تدرب وحل المسائل - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تدرب وحل المسائل (دوال ومتباينات الجذر التربيعي)

المفاهيم الأساسية

* المجال والمدى: (المطلوب إيجادهما للدوال الجذرية في التمارين).

* التمثيل البياني: (المطلوب رسمه للدوال والمتباينات الجذرية في التمارين).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 3-4: دوال ومتباينات الجذر التربيعي

تمثيل دوال الجذر التربيعي بيانياً

#### طريقة التمثيل

• تحديد القيم الصغرى للدالة
• عمل جدول لقيم x وقيم f(x) المقابلة

#### إرشادات للدراسة

• المجال والمدى
• حدود المجال والمدى تمثل إحداثيات نقطة بدء المنحنى

#### مثال 2: تمثيل دوال الجذر التربيعي بيانيًا

##### a) y = \sqrt{x-2}+5

• القيمة الصغرى عند (2,5)
• المجال: \{x \mid x \ge 2\}
• المدى: \{y \mid y \ge 5\}

##### b) y = -2\sqrt{x+3}-1

• القيمة الصغرى للمجال: -3
• المجال: \{x \mid x \ge -3\}
• المدى: \{y \mid y \le -1\}

#### تحقق من فهمك

##### 2A) f(x) = 2\sqrt{x+4}

##### 2B) f(x) = -3\sqrt{x-1}+2

#### إرشادات حل المسألة

• عمل جدول لترتيب الأزواج المرتبة
• دراسة سلوك التمثيل البياني للدالة

استعمال التمثيل البياني لتحليل دوال الجذر التربيعي

#### مثال 3: من واقع الحياة (فيزياء)

• الزمن الدوري للبندول: T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{32}}
• L: طول البندول بالأقدام
• T: الزمن الدوري بالثواني

##### a) تمثيل الدالة بيانياً في الفترة 0 \le L \le 10

##### b) إيجاد الزمن الدوري لطول بندول 8 أقدام

• بناءً على التمثيل البياني والجدول: T \approx 3.14 ثوانٍ

متباينات الجذر التربيعي

#### طريقة التمثيل البياني

• تمثيل الحد (المعادلة) y = \sqrt{x-4}-6 بيانياً أولاً.
• تحديد المجال: \{x \mid x \ge 4\}
• إذا كانت المتباينة تحوي "أقل من" (<)، يكون التمثيل البياني هو المنطقة تحت الحد.
• التحقق: اختيار نقطة في المنطقة المظللة والتأكد من تحقيقها للمتباينة.

#### مثال 4: تمثيل متباينة الجذر التربيعي بيانياً

• المتباينة: y < \sqrt{x-4}-6
• التمثيل: المنطقة المظللة تحت المنحنى y = \sqrt{x-4}-6 وضمن المجال x \ge 4.

#### تحقق من فهمك

##### 4A) f(x) \ge \sqrt{2x + 1}

##### 4B) f(x) < -\sqrt{x+2}-4

تدرب وحل المسائل

#### مثال 1: إيجاد المجال والمدى

• التمارين (13-15): f(x) = -\sqrt{2x+2}، f(x) = \sqrt{x-6}، f(x) = 4\sqrt{x-2}-8

#### مثال 2: التمثيل البياني + إيجاد المجال والمدى

• التمارين (16-21): f(x) = \sqrt{6x}، f(x) = -\sqrt{5x}، f(x) = \sqrt{x}+1، f(x) = \sqrt{x-4}-10، f(x) = \frac{3}{4}\sqrt{x+12}+3، f(x) = -3\sqrt{x+7}+9

#### مثال 3: تطبيقات من واقع الحياة

• (22) القفز بالمظلات: t = \sqrt{\frac{d}{16}}
• (23) ألعاب: V = \sqrt{V_0^2 + 64h}

#### مثال 4: تمثيل المتباينات بيانياً

• التمارين (24-29): y < \sqrt{x-5}، y > \sqrt{x+6}، y \ge -4\sqrt{x+3}، y > 2\sqrt{x+7}-5، y \ge 4\sqrt{x-2}-12، y \le 6 - 3\sqrt{x-4}

