صفحة 197 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الجذر النوني الحقيقي

المفاهيم الأساسية

الجذر النوني الحقيقي: لأي عدد صحيح n أكبر من 1، وعدد حقيقي a، فإن عدد وعلامة الجذور الحقيقية تعتمد على قيمة a (موجبة، سالبة، صفر) وعلى كون n زوجياً أو فردياً.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 4-4: الجذر النوني

الجذر النوني الحقيقي

#### حالة a > 0

##### n عدد زوجي

• يوجد جذر حقيقي موجب وحيد (الجذر الرئيس).
• يوجد جذر حقيقي سالب وحيد.

##### n عدد فردي

• يوجد جذر حقيقي موجب وحيد فقط.

#### حالة a < 0

##### n عدد زوجي

• لا توجد جذور حقيقية.

##### n عدد فردي

• لا توجد جذور حقيقية موجبة.
• يوجد جذر حقيقي سالب وحيد فقط.

#### حالة a = 0

• الجذر الوحيد هو: 0.

إيجاد الجذور (التبسيط)

#### مثال 1

##### a) ±√(16y⁴)

• ±√(16y⁴) = ±√((4y²)²) = ±4y²

##### b) -√((x²-6)⁸)

• -√((x²-6)⁸) = -√([(x² – 6)⁴]²) = -(x² - 6)⁴

##### c) ⁵√(243a²⁰b²⁵)

• ⁵√(243a²⁰b²⁵) = ⁵√((3a⁴b⁵)⁵) = 3a⁴b⁵

##### d) ⁷√128

• ⁷√128 = ⁷√(2⁷) = 2

#### تمارين (1A, 1B)

• √(8x⁶)
• -√((y+7)¹⁶)

التبسيط باستعمال القيمة المطلقة

#### قاعدة عامة

• إذا كان دليل الجذر (n) زوجياً، وأس ما تحت الجذر زوجياً، وكان أس الناتج فردياً، يجب استخدام القيمة المطلقة للتأكد من أن الناتج غير سالب.

#### مثال 2

##### a) √(y⁸)

• √(y⁸) = |y⁴|

##### b) ⁶√(64(x²-3)¹⁸)

• ⁶√(64(x²-3)¹⁸) = 2|(x² - 3)³|

#### تمارين (2A, 2B)

• √(36y⁶)
• ⁴√(16(x-3)¹²)

إرشادات للدراسة

#### دليل الجذر (n)

##### إذا كان n فردياً

• يوجد جذر حقيقي واحد فقط.
• لا يوجد جذر رئيس.
• لا حاجة لرمز القيمة المطلقة.

##### إذا كان n زوجياً

• ⁿ√(xⁿ) = |x|

```

نقاط مهمة

• الجذر الرئيس هو الجذر الموجب عندما يكون دليل الجذر (n) عدداً زوجياً.
• عند تبسيط الجذور ذات الدليل الزوجي، يجب الانتباه لاستخدام رمز القيمة المطلقة لضمان عدم الحصول على ناتج سالب.
• حالة العدد تحت الجذر (a) هي التي تحدد وجود وعدد الجذور الحقيقية.

--- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي --- SECTION: الجذر النوني الحقيقي --- الجذر النوني الحقيقي ليكن n عددًا صحيحا أكبر من 1 ، و 1 عددًا حقيقيا. a a > 0 عدد زوجي هناك جذر حقيقي موجب وحيد، وجذر حقيقي سالب وحيد : Va، الجذر الموجب هو الجذر الرئيس --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك عدد فردي هناك جذر حقيقي موجب وحيد، وليس هناك جذر حقيقي سالب: Va. a < 0 ليس هناك جذور حقيقية. ليس هناك جذور حقيقية موجبة. وهناك فقط جذر حقيقي سالب وحيد Va a = 0 هناك فقط جذر حقيقي: 0 = 70 --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 إيجاد الجذور بسط كلا مما يأتي: ±√16y4 (a ±√16y4 = ±√(4y²)2 = ±4y² الجذران التربيعيان لـ 164 .42 هما -√(x²-6)8 (b -√(x²-6)8 = -√[(x2 – 6)4]2 = -(x² - 6)4 معكوس الجذر التربيعي الرئيس لـ .-)x2 – 64 هو )x2 – 6(8 √243a20b25 (c √243a20b25 = √(3a4b5)5 = 3a4b5 الجذر الخامس لـ 243a20625 هو 3a4b5. 128 (d V128 = √27 =2 الجذر السابع لـ 128 هو 2 √8x6 (1A -√(y+7)16 (1B إذا كان دليل الجذر عددا زوجيًا وأس ما تحت الجذر عددًا زوجيا، وكان أس الناتج عددًا فرديا، يجب أن تجد القيمة المطلقة للناتج لتتأكد من أن الجواب ليس سالبًا. --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 التبسيط باستعمال القيمة المطلقة بسط كلا مما يأتي: Vy (a Vy = y بما أن لا من الممكن أن تكون سالبة فالجذر الرئيس لهذه العبارة يساوي القيمة المطلقة لـ y. √64(x²-3)18 (b √64(x²-3)18 = 2(x² - 3)3 | بما أن دليل الجذر (العدد 6) عدد زوجي، وأس العبارة 3 - x2 (العدد (3) عدد فردي فيجب استعمال رمز القيمة المطلقة. √36y6 (2A 16(x-3)12 (2B --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة دليل الجذر إذا كان n عددًا فرديًا فهناك فقط جذر حقيقي واحد، وبناء على ذلك، فلا يوجد هناك جذر رئيس، ولا يوجد حاجة إلى استعمال رمز القيمة المطلقة. أما إذا كان n عددا زوجيا فإن √xn = |x|