 5) / 3 ٢. نبدل المتغير x بـ y والمتغير y بـ x: x = (y - 5) / 3 ٣. نضرب طرفي المعادلة في 3 للتخلص من المقام: 3x = y - 5 ٤. ننقل -5 للطرف الآخر بإشارة موجبة: y = 3x + 5 ٥. إذن الدالة العكسية هي: g(x) = 3x + 5

تلميح: لإيجاد الدالة العكسية، استبدل f(x) بـ y، ثم بدّل مواقع x و y وحل المعادلة بالنسبة لـ y.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أيُّ الدوال الآتية تمثل الدالة العكسية للدالة: f(x) = (x - 5) / 3؟

  • أ) g(x) = (x + 5) / 3
  • ب) g(x) = 3x - 5
  • ج) g(x) = 3x + 5
  • د) g(x) = 3 / (x - 5)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: g(x) = 3x + 5

الشرح: ١. نضع y مكان f(x): y = (x - 5) / 3. ٢. نبدل موقع x و y في المعادلة: x = (y - 5) / 3. ٣. نضرب طرفي المعادلة في 3 للتخلص من المقام: 3x = y - 5. ٤. ننقل العدد 5 إلى الطرف الآخر بإشارة موجبة: y = 3x + 5. ٥. إذن الدالة العكسية هي g(x) = 3x + 5.

تلميح: لإيجاد الدالة العكسية، بادل بين x و y ثم حل المعادلة الناتجة بالنسبة لـ y.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أيُّ الدوال الآتية تمثل الدالة العكسية للدالة: f(x) = (x - 5) / 3 ؟

  • أ) g(x) = 3x - 5
  • ب) g(x) = 3x + 5
  • ج) g(x) = (x + 5) / 3
  • د) g(x) = 3 / (x - 5)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: g(x) = 3x + 5

الشرح: 1. نضع y = (x - 5) / 3 2. نبدل المتغيرات لتصبح المعادلة: x = (y - 5) / 3 3. نضرب طرفي المعادلة في 3 للتخلص من المقام: 3x = y - 5 4. ننقل العدد (5-) للطرف الآخر بإشارة مخالفة: y = 3x + 5 5. إذن، الدالة العكسية هي g(x) = 3x + 5

تلميح: لإيجاد الدالة العكسية، استبدل f(x) بـ y، ثم بادل بين المتغيرين x و y وحل المعادلة لإيجاد y.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أيُّ الدوال الآتية هي دالة عكسية للدالة: f(x) = (x - 5) / 2 ؟

  • أ) g(x) = (x + 5) / 2
  • ب) g(x) = 2x - 5
  • ج) g(x) = 2x + 5
  • د) g(x) = 5x + 2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: g(x) = 2x + 5

الشرح: ١. نضع y مكان f(x) لتصبح: y = (x - 5) / 2. ٢. نبدل بين x و y لتصبح: x = (y - 5) / 2. ٣. نضرب الطرفين في 2 للتخلص من المقام: 2x = y - 5. ٤. ننقل العدد 5 للطرف الآخر بإشارة موجبة: y = 2x + 5. ٥. إذن الدالة العكسية هي g(x) = 2x + 5.

تلميح: لإيجاد الدالة العكسية، ابدأ باستبدال x بـ y ثم حل المعادلة بالنسبة لـ y.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أيُّ الدوال الآتية تمثل الدالة العكسية للدالة f(x) = (x - 5) / 2؟

  • أ) g(x) = 2x - 5
  • ب) g(x) = (x + 5) / 2
  • ج) g(x) = 2x + 5
  • د) g(x) = 2 / (x - 5)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: g(x) = 2x + 5

الشرح: ١. نكتب الدالة في صورة معادلة: y = (x - 5) / 2 ٢. نبدل المتغيرات x و y لتصبح: x = (y - 5) / 2 ٣. نضرب طرفي المعادلة في 2 للتخلص من المقام: 2x = y - 5 ٤. ننقل العدد 5 إلى الطرف الآخر بإشارة مخالفة: y = 2x + 5 ٥. إذن الدالة العكسية هي: g(x) = 2x + 5.

تلميح: لإيجاد الدالة العكسية، استبدل f(x) بـ y، ثم بادل بين x و y وحل المعادلة الناتجة بالنسبة لـ y.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط