مسائل مهارات التفكير العليا

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 دوال ومتباينات الجذر التربيعي (صفحة 195)

المفاهيم الأساسية

يتم التركيز في هذه الصفحة على تطبيق المفاهيم من خلال حل المسائل، ولا تحتوي على تعريفات جديدة.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 3-4: دوال ومتباينات الجذر التربيعي

تمثيل دوال الجذر التربيعي بيانياً

#### طريقة التمثيل

تحديد القيم الصغرى للدالة
عمل جدول لقيم x وقيم f(x) المقابلة

#### إرشادات للدراسة

المجال والمدى
حدود المجال والمدى تمثل إحداثيات نقطة بدء المنحنى

#### مثال 2: تمثيل دوال الجذر التربيعي بيانيًا

##### a) y = \sqrt{x-2}+5

القيمة الصغرى عند (2,5)
المجال: \{x \mid x \ge 2\}
المدى: \{y \mid y \ge 5\}

##### b) y = -2\sqrt{x+3}-1

القيمة الصغرى للمجال: -3
المجال: \{x \mid x \ge -3\}
المدى: \{y \mid y \le -1\}

#### تحقق من فهمك

##### 2A) f(x) = 2\sqrt{x+4}

##### 2B) f(x) = -3\sqrt{x-1}+2

#### إرشادات حل المسألة

عمل جدول لترتيب الأزواج المرتبة
دراسة سلوك التمثيل البياني للدالة

استعمال التمثيل البياني لتحليل دوال الجذر التربيعي

#### مثال 3: من واقع الحياة (فيزياء)

الزمن الدوري للبندول: T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{32}}
L: طول البندول بالأقدام
T: الزمن الدوري بالثواني

##### a) تمثيل الدالة بيانياً في الفترة 0 \le L \le 10

##### b) إيجاد الزمن الدوري لطول بندول 8 أقدام

بناءً على التمثيل البياني والجدول: T \approx 3.14 ثوانٍ

متباينات الجذر التربيعي

#### طريقة التمثيل البياني

تمثيل الحد (المعادلة) y = \sqrt{x-4}-6 بيانياً أولاً.
تحديد المجال: \{x \mid x \ge 4\}
إذا كانت المتباينة تحوي "أقل من" (<)، يكون التمثيل البياني هو المنطقة تحت الحد.
التحقق: اختيار نقطة في المنطقة المظللة والتأكد من تحقيقها للمتباينة.

#### مثال 4: تمثيل متباينة الجذر التربيعي بيانياً

المتباينة: y < \sqrt{x-4}-6
التمثيل: المنطقة المظللة تحت المنحنى y = \sqrt{x-4}-6 وضمن المجال x \ge 4.

#### تحقق من فهمك

##### 4A) f(x) \ge \sqrt{2x + 1}

##### 4B) f(x) < -\sqrt{x+2}-4

تدرب وحل المسائل

#### مثال 1: إيجاد المجال والمدى

التمارين (13-15): f(x) = -\sqrt{2x+2}، f(x) = \sqrt{x-6}، f(x) = 4\sqrt{x-2}-8

#### مثال 2: التمثيل البياني + إيجاد المجال والمدى

التمارين (16-21): f(x) = \sqrt{6x}، f(x) = -\sqrt{5x}، f(x) = \sqrt{x}+1، f(x) = \sqrt{x-4}-10، f(x) = \frac{3}{4}\sqrt{x+12}+3، f(x) = -3\sqrt{x+7}+9

#### مثال 3: تطبيقات من واقع الحياة

(22) القفز بالمظلات: t = \sqrt{\frac{d}{16}}
(23) ألعاب: V = \sqrt{V_0^2 + 64h}

#### مثال 4: تمثيل المتباينات بيانياً

التمارين (24-29): y < \sqrt{x-5}، y > \sqrt{x+6}، y \ge -4\sqrt{x+3}، y > 2\sqrt{x+7}-5， y \ge 4\sqrt{x-2}-12، y \le 6 - 3\sqrt{x-4}

#### تطبيقات إضافية

(30) قيادة: v = \sqrt{30fd}
(31) إيجاد المجال والمدى + التمثيل البياني: f(x) = -\sqrt{x-6}+5

#### (32) كتابة معادلة دالة جذر تربيعي

بمعطيات: مجالها \{x \mid x \ge -4\}، مداها \{y \mid y \le 6\}، وتمر بالنقطة (3, 5).

#### (33) تبرير مجال ومدى الدالة f(x) = \sqrt{x}

ما قيم a الصحيحة الموجبة التي تجعل المجال والمدى = R؟

#### (34) كتابة: لماذا لا تمثل y = \pm\sqrt{x} دالة؟

#### (35) اكتشف الخطأ: تمثيل المتباينة y \le \sqrt{5x + 15}

مقارنة بين تمثيلي عبد الرحمن وعبد العزيز.

