توسيع - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 توسيع: الدالة العكسية باستعمال الحاسبة البيانية

المفاهيم الأساسية

الدالة العكسية: دالة تعكس إحداثيات الأزواج المرتبة للدالة الأصلية.

التمثيل البياني للدالة العكسية: يكون انعكاساً للتمثيل البياني للدالة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 4-2: العلاقات والدوال العكسية

العلاقة العكسية

#### التعريف

• تبديل إحداثيات الأزواج المرتبة
• مجال الأصل = مدى العكسية
• مدى الأصل = مجال العكسية

#### التعبير اللفظي

• كل من العلاقتين عكسية للأخرى إذا وفقط إذا: كلما احتوت إحداهما على (b, a)، احتوت الأخرى على (a, b).

#### التمثيل البياني

• العلاقة العكسية تمثل انعكاس العلاقة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).

الدالة العكسية

#### التعريف

• معكوس الدالة، إذا كان دالة.

#### الرمز

• \( f^{-1}(x) \)

#### خواص الدالة العكسية

• إذا كان كل من \( f, f^{-1} \) دالة عكسية للأخرى، فإن:

- \( f(a) = b \) إذا وفقط إذا كان \( f^{-1}(b) = a \)

#### اختبار الخط الأفقي

• إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أيضًا، فإن الدالة الأصلية تكون دالة متباينة.
• يمكن استعماله لتحديد ما إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أم لا.

#### إيجاد معكوس الدالة (خطوات)

• الخطوة 1: أعد كتابة الدالة كمعادلة بدلالة \( x, y \).
• الخطوة 2: بدل بين المتغيرين \( x \) و \( y \).
• الخطوة 3: حل المعادلة الجديدة بالنسبة للمتغير \( y \).
• الخطوة 4: ضع \( f^{-1}(x) \) بدلاً من \( y \)، إذا كان المعكوس دالة.

#### التأكد من الدالة العكسية

• يمكن تحديد ما إذا كانت دالتان كل منهما عكسية للأخرى أم لا، وذلك بإيجاد كل من تركيبيهما.
• يجب أن يساوي كل من التركيبين `(fog)(x)` و `(gof)(x)` الدالة المحايدة `(x) = x`.

#### مثال توضيحي

• `f(x) = 3x + 9`, `g(x) = x - 3`

- `(gof)(x) = x`

- `(fog)(x) = x`

- إذن كل منهما دالة عكسية للأخرى.

• `f(x) = 4x²`, `g(x) = 2√x`

- `(fog)(x) = 16x`

- إذن لا تمثل كل منهما دالة عكسية للأخرى.

توسيع: الدالة العكسية باستعمال الحاسبة البيانية

الهدف

• مقارنة دالة بمعكوسها باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire.

طرق التمثيل

#### باستعمال الأزواج المرتبة

• تمثيل مجموعة أزواج مرتبة مثل: {(1, 2), (2, 4), (4, 6), (8, 10), (12, 6)} ومعكوسها.

#### باستعمال صيغة الدالة

• تمثيل دالة مثل \( f(x) = \frac{8}{3}x \) ودالتها العكسية \( g(x) = \frac{3}{8}x \).

العلاقة البيانية

• التمثيل البياني للدالة العكسية هو انعكاس للدالة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).
• التركيب \( (f \circ g)(x) = x \) لأي دالة \( f(x) \) ودالتها العكسية \( g(x) \).

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة (38)

#### أوجد دالتين f(x), g(x)

#### بحيث يكون (f ∘ g)(4) = 0

اكتشف الخطأ (39)

#### f(x) = x² + 2x – 8

#### g(x) = x² + 8

#### إيجاد (f ∘ g)(x)

#### مقارنة حلّي ريم والعنود

تحدّ (40)

#### f(x) = √x , g(x) = √x

#### تحديد مجال:

##### (g ∘ g)(x)

##### (f ∘ f)(x)

تبرير (41)

#### تحديد صحة الجمل حول مجال تركيب الدوال

##### مجال (f ∘ g)(x) هو نفس مجال f(x) أو جزء منه

##### مجال (g ∘ f)(x) هو نفس مجال g(x) أو جزء منه

كتابة (42)

