تدرب وحل المسائل - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تدرب وحل المسائل (الدوال والمتباينات)

المفاهيم الأساسية

المجال: قيم المدخلات (x) في العلاقة.

المدى: قيم المخرجات (y) في العلاقة.

الدالة: علاقة يرتبط فيها كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى.

الدالة المتباينة: دالة لا يقطع أي خط أفقي تمثيلها البياني في أكثر من نقطة واحدة.

علاقة منفصلة: مجالها عناصر منفردة، وتمثيلها البياني نقاط غير متصلة.

علاقة متصلة: مجالها فترة جزئية من الأعداد الحقيقية، وتمثيلها البياني مستقيم أو منحنى متصل.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات والدوال

المفاهيم الأساسية

العلاقة

الدالة

الدالة المتباينة

المجال

المدى

تحديد العلاقة والدالة

من مجموعة أزواج مرتبة

من التمثيل البياني

أنواع العلاقات (تمثيل بياني)

علاقة منفصلة

#### مجال: عناصر منفردة

#### تمثيل بياني: نقاط غير متصلة

علاقة متصلة

#### مجال: فترة جزئية من ℝ

#### تمثيل بياني: مستقيم أو منحنى متصل

#### خاصية: يمكن رسمها دون رفع القلم

اختبار الخط الرأسي

شرط الدالة: لا يقطع أي خط رأسي التمثيل البياني بأكثر من نقطة

شرط عدم الدالة: إذا قطع خط رأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة

ينطبق على: العلاقات المتصلة والمنفصلة

معادلات العلاقات والدوال

تمثيل العلاقات بمعادلات

تحديد إذا كانت المعادلة تمثل دالة

#### من خلال التمثيل البياني

#### باستخدام اختبار الخط الرأسي

تمثيل الدالة بيانياً

خطوات التمثيل

#### 1. تحديد المجال

#### 2. إيجاد بعض الأزواج المرتبة

#### 3. تحديد المدى من التمثيل البياني

الدوال الخطية

#### مجالها: مجموعة الأعداد الحقيقية

#### مداها: مجموعة الأعداد الحقيقية

كتابة الدوال وإيجاد قيمتها

كتابة المعادلة باستخدام رمز الدالة

#### مثال: y = 5x - 1 تكتب f(x) = 5x - 1

إيجاد قيمة الدالة عند عنصر معين

#### مثال: لإيجاد f(-6) للدالة f(x) = 5x - 1

#### التعويض: f(-6) = 5(-6) - 1 = -31

اختبار الخط الأفقي (للدالة المتباينة)

شرط الدالة المتباينة: لا يقطع أي خط أفقي التمثيل البياني بأكثر من نقطة

مثال: f(x) = 2x دالة متباينة

مثال: f(x) = x^2 ليست دالة متباينة

```

نقاط مهمة

• لتحديد إذا كانت العلاقة دالة: تحقق من أن كل عنصر في المجال يرتبط بعنصر واحد فقط في المدى.
• لتحديد إذا كانت الدالة متباينة: استخدم اختبار الخط الأفقي على تمثيلها البياني.
• لإيجاد قيمة دالة عند نقطة معينة (مثل f(-8)): عوض بقيمة x في معادلة الدالة.
• العلاقة من جدول أو رسم بياني يمكن أن تكون منفصلة (بيانات معزولة) أو متصلة (بيانات متتابعة).

تدرب وحل المسائل

مثال 1 حدد مجال كل علاقة فيما يأتي ومداها، وبين ما إذا كانت دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟

{(3, -4), (-1, 0), (3, 0), (5, 3)} (13

(12

(11

مثال 2 (14) سكان يبين الجدول المجاور عدد الذكور وعدد الإناث في 4 مناطق إدارية مختلفة في المملكة لعام 1438هـ .

a) مثل البيانات الواردة في الجدول بيانيا على يمثل المحور الأفقي عدد الذكور والمحور الرأسي عدد الإناث.

b) حدد كلا من المجال والمدى.

c) هل العلاقة التي تمثل البيانات منفصلة أم متصلة؟

d) هل تمثل العلاقة دالة أم لا؟ وضح إجابتك.

الربط مع الحياة أطلقت الأمانة العامة للجنة الوطنية لمكافحة المخدرات رقم مركز استشارات الإدمان (1955)، ضمن برامج المشروع الوطني للوقاية من المخدرات نبراس.

(15) علاج: يبين التمثيل البياني المجاور أعداد مراجعي أحد مستشفيات الإدمان هل العلاقة التي يمثلها اللون الأزرق منفصلة أم متصلة؟ وهل تمثل دالة؟

مثال 3 مثل كل معادلة فيما يأتي بيانيًا، ثم حدد مجالها ومداها، وحدد إذا كانت تمثل دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ ثم حدد إن كانت منفصلة أم متصلة.

y = -5x2 (16

y = 4x2-8 (17

مثال 4 أوجد قيمة كل مما يأتي:

f(x) = 5x3 + 1 18) (8-) إذا كانت

f(x) = 16x2 19) (2.5) إذا كانت(

(20) غوص: يبين الجدول المجاور مقدار الضغط الواقع على الغواص عند أعماق معينة تحت سطح الماء:

a) مثل العلاقة بيانيا.

b) حدد كلا من مجال العلاقة ومداها، وهل هي منفصلة أم متصلة؟

c) هل هذه العلاقة دالة أم لا؟ وضح إجابتك.

إذا كانت f(x) = 3x + 2, g(x) = -2x², h(x) = -4x2 - 2x + 5 ، فأوجد قيمة كل مما يأتي:

g(-6) (21

h(3) (22

h(8) (23

f(⅔) (24

g(3/2) (25

h(⅕) (26

الربط مع الحياة الضغط الواقع على الغواص عندما يكون على عمق 10 أمتار تحت الماء يعادل ضعف الضغط الجوي على السطح تقريبا.

(27) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذا السؤال الدوال المتباينة.

a) بيانيا : مثل كل دالة مما يأتي بيانيا :

f(x) = x2

g(x) = 2x

h(x) = -x2

j(x) = x² + 2

b) جدوليا : استعمل التمثيلات البيانية في الفرع a لعمل جدول يبين عدد المرات الممكن أن يقطع فيها أي خط أفقي، التمثيل البياني لكل دالة مما سبق.

تحليليا : حتى تكون الدالة متباينة يجب ألا يقطع أي خط أفقي تمثيلها البياني في أكثر من نقطة واحدة. أي الدوال السابقة تحقق هذا الشرط وأيها لا تحققه؟

جدوليًا : كوّن جدولاً ، وصنّف فيه الدوال السابقة إلى متباينة أو غير متباينة.

--- SECTION: تدرب وحل المسائل --- تدرب وحل المسائل --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 حدد مجال كل علاقة فيما يأتي ومداها، وبين ما إذا كانت دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ {(3, -4), (-1, 0), (3, 0), (5, 3)} (13 (12 (11 --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 (14) سكان يبين الجدول المجاور عدد الذكور وعدد الإناث في 4 مناطق إدارية مختلفة في المملكة لعام 1438هـ . a) مثل البيانات الواردة في الجدول بيانيا على يمثل المحور الأفقي عدد الذكور والمحور الرأسي عدد الإناث. b) حدد كلا من المجال والمدى. c) هل العلاقة التي تمثل البيانات منفصلة أم متصلة؟ d) هل تمثل العلاقة دالة أم لا؟ وضح إجابتك. --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة أطلقت الأمانة العامة للجنة الوطنية لمكافحة المخدرات رقم مركز استشارات الإدمان (1955)، ضمن برامج المشروع الوطني للوقاية من المخدرات نبراس. --- SECTION: 15 --- (15) علاج: يبين التمثيل البياني المجاور أعداد مراجعي أحد مستشفيات الإدمان هل العلاقة التي يمثلها اللون الأزرق منفصلة أم متصلة؟ وهل تمثل دالة؟ --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3 مثل كل معادلة فيما يأتي بيانيًا، ثم حدد مجالها ومداها، وحدد إذا كانت تمثل دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ ثم حدد إن كانت منفصلة أم متصلة. y = -5x2 (16 y = 4x2-8 (17 --- SECTION: مثال 4 --- مثال 4 أوجد قيمة كل مما يأتي: f(x) = 5x3 + 1 18) (8-) إذا كانت f(x) = 16x2 19) (2.5) إذا كانت( --- SECTION: 20 --- (20) غوص: يبين الجدول المجاور مقدار الضغط الواقع على الغواص عند أعماق معينة تحت سطح الماء: a) مثل العلاقة بيانيا. b) حدد كلا من مجال العلاقة ومداها، وهل هي منفصلة أم متصلة؟ c) هل هذه العلاقة دالة أم لا؟ وضح إجابتك. إذا كانت f(x) = 3x + 2, g(x) = -2x², h(x) = -4x2 - 2x + 5 ، فأوجد قيمة كل مما يأتي: g(-6) (21 h(3) (22 h(8) (23 f(⅔) (24 g(3/2) (25 h(⅕) (26 --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة الضغط الواقع على الغواص عندما يكون على عمق 10 أمتار تحت الماء يعادل ضعف الضغط الجوي على السطح تقريبا. --- SECTION: 27 --- (27) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذا السؤال الدوال المتباينة. a) بيانيا : مثل كل دالة مما يأتي بيانيا : f(x) = x2 g(x) = 2x h(x) = -x2 j(x) = x² + 2 b) جدوليا : استعمل التمثيلات البيانية في الفرع a لعمل جدول يبين عدد المرات الممكن أن يقطع فيها أي خط أفقي، التمثيل البياني لكل دالة مما سبق. تحليليا : حتى تكون الدالة متباينة يجب ألا يقطع أي خط أفقي تمثيلها البياني في أكثر من نقطة واحدة. أي الدوال السابقة تحقق هذا الشرط وأيها لا تحققه؟ جدوليًا : كوّن جدولاً ، وصنّف فيه الدوال السابقة إلى متباينة أو غير متباينة. --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A mapping diagram showing a relation. The left side has 2 and 4. The right side has -6, -4, and 14. 2 maps to -6, -4, and 14. 4 maps to -8. Table Structure: Headers: N/A Context: Represents a relation between two sets of numbers. **TABLE**: Untitled Description: A table showing x and y values. Table Structure: Headers: x | y Rows: Row 1: -0.3 | -6 Row 2: 0.4 | -3 Row 3: 1.2 | -1 Context: Represents a relation between x and y values. **GRAPH**: أعداد مراجعي أحد مستشفيات الإدمان Description: A line graph showing the number of patients in one of the addiction hospitals. Table Structure: Headers: N/A X-axis: العام Y-axis: عدد المراجعين Context: Represents the number of patients in one of the addiction hospitals. **TABLE**: Untitled Description: A table showing the depth and pressure. Table Structure: Headers: العمق (ft) | الضغط Rows: Row 1: 0 | 1 Row 2: 20 | 1.6 Row 3: 40 | 2.2 Row 4: 60 | 2.8 Row 5: 80 | 3.4 Row 6: 100 | 4 Context: Represents the depth and pressure.