قراءة الرياضيات - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 العلاقات والدوال (استكمال)

المفاهيم الأساسية

المتغير المستقل (x): المتغير من المجال في المعادلة التي تمثل دالة.

المتغير التابع (y): المتغير الذي تعتمد قيمه على قيم المتغير المستقل x.

رمز الدالة (f(x)): يُقرأ "f لـ x"، حيث f هو اسم الدالة وليس متغيراً مضروباً في x.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات والدوال

المفاهيم الأساسية

العلاقة

الدالة

الدالة المتباينة

المجال

المدى

تحديد العلاقة والدالة

من مجموعة أزواج مرتبة

من التمثيل البياني

أنواع العلاقات (تمثيل بياني)

علاقة منفصلة

#### مجال: عناصر منفردة

#### تمثيل بياني: نقاط غير متصلة

علاقة متصلة

#### مجال: فترة جزئية من ℝ

#### تمثيل بياني: مستقيم أو منحنى متصل

#### خاصية: يمكن رسمها دون رفع القلم

اختبار الخط الرأسي

شرط الدالة: لا يقطع أي خط رأسي التمثيل البياني بأكثر من نقطة

شرط عدم الدالة: إذا قطع خط رأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة

ينطبق على: العلاقات المتصلة والمنفصلة

معادلات العلاقات والدوال

تمثيل العلاقات بمعادلات

تحديد إذا كانت المعادلة تمثل دالة

#### من خلال التمثيل البياني

#### باستخدام اختبار الخط الرأسي

تمثيل الدالة بيانياً

خطوات التمثيل

#### 1. تحديد المجال

#### 2. إيجاد بعض الأزواج المرتبة

#### 3. تحديد المدى من التمثيل البياني

الدوال الخطية

#### مجالها: مجموعة الأعداد الحقيقية

#### مداها: مجموعة الأعداد الحقيقية

كتابة الدوال وإيجاد قيمتها

كتابة المعادلة باستخدام رمز الدالة

#### مثال: y = 5x - 1 تكتب f(x) = 5x - 1

إيجاد قيمة الدالة عند عنصر معين

#### مثال: لإيجاد f(-6) للدالة f(x) = 5x - 1

#### التعويض: f(-6) = 5(-6) - 1 = -31

```

نقاط مهمة

• المعادلات التي تمثل دوال تكتب عادة باستعمال رمز الدالة.
• لإيجاد قيمة في المدى ترتبط بعنصر في المجال، نعوض بقيمة هذا العنصر مكان x في معادلة الدالة.
• يمكن أن تكون قيمة المدى (الدالة) عند تعويض بمتغير، مثل: f(2y) = 2(2y)^2 - 8 = 8y^2 - 8.

إذا كانت المعادلة تمثل دالة، فإن المتغير من المجال غالبًا ما يكون )x) ، يسمى المتغير المستقل. والمتغير الثاني (غالبا ما يكون (y)، يسمى المتغير التابع لأن قيمه تعتمد على قيم المتغير x .

المعادلات التي تمثل دوال تكتب عادة باستعمال رمز الدالة. فالمعادلة 1 - y = 5x يمكن كتابتها على الصورة 1 - f(x) = 5x. وإذا أردنا إيجاد قيمة في المدى ترتبط بالعنصر 6- في مجال الدالة f ، فإن هذه القيمة هي (6)f ويمكن إيجادها بالتعويض عن كل x في المعادلة بالعدد 6 - ؛ لذا فإن 31 - = 1 - (6-)5 = (6-)f .

رمز الدالة يستعمل الرمز (f(x للدوال بدلا من ل ، ويُقرأ f لـ x ؛ حيث f هو اسم الدالة وليس متغيرا مضروبا في x .

إيجاد قيمة الدالة لتكن 8 - f(x) = 2x2، أوجد قيمة كل مما يأتي: f(6) (a f(x) = 2x²-8 f(6) = 2(6)2-8 = 2(36) - 8 = 728 64 الدالة الأصلية عوض بسط f(2y) (b f(x) = 2x² - 8 2)2 = (2) عوضy(² - 8 = 2(4y²) - 8 = 8y2 - 8 الدالة الأصلية 62 = 36 (2y)² = 22y2 بسط بسط

تأكد تحقق من فهمك

g(4a)

g(2.8)

g(x) = 0.5x25x + 3.5

حدد مجال كل علاقة فيما يأتي ومداها ، وبين ما إذا كانت دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟

(1

3 1 -8

5 6 -2

(2

y

(-2, 3)

(1,5)

(1, 2)

X

0

(4,-1)

(3

(4) كرة قدم : يبين الجدول المجاور متوسط عدد الأهداف التي أحرزها فريق كرة قدم في مبارياته خلال 4 مواسم ومتوسط أعمار الفريق في كل موسم. a) مثل البيانات الواردة في الجدول بيانيا، على أن يمثل المحور الأفقي متوسط أعمار الفريق، والمحور الرأسي متوسط عدد الأهداف في كل مباراة. b) حدد كلا من المجال والمدى. c) هل العلاقة التي تمثل البيانات منفصلة أم متصلة؟ d) هل تمثل العلاقة دالة أم لا؟ وضح إجابتك.

متوسط عدد الأهداف في الموسم الواحد

متوسط أعمار الفريق

الموسم

16.2

22