تدريب على اختبار

#### (36) اختيار من متعدد: تبسيط العبارة 8x^3 / -64x^6 حيث x \neq 0

#### (37) اختيار من متعدد: تحليل التمثيل البياني لدالة جذر تربيعي

تقييم العبارات I, II, III حول المجال والمدى والمعادلة.

مراجعة تراكمية

#### (38-40) تحديد الدوال العكسية

f(x) = 2x, g(x) = 1/2x
f(x) = 3x - 7, g(x) = 1/3x - 7/16
f(x) = (3x+2)/5, g(x) = (5x-2)/3

#### (41) تركيب الدوال: تحويل الدقائق إلى أيام

باستخدام: h = m/60 و d = h/24

#### (42-45) تصنيف الأعداد: نسبي أم غير نسبي؟

6.34
3.787887888...
5.333...
1.25

```

نقاط مهمة

تحتوي الصفحة على ثلاثة أقسام رئيسية: مسائل مهارات التفكير العليا، تدريب على اختبار، ومراجعة تراكمية.
تركز المسائل على تطبيق مفاهيم المجال والمدى لدوال الجذر التربيعي، والتمثيل البياني للمتباينات.
تتضمن المراجعة التراكمية مفاهيم سابقة مثل الدوال العكسية وتصنيف الأعداد.
يوجد رسمان بيانيان للمقارنة في سؤال (35)، ورسم بياني للتحليل في سؤال (37).

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

مسائل مهارات التفكير العليا

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحدّ: اكتب معادلة لدالة جذر تربيعي مجالها {x | x ≥ -4}، ومداها {y | y ≤ 6}، وتمر بالنقطة (3, 5).

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تبرير: ما قيم a الصحيحة الموجبة التي تجعل مجال ومدى الدالة f(x) = √x مجموعة الأعداد الحقيقية (R) ؟

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب: وضح لماذا لا تمثل y = ±√x دالة؟

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتشف الخطأ: مثل كل من عبد الرحمن وعبد العزيز المتباينة y ≤ √5x + 15. فأيهما إجابته صحيحة ؟ برر إجابتك.

تدريب على اختبار

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أي مما يأتي يكافئ العبارة 0 ≠ x , 8x³ / -64x⁶ :

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

يمثل الشكل المجاور التمثيل البياني لدالة جذر تربيعي. فأي مما يأتي صحيح ؟

مراجعة تراكمية

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة تراكمية

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

في كل زوج مما يأتي حدد هل كل دالة تمثل دالة عكسية للأخرى، أم لا ؟ (الدرس 2-4)
f(x) = 2x, g(x) = 1/2x

39

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = 3x - 7, g(x) = 1/3x - 7/16

40

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(x) = (3x+2)/5, g(x) = (5x-2)/3

41

نوع: QUESTION_HOMEWORK

زمن: إذا كانت الدالة: h = m/60 تستعمل لتحويل الدقائق m إلى ساعات h، والدالة: d = h/24 تستعمل لتحويل الساعات h إلى أيام d، فاكتب دالة يمكن استعمالها لتحويل الدقائق إلى أيام. (مهارة سابقة)

42

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حدد ما إذا كان كل عدد مما يأتي نسبيًّا أو غير نسبي: (مهارة سابقة)
6.34

43

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3.787887888...

44

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5.333...

45

نوع: QUESTION_HOMEWORK

1.25

نوع: METADATA

وزارة التعليم

نوع: METADATA

195 الدرس 3-4 دوال ومتباينات الجذر التربيعي

🔍 عناصر مرئية

عبد العزيز

A square root function graph, representing the boundary line for the inequality y ≤ √5x + 15. The curve starts at a point on the x-axis and curves upwards and to the right. The area below this curve is shaded.

عبد الرحمن

التمثيل البياني لدالة جذر تربيعي

A square root function graph. It starts at a point on the y-axis and curves upwards and to the right.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا ---
مسائل مهارات التفكير العليا

--- SECTION: 32 ---
تحدّ: اكتب معادلة لدالة جذر تربيعي مجالها {x | x ≥ -4}، ومداها {y | y ≤ 6}، وتمر بالنقطة (3, 5).

--- SECTION: 33 ---
تبرير: ما قيم a الصحيحة الموجبة التي تجعل مجال ومدى الدالة f(x) = √x مجموعة الأعداد الحقيقية (R) ؟

--- SECTION: 34 ---
اكتب: وضح لماذا لا تمثل y = ±√x دالة؟

--- SECTION: 35 ---
اكتشف الخطأ: مثل كل من عبد الرحمن وعبد العزيز المتباينة y ≤ √5x + 15. فأيهما إجابته صحيحة ؟ برر إجابتك.

--- SECTION: تدريب على اختبار ---
تدريب على اختبار

--- SECTION: 36 ---
أي مما يأتي يكافئ العبارة 0 ≠ x , 8x³ / -64x⁶ :
  8x²
  8x³
  -8x²
  -8x³

--- SECTION: 37 ---
يمثل الشكل المجاور التمثيل البياني لدالة جذر تربيعي. فأي مما يأتي صحيح ؟