#### توضيح سبب استخدام تركيب الدوال

#### إعطاء مثال من واقع الحياة

تدريب على اختبار

اختيار من متعدد (43)

#### g(x) = x² + 9x + 21

#### h(x) = 2(x + 5)²

#### إيجاد الدالة المكافئة لـ h(x) - g(x)

اختيار من متعدد (44)

#### f(x) = 2x + 4

#### g(x) = x² + 5

#### إيجاد قيمة (f ∘ g)(6)

مراجعة تراكمية

تحديد أصفار الدوال (45، 46)

#### f(x) = 2x⁴ - x³ + 5x² + 3x - 9

#### f(x) = 2x⁴ - 3x³ - 2x² + 3

مسألة حجم (47)

#### صندوق أبعاده: 1 in, 16 in, x in

#### إيجاد المقدار المضاف ليكون الحجم 5985 in³

حل معادلات لمتغير محدد (48، 49، 50)

#### 5x - 7y = 12 (حل بالنسبة لـ x)

#### 3x² - 6xy + 1 = 4 (حل بالنسبة لـ y)

#### (x + 2)² + (y + 5)² = 4 (حل بالنسبة لـ y)

تمارين الصفحة 188

قسم "تأكد"

#### مثال 1: إيجاد العلاقة العكسية لمجموعات مرتبة

#### مثال 2: إيجاد معكوس دالة وتمثيله بيانياً

• دوال خطية: f(x) = -3x، g(x) = 4x - 6
• دالة تربيعية: h(x) = x²-3

#### مثال 3: التحقق مما إذا كانت دالتان عكسيتين

• باستخدام التركيب: f(g(x)) = x و g(f(x)) = x

قسم "تدرب وحل المسائل"

#### مثال 1: إيجاد العلاقة العكسية لمجموعات مرتبة

#### مثال 2: إيجاد معكوس دوال متنوعة وتمثيلها بيانياً

• دوال خطية: f(x) = x + 2، g(x) = 5x، l(x) = -2x + 1، h(x) = (x-4)/3، k(x) = -⅗x - 8
• دوال تربيعية: h(x) = x² + 4، f(x) = 5x²، f(x) = ½x² - 1، f(x) = (x + 1)² + 3

#### مثال 3: التحقق مما إذا كانت دالتان عكسيتين

• دوال خطية وتربيعية وجذرية وتكعيبية

مسائل تطبيقية

#### 26. تطبيق على الوقود

• استخدام الدالة العكسية لإيجاد سعر الوقود لكل كيلومتر.
• صورة: مضخة وقود (سعر اللتر: 1.37).

#### 27. تطبيق هندسي (مساحة الدائرة)

• إيجاد معكوس دالة المساحة: A = πr²
• استخدام المعكوس لإيجاد نصف القطر عند معرفة المساحة.

تمارين الصفحة 189

تدريب على اختبار

#### تطبيق اختبار الخط الأفقي

• f(x) = x³-8
• h(x) = 2x²
• g(x) = 3x +7

#### تطبيق عملي: تحويل درجات الحرارة

• F(x) = \frac{9}{5}x + 32
• إيجاد F^{-1}(x) والتحقق من أنها دالة عكسية.

#### تمثيلات متعددة: دوال القوة

• y = x^n حيث n = 0,1,2,...
• تحديد قيم n التي تجعل معكوس الدالة دالة أيضًا.

مسائل مهارات التفكير العليا

#### تبرير (33)

• صحة جملة: "إذا كانت العلاقة لا تمثل دالة، فإن معكوسها لا يمثل دالة أيضًا."

#### مسألة مفتوحة (34)

• إعطاء مثال على دالة ودالتها العكسية والتحقق.

#### تحدّ (35)

• إعطاء مثال على دالة معكوسها الدالة نفسها.

#### كتابة (36)

• تبرير لماذا يكون f(g(5)) = 5 إذا كانت f و g دالتين عكسيتين.

#### اختيار من متعدد (37، 38)

• إيجاد تركيب دوال.
• تحديد الدالة العكسية لدالة معطاة.