#### تطبيقات إضافية

• (30) قيادة: v = \sqrt{30fd}
• (31) إيجاد المجال والمدى + التمثيل البياني: f(x) = -\sqrt{x-6}+5

```

نقاط مهمة

* تركز هذه الصفحة على التدريب على مهارات درس دوال ومتباينات الجذر التربيعي.

* المهارات المطلوبة: إيجاد المجال والمدى، التمثيل البياني للدوال والمتباينات.

* هناك تركيز على التطبيقات العملية في مسائل القفز بالمظلات، الألعاب، وقوانين السرعة والفرملة.

* يجب الانتباه إلى شكل الدالة (معامل، إشارة، إزاحات) لتحديد المجال والمدى والتمثيل البياني بدقة.

تدرب وحل المسائل

عين المجال والمدى لكل دالة فيما يأتي:

f(x) = -√2x+2

f(x) = √x-6

f(x) = 4√x-2-8

مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها:

f(x) = √6x

f(x) = -√5x

f(x) = √x +1

f(x) = √x-4-10

f(x) = 3/4 √x + 12 +3

f(x) = -3√x+7+9

(22) القفز بالمظلات: إذا كان الزمن التقريبي بالثواني ، اللازم لسقوط جسم من ارتفاع d بالأقدام يعطى بالدالة = t، فإذا قفز مظلي قبل 11 ثانية من فتح المظلة، فكم قدما هبط المظلي خلال هذا الزمن ؟

(23) ألعاب إذا كانت سرعة العربة الدوّارة V في مدينة الألعاب في أثناء نزولها من أعلى قمة تعطى بالدالة: V = Vo2 + 64h ، حيث السرعة الابتدائية بالأقدام لكل ثانية و h الارتفاع الرأسي بالأقدام. أراد مصمم اللعبة أن تكون سرعة العربة 90fts عندما تصل أدنى مستوى لها.

مثل كل متباينة مما يأتي بيانيا:

y < √x-5

y > √x+6

y ≥ -4√x+3

y > 2√x+7-5

y ≥ 4√x-2-12

y ≤ 6 - 3√x-4

الربط مع الحياة توصلت دراسة إلى أن السبب الأول لحوادث السيارات بين أوساط الشباب يعود إلى استخدام الهاتف الجوال أثناء القيادة.

(30) قيادة تستطيع إدارة المرور بعد كل حادث سير تحديد سرعة السيارة قبل ضغط السائق على الكوابح (الفرامل) وذلك باستعمال الدالة: v = √30fd، حيث v تمثل السرعة بالأميال لكل ساعة، f معامل الاحتكاك الذي يصف حالة سطح الطريق، d طول أثر احتكاك العجلات بالأقدام. بما أن معامل الاحتكاك يعتمد على حالة الطريق، افترض أن 0.6 = f.

31) عين المجال والمدى للدالة : f(x) = - √x - 6 + 5 ، ثم مثلها بيانيا.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447

194 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية

--- SECTION: تدرب وحل المسائل --- تدرب وحل المسائل --- SECTION: مثال 1 --- عين المجال والمدى لكل دالة فيما يأتي: --- SECTION: 13 --- f(x) = -√2x+2 --- SECTION: 14 --- f(x) = √x-6 --- SECTION: 15 --- f(x) = 4√x-2-8 --- SECTION: مثال 2 --- مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها: --- SECTION: 16 --- f(x) = √6x --- SECTION: 17 --- f(x) = -√5x --- SECTION: 18 --- f(x) = √x +1 --- SECTION: 19 --- f(x) = √x-4-10 --- SECTION: 20 --- f(x) = 3/4 √x + 12 +3 --- SECTION: 21 --- f(x) = -3√x+7+9 --- SECTION: مثال 3 --- (22) القفز بالمظلات: إذا كان الزمن التقريبي بالثواني ، اللازم لسقوط جسم من ارتفاع d بالأقدام يعطى بالدالة = t، فإذا قفز مظلي قبل 11 ثانية من فتح المظلة، فكم قدما هبط المظلي خلال هذا الزمن ؟ --- SECTION: 23 --- (23) ألعاب إذا كانت سرعة العربة الدوّارة V في مدينة الألعاب في أثناء نزولها من أعلى قمة تعطى بالدالة: V = Vo2 + 64h ، حيث السرعة الابتدائية بالأقدام لكل ثانية و h الارتفاع الرأسي بالأقدام. أراد مصمم اللعبة أن تكون سرعة العربة 90fts عندما تصل أدنى مستوى لها. a. إذا كانت السرعة الابتدائية للعربة عند القمة هي 10fts ، فاكتب معادلة تمثل ذلك الموقف. b. حتى يتحقق ما يريده المصمم، كم يجب أن يكون ارتفاع القمة، إذا كانت سرعة العربة الابتدائية عند القمة 10 ؟ft/s --- SECTION: مثال 4 --- مثل كل متباينة مما يأتي بيانيا: --- SECTION: 24 --- y < √x-5 --- SECTION: 25 --- y > √x+6 --- SECTION: 26 --- y ≥ -4√x+3 --- SECTION: 27 --- y > 2√x+7-5 --- SECTION: 28 --- y ≥ 4√x-2-12 --- SECTION: 29 --- y ≤ 6 - 3√x-4 --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة توصلت دراسة إلى أن السبب الأول لحوادث السيارات بين أوساط الشباب يعود إلى استخدام الهاتف الجوال أثناء القيادة. --- SECTION: 30 --- (30) قيادة تستطيع إدارة المرور بعد كل حادث سير تحديد سرعة السيارة قبل ضغط السائق على الكوابح (الفرامل) وذلك باستعمال الدالة: v = √30fd، حيث v تمثل السرعة بالأميال لكل ساعة، f معامل الاحتكاك الذي يصف حالة سطح الطريق، d طول أثر احتكاك العجلات بالأقدام. بما أن معامل الاحتكاك يعتمد على حالة الطريق، افترض أن 0.6 = f. a. أوجد سرعة سيارة طول أثر احتكاك عجلاتها بالأرض 25ft. b. إذا كانت سيارتك تسير بسرعة 35 mil/h ، فكم قدما تحتاج لتقف وقوفًا تاما ؟ c. إذا تضاعفت سرعة سيارة مرة واحدة، فهل يتضاعف طول أثر احتكاك العجلات بالأرض عند الوقوف المفاجئ مرة واحدة؟ وضح إجابتك. --- SECTION: 31 --- 31) عين المجال والمدى للدالة : f(x) = - √x - 6 + 5 ، ثم مثلها بيانيا. وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447 194 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية