الجذر النوني - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الجذر النوني

المفاهيم الأساسية

الجذر النوني (nth root): هو العملية العكسية لرفع عدد لقوة (n). إذا كان aⁿ = b، فإن a هو جذر نوني للعدد b.

رمز الجذر (radical sign): √

الدليل (index): الرقم n في الجذر النوني (√).

ما تحت الجذر (radicand): العدد b داخل رمز الجذر (√b).

الجذر الرئيس (principal root): هو الجذر غير السالب عندما يكون للعدد أكثر من جذر حقيقي ويكون n عدداً زوجياً.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 3-4: دوال ومتباينات الجذر التربيعي

تمثيل دوال الجذر التربيعي بيانياً

#### طريقة التمثيل

• تحديد القيم الصغرى للدالة
• عمل جدول لقيم x وقيم f(x) المقابلة

#### إرشادات للدراسة

• المجال والمدى
• حدود المجال والمدى تمثل إحداثيات نقطة بدء المنحنى

#### مثال 2: تمثيل دوال الجذر التربيعي بيانيًا

##### a) y = \sqrt{x-2}+5

• القيمة الصغرى عند (2,5)
• المجال: \{x \mid x \ge 2\}
• المدى: \{y \mid y \ge 5\}

##### b) y = -2\sqrt{x+3}-1

• القيمة الصغرى للمجال: -3
• المجال: \{x \mid x \ge -3\}
• المدى: \{y \mid y \le -1\}

#### تحقق من فهمك

##### 2A) f(x) = 2\sqrt{x+4}

##### 2B) f(x) = -3\sqrt{x-1}+2

#### إرشادات حل المسألة

• عمل جدول لترتيب الأزواج المرتبة
• دراسة سلوك التمثيل البياني للدالة

استعمال التمثيل البياني لتحليل دوال الجذر التربيعي

#### مثال 3: من واقع الحياة (فيزياء)

• الزمن الدوري للبندول: T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{32}}
• L: طول البندول بالأقدام
• T: الزمن الدوري بالثواني

##### a) تمثيل الدالة بيانياً في الفترة 0 \le L \le 10

##### b) إيجاد الزمن الدوري لطول بندول 8 أقدام

• بناءً على التمثيل البياني والجدول: T \approx 3.14 ثوانٍ

متباينات الجذر التربيعي

#### طريقة التمثيل البياني

• تمثيل الحد (المعادلة) y = \sqrt{x-4}-6 بيانياً أولاً.
• تحديد المجال: \{x \mid x \ge 4\}
• إذا كانت المتباينة تحوي "أقل من" (<)، يكون التمثيل البياني هو المنطقة تحت الحد.
• التحقق: اختيار نقطة في المنطقة المظللة والتأكد من تحقيقها للمتباينة.

#### مثال 4: تمثيل متباينة الجذر التربيعي بيانياً

• المتباينة: y < \sqrt{x-4}-6
• التمثيل: المنطقة المظللة تحت المنحنى y = \sqrt{x-4}-6 وضمن المجال x \ge 4.

#### تحقق من فهمك

##### 4A) f(x) \ge \sqrt{2x + 1}

##### 4B) f(x) < -\sqrt{x+2}-4

تدرب وحل المسائل

#### مثال 1: إيجاد المجال والمدى

• التمارين (13-15): f(x) = -\sqrt{2x+2}، f(x) = \sqrt{x-6}، f(x) = 4\sqrt{x-2}-8

#### مثال 2: التمثيل البياني + إيجاد المجال والمدى

• التمارين (16-21): f(x) = \sqrt{6x}، f(x) = -\sqrt{5x}، f(x) = \sqrt{x}+1، f(x) = \sqrt{x-4}-10، f(x) = \frac{3}{4}\sqrt{x+12}+3، f(x) = -3\sqrt{x+7}+9

#### مثال 3: تطبيقات من واقع الحياة

• (22) القفز بالمظلات: t = \sqrt{\frac{d}{16}}
• (23) ألعاب: V = \sqrt{V_0^2 + 64h}

#### مثال 4: تمثيل المتباينات بيانياً

• التمارين (24-29): y < \sqrt{x-5}، y > \sqrt{x+6}، y \ge -4\sqrt{x+3}، y > 2\sqrt{x+7}-5， y \ge 4\sqrt{x-2}-12، y \le 6 - 3\sqrt{x-4}

#### تطبيقات إضافية

• (30) قيادة: v = \sqrt{30fd}
• (31) إيجاد المجال والمدى + التمثيل البياني: f(x) = -\sqrt{x-6}+5

مسائل مهارات التفكير العليا

#### (32) كتابة معادلة دالة جذر تربيعي

• بمعطيات: مجالها \{x \mid x \ge -4\}، مداها \{y \mid y \le 6\}، وتمر بالنقطة (3, 5).

