لماذا ؟ - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 دوال ومتباينات الجذر التربيعي

المفاهيم الأساسية

دالة الجذر التربيعي (square root function): دالة تحتوي على الجذر التربيعي لمتغير.

الدالة الجذرية (radical function): نوع من الدوال تشمل دوال الجذر التربيعي.

متباينة الجذر التربيعي (square root inequality): متباينة تحتوي على الجذر التربيعي لمتغير.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 4-2: العلاقات والدوال العكسية

العلاقة العكسية

#### التعريف

• تبديل إحداثيات الأزواج المرتبة
• مجال الأصل = مدى العكسية
• مدى الأصل = مجال العكسية

#### التعبير اللفظي

• كل من العلاقتين عكسية للأخرى إذا وفقط إذا: كلما احتوت إحداهما على (b, a)، احتوت الأخرى على (a, b).

#### التمثيل البياني

• العلاقة العكسية تمثل انعكاس العلاقة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).

الدالة العكسية

#### التعريف

• معكوس الدالة، إذا كان دالة.

#### الرمز

• \( f^{-1}(x) \)

#### خواص الدالة العكسية

• إذا كان كل من \( f, f^{-1} \) دالة عكسية للأخرى، فإن:

- \( f(a) = b \) إذا وفقط إذا كان \( f^{-1}(b) = a \)

#### اختبار الخط الأفقي

• إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أيضًا، فإن الدالة الأصلية تكون دالة متباينة.
• يمكن استعماله لتحديد ما إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أم لا.

#### إيجاد معكوس الدالة (خطوات)

• الخطوة 1: أعد كتابة الدالة كمعادلة بدلالة \( x, y \).
• الخطوة 2: بدل بين المتغيرين \( x \) و \( y \).
• الخطوة 3: حل المعادلة الجديدة بالنسبة للمتغير \( y \).
• الخطوة 4: ضع \( f^{-1}(x) \) بدلاً من \( y \)، إذا كان المعكوس دالة.

#### التأكد من الدالة العكسية

• يمكن تحديد ما إذا كانت دالتان كل منهما عكسية للأخرى أم لا، وذلك بإيجاد كل من تركيبيهما.
• يجب أن يساوي كل من التركيبين `(fog)(x)` و `(gof)(x)` الدالة المحايدة `(x) = x`.

#### مثال توضيحي

• `f(x) = 3x + 9`, `g(x) = x - 3`

- `(gof)(x) = x`

- `(fog)(x) = x`

- إذن كل منهما دالة عكسية للأخرى.

• `f(x) = 4x²`, `g(x) = 2√x`

- `(fog)(x) = 16x`

- إذن لا تمثل كل منهما دالة عكسية للأخرى.

توسيع: الدالة العكسية باستعمال الحاسبة البيانية

الهدف

• مقارنة دالة بمعكوسها باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire.

طرق التمثيل

#### باستعمال الأزواج المرتبة

• تمثيل مجموعة أزواج مرتبة مثل: {(1, 2), (2, 4), (4, 6), (8, 10), (12, 6)} ومعكوسها.

#### باستعمال صيغة الدالة

• تمثيل دالة مثل \( f(x) = \frac{8}{3}x \) ودالتها العكسية \( g(x) = \frac{3}{8}x \).

العلاقة البيانية

• التمثيل البياني للدالة العكسية هو انعكاس للدالة الأصلية حول المستقيم \( y = x \).
• التركيب \( (f \circ g)(x) = x \) لأي دالة \( f(x) \) ودالتها العكسية \( g(x) \).