1434-1435

24.1

23

1435-1436

27.2

24

1436-1437

23.5

25

1437-1438

مثل كل معادلة فيما يأتي بيانيا، ثم حدد مجالها، ومداها، وحدد ما إذا كانت تمثل دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ ثم حدد إذا كانت منفصلة أم متصلة.

y = 5x + 4 (5

y = -4x-2 (6

y = 3x2 (7

x = 7 (8

أوجد قيمة كل مما يأتي: f(x) = -4x-8 9) (3-) إذا كانت g(x) = -2x²-4x + 1 10) (5) إذا كانت

إذا كانت المعادلة تمثل دالة، فإن المتغير من المجال غالبًا ما يكون )x) ، يسمى المتغير المستقل. والمتغير الثاني (غالبا ما يكون (y)، يسمى المتغير التابع لأن قيمه تعتمد على قيم المتغير x . المعادلات التي تمثل دوال تكتب عادة باستعمال رمز الدالة. فالمعادلة 1 - y = 5x يمكن كتابتها على الصورة 1 - f(x) = 5x. وإذا أردنا إيجاد قيمة في المدى ترتبط بالعنصر 6- في مجال الدالة f ، فإن هذه القيمة هي (6)f ويمكن إيجادها بالتعويض عن كل x في المعادلة بالعدد 6 - ؛ لذا فإن 31 - = 1 - (6-)5 = (6-)f . --- SECTION: قراءة الرياضيات --- رمز الدالة يستعمل الرمز (f(x للدوال بدلا من ل ، ويُقرأ f لـ x ؛ حيث f هو اسم الدالة وليس متغيرا مضروبا في x . --- SECTION: مثال 4 --- إيجاد قيمة الدالة لتكن 8 - f(x) = 2x2، أوجد قيمة كل مما يأتي: f(6) (a f(x) = 2x²-8 f(6) = 2(6)2-8 = 2(36) - 8 = 728 64 الدالة الأصلية عوض بسط f(2y) (b f(x) = 2x² - 8 2)2 = (2) عوضy(² - 8 = 2(4y²) - 8 = 8y2 - 8 الدالة الأصلية 62 = 36 (2y)² = 22y2 بسط بسط تأكد تحقق من فهمك --- SECTION: 4B --- g(4a) --- SECTION: 4A --- g(2.8) g(x) = 0.5x25x + 3.5 --- SECTION: مثال 1 --- حدد مجال كل علاقة فيما يأتي ومداها ، وبين ما إذا كانت دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ (1 3 1 -8 5 6 -2 (2 y (-2, 3) (1,5) (1, 2) X 0 (4,-1) (3 --- SECTION: مثال 2 --- (4) كرة قدم : يبين الجدول المجاور متوسط عدد الأهداف التي أحرزها فريق كرة قدم في مبارياته خلال 4 مواسم ومتوسط أعمار الفريق في كل موسم. a) مثل البيانات الواردة في الجدول بيانيا، على أن يمثل المحور الأفقي متوسط أعمار الفريق، والمحور الرأسي متوسط عدد الأهداف في كل مباراة. b) حدد كلا من المجال والمدى. c) هل العلاقة التي تمثل البيانات منفصلة أم متصلة؟ d) هل تمثل العلاقة دالة أم لا؟ وضح إجابتك. متوسط عدد الأهداف في الموسم الواحد متوسط أعمار الفريق الموسم 16.2 22 1434-1435 24.1 23 1435-1436 27.2 24 1436-1437 23.5 25 1437-1438 --- SECTION: مثال 3 --- مثل كل معادلة فيما يأتي بيانيا، ثم حدد مجالها، ومداها، وحدد ما إذا كانت تمثل دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ ثم حدد إذا كانت منفصلة أم متصلة. y = 5x + 4 (5 y = -4x-2 (6 y = 3x2 (7 x = 7 (8 --- SECTION: مثال 4 --- أوجد قيمة كل مما يأتي: f(x) = -4x-8 9) (3-) إذا كانت g(x) = -2x²-4x + 1 10) (5) إذا كانت --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Graph of a relation Description: A graph with four discrete points plotted on a Cartesian plane. X-axis: x Y-axis: y Data: Four discrete points are plotted on the graph. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | y Rows: Row 1: -2 | -4 Row 2: 1 | -4 Row 3: 4 | -2 Row 4: 8 | 6 Context: Represents a relation between x and y values. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: الموسم | متوسط أعمار الفريق | متوسط عدد الأهداف في الموسم الواحد Rows: Row 1: 1434-1435 | 22 | 16.2 Row 2: 1435-1436 | 23 | 24.1 Row 3: 1436-1437 | 24 | 27.2 Row 4: 1437-1438 | 25 | 23.5 Context: Shows the relationship between the season, average team age, and average number of goals scored. **DIAGRAM**: Mapping Diagram Description: A mapping diagram showing the relation between two sets of numbers. Data: Arrows connect elements from one set to another.