#### (33) تبرير مجال ومدى الدالة f(x) = \sqrt{x}

• ما قيم a الصحيحة الموجبة التي تجعل المجال والمدى = R؟

#### (34) كتابة: لماذا لا تمثل y = \pm\sqrt{x} دالة؟

#### (35) اكتشف الخطأ: تمثيل المتباينة y \le \sqrt{5x + 15}

• مقارنة بين تمثيلي عبد الرحمن وعبد العزيز.

تدريب على اختبار

#### (36) اختيار من متعدد: تبسيط العبارة 8x^3 / -64x^6 حيث x \neq 0

#### (37) اختيار من متعدد: تحليل التمثيل البياني لدالة جذر تربيعي

• تقييم العبارات I, II, III حول المجال والمدى والمعادلة.

مراجعة تراكمية

#### (38-40) تحديد الدوال العكسية

• f(x) = 2x, g(x) = 1/2x
• f(x) = 3x - 7, g(x) = 1/3x - 7/16
• f(x) = (3x+2)/5, g(x) = (5x-2)/3

#### (41) تركيب الدوال: تحويل الدقائق إلى أيام

• باستخدام: h = m/60 و d = h/24

#### (42-45) تصنيف الأعداد: نسبي أم غير نسبي؟

• 6.34
• 3.787887888...
• 5.333...
• 1.25

الجذر النوني

تعريف الجذر النوني

• لأي عددين حقيقيين a, b، ولأي عدد صحيح n > 1: إذا كان aⁿ = b، فإن a هو جذر نوني للعدد b.
• مثال: بما أن 3⁴ = 81، فإن 3 هو جذر رابع للعدد 81.