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة (38)

#### أوجد دالتين f(x), g(x)

#### بحيث يكون (f ∘ g)(4) = 0

اكتشف الخطأ (39)

#### f(x) = x² + 2x – 8

#### g(x) = x² + 8

#### إيجاد (f ∘ g)(x)

#### مقارنة حلّي ريم والعنود

تحدّ (40)

#### f(x) = √x , g(x) = √x

#### تحديد مجال:

##### (g ∘ g)(x)

##### (f ∘ f)(x)

تبرير (41)

#### تحديد صحة الجمل حول مجال تركيب الدوال

##### مجال (f ∘ g)(x) هو نفس مجال f(x) أو جزء منه

##### مجال (g ∘ f)(x) هو نفس مجال g(x) أو جزء منه

كتابة (42)

#### توضيح سبب استخدام تركيب الدوال

#### إعطاء مثال من واقع الحياة

تدريب على اختبار

اختيار من متعدد (43)

#### g(x) = x² + 9x + 21

#### h(x) = 2(x + 5)²

#### إيجاد الدالة المكافئة لـ h(x) - g(x)

اختيار من متعدد (44)

#### f(x) = 2x + 4

#### g(x) = x² + 5

#### إيجاد قيمة (f ∘ g)(6)

مراجعة تراكمية

تحديد أصفار الدوال (45، 46)

#### f(x) = 2x⁴ - x³ + 5x² + 3x - 9

#### f(x) = 2x⁴ - 3x³ - 2x² + 3

مسألة حجم (47)

#### صندوق أبعاده: 1 in, 16 in, x in

#### إيجاد المقدار المضاف ليكون الحجم 5985 in³

حل معادلات لمتغير محدد (48، 49، 50)

#### 5x - 7y = 12 (حل بالنسبة لـ x)

#### 3x² - 6xy + 1 = 4 (حل بالنسبة لـ y)

#### (x + 2)² + (y + 5)² = 4 (حل بالنسبة لـ y)

تمارين الصفحة 188

قسم "تأكد"

#### مثال 1: إيجاد العلاقة العكسية لمجموعات مرتبة

#### مثال 2: إيجاد معكوس دالة وتمثيله بيانياً

• دوال خطية: f(x) = -3x، g(x) = 4x - 6
• دالة تربيعية: h(x) = x²-3

#### مثال 3: التحقق مما إذا كانت دالتان عكسيتين

• باستخدام التركيب: f(g(x)) = x و g(f(x)) = x

قسم "تدرب وحل المسائل"

#### مثال 1: إيجاد العلاقة العكسية لمجموعات مرتبة

#### مثال 2: إيجاد معكوس دوال متنوعة وتمثيلها بيانياً

• دوال خطية: f(x) = x + 2، g(x) = 5x، l(x) = -2x + 1، h(x) = (x-4)/3، k(x) = -⅗x - 8
• دوال تربيعية: h(x) = x² + 4، f(x) = 5x²، f(x) = ½x² - 1، f(x) = (x + 1)² + 3

#### مثال 3: التحقق مما إذا كانت دالتان عكسيتين

• دوال خطية وتربيعية وجذرية وتكعيبية

مسائل تطبيقية

#### 26. تطبيق على الوقود

• استخدام الدالة العكسية لإيجاد سعر الوقود لكل كيلومتر.
• صورة: مضخة وقود (سعر اللتر: 1.37).

#### 27. تطبيق هندسي (مساحة الدائرة)

• إيجاد معكوس دالة المساحة: A = πr²
• استخدام المعكوس لإيجاد نصف القطر عند معرفة المساحة.

تمارين الصفحة 189

تدريب على اختبار

#### تطبيق اختبار الخط الأفقي

• f(x) = x³-8
• h(x) = 2x²
• g(x) = 3x +7

#### تطبيق عملي: تحويل درجات الحرارة

• F(x) = \frac{9}{5}x + 32
• إيجاد F^{-1}(x) والتحقق من أنها دالة عكسية.

#### تمثيلات متعددة: دوال القوة

• y = x^n حيث n = 0,1,2,...
• تحديد قيم n التي تجعل معكوس الدالة دالة أيضًا.

مسائل مهارات التفكير العليا

#### تبرير (33)

• صحة جملة: "إذا كانت العلاقة لا تمثل دالة، فإن معكوسها لا يمثل دالة أيضًا."

#### مسألة مفتوحة (34)

• إعطاء مثال على دالة ودالتها العكسية والتحقق.

#### تحدّ (35)

• إعطاء مثال على دالة معكوسها الدالة نفسها.

#### كتابة (36)

• تبرير لماذا يكون f(g(5)) = 5 إذا كانت f و g دالتين عكسيتين.

#### اختيار من متعدد (37، 38)

• إيجاد تركيب دوال.
• تحديد الدالة العكسية لدالة معطاة.

مراجعة تراكمية

#### تركيب الدوال (39، 40، 41)

• f(x) = 3x + 5, g(x) = x - 2, h(x) = x² - 1
• إيجاد: g[f(3)]، f[h(-2)]، h[g(1)]

#### مسائل هندسية وجبرية (42-46)

• إيجاد أبعاد شبه منحرف بمعطى المساحة.
• تبسيط عبارات مركبة.

الدرس 3-4: دوال ومتباينات الجذر التربيعي

المهارة السابقة

• تبسيط عبارات تحتوي جذوراً تربيعية.

أهداف الدرس

• تمثيل دوال الجذور التربيعية بيانياً وتحليلها.
• تمثيل متباينات الجذور التربيعية بيانياً.

الدالة الرئيسة (الأم) لدوال الجذر التربيعي

• الصيغة: f(x) = \sqrt{x}
• المجال: \{x \mid x \ge 0\}
• المدى: \{f(x) \mid f(x) \ge 0\}
• المقطعان: x = 0, f(x) = 0
• غير معرفة عندما: x < 0
• سلوك الدالة عند طرفيها:

- x \to 0, f(x) \to 0

- x \to +\infty, f(x) \to +\infty

مجال دالة الجذر التربيعي

• محدد بالقيم التي تكون عندها الدالة معرفة (ما تحت الجذر غير سالب).

مثال: تعيين المجال والمدى

• للدالة: f(x) = \sqrt{x+4}

- المجال: \{x \mid x \ge -4\}

- المدى: \{f(x) \mid f(x) \ge 0\}

تطبيق من واقع الحياة

• الزمن الدوري للبندول: T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

- حيث T الزمن الدوري، L طول البندول، g تسارع السقوط الحر (32 قدم/ث²).

```

نقاط مهمة

• الهدف: تمثيل وتحليل دوال ومتباينات الجذر التربيعي بيانياً.
• الدالة الرئيسة: f(x) = \sqrt{x} هي أساس جميع تحويلات دوال الجذر التربيعي.
• المجال: هو القيم التي تجعل ما تحت الجذر غير سالب.
• المدى: هو قيم الدالة الناتجة، وهي دائماً غير سالبة للدالة الرئيسة.
• التطبيق: تستخدم دوال الجذر التربيعي في نمذجة ظواهر مثل حركة البندول.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

دوال ومتباينات الجذر التربيعي Square Root Functions and Inequalities

فيما سبق

درست تبسيط عبارات تحتوي جذوراً تربيعية. ( مهارة سابقة)

والآن

أمثل بيانيا دوال الجذور التربيعية وأحللها. - أمثل بيانيا متباينات الجذور التربيعية.

المفردات

دالة الجذر التربيعي square root function

الدالة الجذرية radical function

متباينة الجذر التربيعي square root inequality

يُمثل الزمن الدوري للبندول بدالة الجذر التربيعي: 27=T ، حيث T الزمن الدوري بالثواني L طول البندول بالأقدام ، 8 تسارع السقوط الحر، الذي يساوي 32 قدما لكل ثانية مربعة.

دوال الجذر التربيعي : إذا احتوت دالة على الجذر التربيعي لمتغير، تُسمى دالة الجذر التربيعي. وهي نوع من أنواع الدالة الجذرية.

الدالة الرئيسة (الأم) لدوال الجذر التربيعي

الدالة الرئيسة (الأم) : f(x) = √x المجال : {x | x ≥ 0} المدى : {f(x) | f(x) ≥ 0} المقطعان : x = 0, f(x) = 0 غير معرفة عندما : x<0 سلوك الدالة عند طرفيها: x → 0, f(x) → 0 x→ +∞, f(x) → +∞

مجال دالة الجذر التربيعي محدد بالقيم التي تكون عندها الدالة معرفة.

عين كلا من المجال والمدى للدالة: 4 + f(x) = √x. مجال دالة الجذر التربيعي يشمل فقط القيم التي يكون ما تحت الجذر عندها غير سالب. x+4≥0 x ≥ -4 وبالتالي فالمجال هو : {4 = x | x}.

وبما أن 0 2 4 + Vx دائمًا، وتزيد قيم الدالة بتزايد قيم x، فإن أقل قيمة للدالة تكون عندما 0 = 4 + x؛ أي عندما 4 - = x ؛ لذا فإن (4) f تمثل الحد الأدنى للمدى. (f(-4) = -4 + 4 = 0) لذلك، فالمدى هو 0 = (f(x) | f(x) .

تحقق من فهمك

f(x) = √x -3

f(x) = √x + 6 + 2

وزارة التعليم of Education Mi الدرس 3-4 دوال ومتباينات الجذر التربيعي 201917

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa دوال ومتباينات الجذر التربيعي Square Root Functions and Inequalities فيما سبق درست تبسيط عبارات تحتوي جذوراً تربيعية. ( مهارة سابقة) والآن أمثل بيانيا دوال الجذور التربيعية وأحللها. - أمثل بيانيا متباينات الجذور التربيعية. المفردات دالة الجذر التربيعي square root function الدالة الجذرية radical function متباينة الجذر التربيعي square root inequality --- SECTION: لماذا ؟ --- يُمثل الزمن الدوري للبندول بدالة الجذر التربيعي: 27=T ، حيث T الزمن الدوري بالثواني L طول البندول بالأقدام ، 8 تسارع السقوط الحر، الذي يساوي 32 قدما لكل ثانية مربعة. دوال الجذر التربيعي : إذا احتوت دالة على الجذر التربيعي لمتغير، تُسمى دالة الجذر التربيعي. وهي نوع من أنواع الدالة الجذرية. --- SECTION: مفهوم أساسي --- الدالة الرئيسة (الأم) لدوال الجذر التربيعي --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- الدالة الرئيسة (الأم) : f(x) = √x المجال : {x | x ≥ 0} المدى : {f(x) | f(x) ≥ 0} المقطعان : x = 0, f(x) = 0 غير معرفة عندما : x<0 سلوك الدالة عند طرفيها: x → 0, f(x) → 0 x→ +∞, f(x) → +∞ مجال دالة الجذر التربيعي محدد بالقيم التي تكون عندها الدالة معرفة. --- SECTION: مثال 1 تعيين المجال والمدى --- عين كلا من المجال والمدى للدالة: 4 + f(x) = √x. مجال دالة الجذر التربيعي يشمل فقط القيم التي يكون ما تحت الجذر عندها غير سالب. x+4≥0 x ≥ -4 وبالتالي فالمجال هو : {4 = x | x}. وبما أن 0 2 4 + Vx دائمًا، وتزيد قيم الدالة بتزايد قيم x، فإن أقل قيمة للدالة تكون عندما 0 = 4 + x؛ أي عندما 4 - = x ؛ لذا فإن (4) f تمثل الحد الأدنى للمدى. (f(-4) = -4 + 4 = 0) لذلك، فالمدى هو 0 = (f(x) | f(x) . تحقق من فهمك --- SECTION: 1A --- f(x) = √x -3 --- SECTION: 1B --- f(x) = √x + 6 + 2 وزارة التعليم of Education Mi الدرس 3-4 دوال ومتباينات الجذر التربيعي 201917 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A curve starting from (0,0) and extending to the right. X-axis: x Y-axis: f(x)