مراجعة تراكمية

#### تركيب الدوال (39، 40، 41)

• f(x) = 3x + 5, g(x) = x - 2, h(x) = x² - 1
• إيجاد: g[f(3)]، f[h(-2)]، h[g(1)]

#### مسائل هندسية وجبرية (42-46)

• إيجاد أبعاد شبه منحرف بمعطى المساحة.
• تبسيط عبارات مركبة.

```

نقاط مهمة

• يمكن استخدام الحاسبة البيانية TI-nspire لمقارنة دالة بمعكوسها بيانياً.
• العلاقة بين التمثيل البياني لدالة ومعكوسها هي الانعكاس حول المستقيم \( y = x \).
• التركيب \( (f \circ g)(x) = x \) لأي دالة \( f(x) \) ودالتها العكسية \( g(x) \).

مُعَمِّل الحاسبة البيانية الدالة العكسية

أقارن دالة بمعكوسها باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire

يمكنك استعمال الحاسبة البيانية TI-nspire لمقارنة دالة بمعكوسها، باستعمال التمثيلات البيانية.

تمثيل المعكوس بيانيًا باستعمال الأزواج المرتبة

مثل الدالة: {(1, 2), (2, 4), (4, 6), (8, 10), (12, 6)} ، ومكوسها بيانياً باستعمال الأزواج المرتبة.

افتح الآلة الحاسبة بالضغط على on ، ومنها اختر إدراج تطبيق البيانات والجدول. أضف رموز الأعمدة ، واكتب في أعلى العمود الرمز A ، ثم اضغط enter . اكتب البيانات في العمود A ، ثم اضغط enter . من الشاشة الظاهرة اختر 1 مستند جديد ، ومنها اختر 4 إضافة تطبيق البيانات والجدول ، واكتب في أعلى العمود الرمز B ، ثم اضغط enter . اكتب البيانات في العمود B ، ثم اضغط enter . أدخل قيم x في العمود A بالترتيب، وقيم y في العمود B بالترتيب. اضغط مفتاح on واختر من الشاشة الظاهرة ، ثم اضغط enter . ثم اضغط على menu واختر منها 3 إدخال / تحرير الرسم البياني ومنها اختر 4 تكبير/تصغير النافذة ، واختر منها 6 لتكبير/تصغير الربع الأول لإظهار الشكل كاملاً اضغط enter . اضغط مفتاح var واختر 11 الموجودة عند x ، ثم اضغط enter . اضغط مفتاح tab واختر 12 الموجودة عند y ، ثم اضغط enter . ثم أعد الخطوة السابقة باختيار 12 عند x ، و 11 عند y ، فيظهر التمثيل المطلوب.

تمثيل المعكوس بيانيًا باستعمال صيغة الدالة

مثل الدالة: $f(x) = \frac{8}{3}x$ ودالتها العكسية $g(x) = \frac{3}{8}x$ بيانياً. يمكن استعمال الآلة الحاسبة في تمثيل الدالة ومعكوسها بالضغط على المفاتيح من اليمين إلى اليسار: 1 إضافة تطبيق الرسم البياني 2 إدخال معادلة ثم اختر المعادلة $x = y$ بالضغط على المفتاح ، فيظهر التمثيل المطلوب.

مثل بيانياً كلاً من الدالة $f(x)$ ، ومعكوسها $g(x)$ ، ومكوسها $f(x)$ في كل مما يأتي:

$f(x) = 2x + 1$

$f(x) = x - 3$

$f(x) = x^2 - 3$

$f(x) = x^2$

$f(x) = \frac{1}{2}x + 3$

ما العلاقة بين التمثيل البياني لدالة وتمثيلها البياني لعكسها ؟

خمن: ماذا يساوي $(f \circ g)(x)$ لأي دالة $f(x)$ ودالتها العكسية $g(x)$ ؟

العلاقات والدوال العكسية والجذرية

190

--- SECTION: توسيع --- مُعَمِّل الحاسبة البيانية الدالة العكسية --- SECTION: الهدف --- أقارن دالة بمعكوسها باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire يمكنك استعمال الحاسبة البيانية TI-nspire لمقارنة دالة بمعكوسها، باستعمال التمثيلات البيانية. --- SECTION: نشاط 1 --- تمثيل المعكوس بيانيًا باستعمال الأزواج المرتبة مثل الدالة: {(1, 2), (2, 4), (4, 6), (8, 10), (12, 6)} ، ومكوسها بيانياً باستعمال الأزواج المرتبة. --- SECTION: الخطوات: --- افتح الآلة الحاسبة بالضغط على on ، ومنها اختر إدراج تطبيق البيانات والجدول. أضف رموز الأعمدة ، واكتب