العلاقة بين القوى والجذور

| القوى | العوامل | التعبير اللفظي | الجذور |

| :--- | :--- | :--- | :--- |

| x³ = 64 | 4.4.4 = 64 | 4 هو الجذر التكعيبي للعدد 64 | ∛64 = 4 |

| x⁴ = 625 | 5.5.5.5 = 625 | 5 هو الجذر الرابع للعدد 625 | ⁴√625 = 5 |

| x⁵ = 32 | 2.2.2.2.2 = 32 | 2 هو الجذر الخامس للعدد 32 | ⁵√32 = 2 |

| aⁿ = b | a.a.a...a = b (n مرة) | a هو الجذر النوني للعدد b | ⁿ√b = a |

أنواع الجذور والرموز

• √25 = 5 (الجذر التربيعي الرئيس للعدد 25)
• -√25 = -5 (معكوس الجذر التربيعي الرئيس للعدد 25)
• ±√25 = ±5 (كلا الجذرين التربيعيين للعدد 25)
• بعض الأعداد لها أكثر من جذر حقيقي (مثل 64 له جذران تربيعيان: 8 و -8).
• عندما يكون n عدداً زوجياً، يُسمى الجذر غير السالب الجذر الرئيس.

```

نقاط مهمة

• إيجاد الجذر النوني هو العملية العكسية لرفع عدد إلى قوة n.
• الرمز √ يسمى رمز الجذر، والرقم الصغير بجانبه (n) هو الدليل، والعدد بداخله هو ما تحت الجذر.
• يجب التمييز بين رمز الجذر الرئيس (√)، ورمز الجذر السالب (-√)، ورمز الجذرين معاً (±√).

الجذر النوني nth Root

فيما سبق درست دوال الجذر التربيعي.

والآن أبسط عبارات جذرية. أستعمل الحاسبة لتقريب قيم الجذور.

المفردات الجذر النوني nth root رمز الجذر radical sign الدليل index ما تحت الجذر radicand الجذر الرئيس principal root

لماذا ؟ لوحظ تزايد عدد الحوادث بين الدراجات الهوائية والسيارات على الطريق كلما زاد عدد الدراجات. ويمكن تمثيل العلاقة بينهما بالدالة c = Vb2، حيث b عدد الدراجات، c عدد الحوادث.

تبسيط الجذور يعد إيجاد الجذر التربيعي لعدد عملية عكسية لتربيعه. فلإيجاد الجذر التربيعي للعدد a ، يجب أن تجد العدد الذي مربعه يساوي a. وبالمثل فإن العملية العكسية لرفع عدد لقوة (n) هي إيجاد الجذر النوني للعدد.

القوى العوامل التعبير اللفظي

4.4.4=64 x3 = 64 5.5.5.5= 625 x4 = 625 2.2.2.2.2 = 32 x5 = 32 aaa.....a=b an = b n مرة

4 هو الجذر التكعيبي للعدد 64 5 هو الجذر الرابع للعدد 625 2 هو الجذر الخامس للعدد 32 a هو الجذر النوني للعدد 6

√64=4 √625=5 √32=2 b= a

يقترح هذا النموذج التعريف الآتي للجذر النوني:

تعريف الجذر النوني التعبير اللفظي لأي عددين حقيقيين ، ولأي عدد صحيح ، 1 < n إذا كان a n = b ، فإن 1 هو جذر نوني للعدد 6. مثال : بما أن 81 = 4 (3)، فإن 3 - هو جذر رابع للعدد 81 .

يشير الرمز إلى الجذر النوني.

بعض الأعداد لها أكثر من جذر نوني حقيقي . فعلى سبيل المثال، العدد 64 له جذران تربيعيان هما : 8 و 8؛ لأن 82 و 2(8) كليهما يساوي 64. فعندما يكون هناك أكثر من جذر حقيقي، ويكون n عددًا زوجيا، فإن الجذر غير السالب يسمى الجذر الرئيس.

وفيما يأتي بعض الأمثلة على الجذر النوني: √25 = 5 -√ 25 = -5 ±√25 = ±5 25 يشير إلى الجذر التربيعي الرئيس للعدد 25. 25 - يشير إلى معكوس ( النظير الجمعي) الجذر التربيعي الرئيس للعدد 25... 25 يشير إلى كلا الجذرين التربيعيين للعدد 25.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

الجذر النوني nth Root --- SECTION: فيما سبق --- فيما سبق درست دوال الجذر التربيعي. --- SECTION: والآن --- والآن أبسط عبارات جذرية. أستعمل الحاسبة لتقريب قيم الجذور. --- SECTION: المفردات --- المفردات الجذر النوني nth root رمز الجذر radical sign الدليل index ما تحت الجذر radicand الجذر الرئيس principal root لماذا ؟ لوحظ تزايد عدد الحوادث بين الدراجات الهوائية والسيارات على الطريق كلما زاد عدد الدراجات. ويمكن تمثيل العلاقة بينهما بالدالة c = Vb2، حيث b عدد الدراجات، c عدد الحوادث. --- SECTION: تبسيط الجذور --- تبسيط الجذور يعد إيجاد الجذر التربيعي لعدد عملية عكسية لتربيعه. فلإيجاد الجذر التربيعي للعدد a ، يجب أن تجد العدد الذي مربعه يساوي a. وبالمثل فإن العملية العكسية لرفع عدد لقوة (n) هي إيجاد الجذر النوني للعدد. --- SECTION: القوى --- القوى العوامل التعبير اللفظي 4.4.4=64 x3 = 64 5.5.5.5= 625 x4 = 625 2.2.2.2.2 = 32 x5 = 32 aaa.....a=b an = b n مرة 4 هو الجذر التكعيبي للعدد 64 5 هو الجذر الرابع للعدد 625 2 هو الجذر الخامس للعدد 32 a هو الجذر النوني للعدد 6 √64=4 √625=5 √32=2 b= a --- SECTION: مفهوم أساسي --- يقترح هذا النموذج التعريف الآتي للجذر النوني: --- SECTION: تعريف الجذر النوني --- تعريف الجذر النوني التعبير اللفظي لأي عددين حقيقيين ، ولأي عدد صحيح ، 1 < n إذا كان a n = b ، فإن 1 هو جذر نوني للعدد 6. مثال : بما أن 81 = 4 (3)، فإن 3 - هو جذر رابع للعدد 81 . يشير الرمز إلى الجذر النوني. بعض الأعداد لها أكثر من جذر نوني حقيقي . فعلى سبيل المثال، العدد 64 له جذران تربيعيان هما : 8 و 8؛ لأن 82 و 2(8) كليهما يساوي 64. فعندما يكون هناك أكثر من جذر حقيقي، ويكون n عددًا زوجيا، فإن الجذر غير السالب يسمى الجذر الرئيس. وفيما يأتي بعض الأمثلة على الجذر النوني: √25 = 5 -√ 25 = -5 ±√25 = ±5 25 يشير إلى الجذر التربيعي الرئيس للعدد 25. 25 - يشير إلى معكوس ( النظير الجمعي) الجذر التربيعي الرئيس للعدد 25... 25 يشير إلى كلا الجذرين التربيعيين للعدد 25. رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: القوى | العوامل | التعبير اللفظي | الجذور Rows: Row 1: x3 = 64 | 4.4.4=64 | 4 هو الجذر التكعيبي للعدد 64 | √64=4 Row 2: x4 = 625 | 5.5.5.5= 625 | 5 هو الجذر الرابع للعدد 625 | √625=5 Row 3: x5 = 32 | 2.2.2.2.2 = 32 | 2 هو الجذر الخامس للعدد 32 | √32=2 Row 4: an = b | aaa.....a=b n مرة | a هو الجذر النوني للعدد 6 | b= a **DIAGRAM**: Untitled Description: Diagram showing the parts of a radical expression