في أعلى العمود الرمز A ، ثم اضغط enter . اكتب البيانات في العمود A ، ثم اضغط enter . من الشاشة الظاهرة اختر 1 مستند جديد ، ومنها اختر 4 إضافة تطبيق البيانات والجدول ، واكتب في أعلى العمود الرمز B ، ثم اضغط enter . اكتب البيانات في العمود B ، ثم اضغط enter . أدخل قيم x في العمود A بالترتيب، وقيم y في العمود B بالترتيب. اضغط مفتاح on واختر من الشاشة الظاهرة ، ثم اضغط enter . ثم اضغط على menu واختر منها 3 إدخال / تحرير الرسم البياني ومنها اختر 4 تكبير/تصغير النافذة ، واختر منها 6 لتكبير/تصغير الربع الأول لإظهار الشكل كاملاً اضغط enter . اضغط مفتاح var واختر 11 الموجودة عند x ، ثم اضغط enter . اضغط مفتاح tab واختر 12 الموجودة عند y ، ثم اضغط enter . ثم أعد الخطوة السابقة باختيار 12 عند x ، و 11 عند y ، فيظهر التمثيل المطلوب. --- SECTION: نشاط 2 --- تمثيل المعكوس بيانيًا باستعمال صيغة الدالة مثل الدالة: $f(x) = \frac{8}{3}x$ ودالتها العكسية $g(x) = \frac{3}{8}x$ بيانياً. يمكن استعمال الآلة الحاسبة في تمثيل الدالة ومعكوسها بالضغط على المفاتيح من اليمين إلى اليسار: 1 إضافة تطبيق الرسم البياني 2 إدخال معادلة ثم اختر المعادلة $x = y$ بالضغط على المفتاح ، فيظهر التمثيل المطلوب. --- SECTION: 1 --- مثل بيانياً كلاً من الدالة $f(x)$ ، ومعكوسها $g(x)$ ، ومكوسها $f(x)$ في كل مما يأتي: $f(x) = 2x + 1$ $f(x) = x - 3$ $f(x) = x^2 - 3$ $f(x) = x^2$ $f(x) = \frac{1}{2}x + 3$ --- SECTION: 7 --- ما العلاقة بين التمثيل البياني لدالة وتمثيلها البياني لعكسها ؟ --- SECTION: 8 --- خمن: ماذا يساوي $(f \circ g)(x)$ لأي دالة $f(x)$ ودالتها العكسية $g(x)$ ؟ --- SECTION: الفصل 4 --- العلاقات والدوال العكسية والجذرية 190 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: A table with two columns labeled '1' and '2'. Column '1' contains numbers 1 through 5. Column '2' contains numbers 2, 4, 6, 8, 10. Table Structure: Headers: 1 | 2 Rows: Row 1: 1 | 2 Row 2: 2 | 4 Row 3: 3 | 6 Row 4: 4 | 8 Row 5: 5 | 10 X-axis: Column 1 Y-axis: Column 2 Context: Represents a set of ordered pairs for a function, likely to be plotted. **GRAPH**: Untitled Description: A scatter plot showing blue dots and red dots, with a dashed line representing y=x. The blue dots appear to be reflections of the red dots across the y=x line. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates the concept of a function and its inverse by showing points and the line y=x, suggesting symmetry. **GRAPH**: Untitled Description: A scatter plot showing blue dots and red dots, with a dashed line representing y=x. The blue dots appear to be reflections of the red dots across the y=x line. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates the concept of a function and its inverse by showing points and the line y=x, suggesting symmetry. **GRAPH**: Untitled Description: Three lines are plotted: a red line labeled y=x, a blue line labeled f1(x)=3x, and a green line labeled f2(x)=x/3. All lines pass through the origin. X-axis: x Y-axis: y Context: Shows a function, its inverse, and the line y=x, demonstrating their graphical relationship.