  I فقط
  II, III فقط
  I, II, III
  III فقط
I. المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية
II. الدالة هي y = √x + 3.5
III. المدى هو {y | y ≥ 3.5} تقريباً

--- SECTION: مراجعة تراكمية ---
مراجعة تراكمية

--- SECTION: 38 ---
في كل زوج مما يأتي حدد هل كل دالة تمثل دالة عكسية للأخرى، أم لا ؟ (الدرس 2-4)
f(x) = 2x, g(x) = 1/2x

--- SECTION: 39 ---
f(x) = 3x - 7, g(x) = 1/3x - 7/16

--- SECTION: 40 ---
f(x) = (3x+2)/5, g(x) = (5x-2)/3

--- SECTION: 41 ---
زمن: إذا كانت الدالة: h = m/60 تستعمل لتحويل الدقائق m إلى ساعات h، والدالة: d = h/24 تستعمل لتحويل الساعات h إلى أيام d، فاكتب دالة يمكن استعمالها لتحويل الدقائق إلى أيام. (مهارة سابقة)

--- SECTION: 42 ---
حدد ما إذا كان كل عدد مما يأتي نسبيًّا أو غير نسبي: (مهارة سابقة)
6.34

--- SECTION: 43 ---
3.787887888...

--- SECTION: 44 ---
5.333...

--- SECTION: 45 ---
1.25

وزارة التعليم

195 الدرس 3-4 دوال ومتباينات الجذر التربيعي

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: عبد العزيز
Description: A square root function graph, representing the boundary line for the inequality y ≤ √5x + 15. The curve starts at a point on the x-axis and curves upwards and to the right. The area below this curve is shaded.
X-axis: X
Y-axis: Y
Data: The graph shows the boundary line y = √5x + 15. The region below this curve is shaded, indicating y ≤ √5x + 15. The curve starts at x = -3 (where 5x+15 = 0) and extends to the right. The domain is x ≥ -3 and the range is y ≥ 0 for the boundary line.
Context: This graph represents the solution set for a square root inequality, showing the boundary curve and the shaded region. It is part of a problem asking to identify the correct graph for the inequality.

**GRAPH**: عبد الرحمن
Description: A square root function graph, representing the boundary line for the inequality y ≤ √5x + 15. The curve starts at a point on the x-axis and curves upwards and to the right. The area below this curve is shaded. This graph appears identical to Abdul Aziz's graph.
X-axis: X
Y-axis: Y
Data: The graph shows the boundary line y = √5x + 15. The region below this curve is shaded, indicating y ≤ √5x + 15. The curve starts at x = -3 (where 5x+15 = 0) and extends to the right. The domain is x ≥ -3 and the range is y ≥ 0 for the boundary line. This graph is visually identical to Abdul Aziz's graph.
Context: This graph represents the solution set for a square root inequality, showing the boundary curve and the shaded region. It is part of a problem asking to identify the correct graph for the inequality, implying a comparison with Abdul Aziz's graph.

**GRAPH**: التمثيل البياني لدالة جذر تربيعي
Description: A square root function graph. It starts at a point on the y-axis and curves upwards and to the right.
X-axis: x
Y-axis: y
Data: The graph shows a square root function. It starts at (0, 3.5) and increases as x increases. The domain is x ≥ 0 and the range is y ≥ 3.5.
Context: This graph is used to evaluate statements about its domain, range, and function equation in a multiple-choice question.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 1: 1) إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة $P(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$، فأوجد كلاً من $\cos \theta, \sin \theta$.

الإجابة: $\cos \theta = \frac{3}{5} ,$ $\sin \theta = -\frac{4}{5}$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - الزاوية $\theta$ مرسومة في الوضع القياسي. - ضلع الانتهاء للزاوية يقطع دائرة الوحدة. - نقطة التقاطع هي $P(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$.
**الخطوة 2 (المفهوم):** نتذكر تعريف دائرة الوحدة في علم المثلثات: - دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها يساوي 1. - أي نقطة $(x, y)$ على محيط هذه الدائرة تحقق المعادلة $x^2 + y^2 = 1$. - بالنسبة لأي زاوية $\theta$ في الوضع القياسي، فإن إحداثيات نقطة تقاطع ضلع الانتهاء مع دائرة الوحدة تُعطى بالعلاقة: $$(\cos \theta, \sin \theta) = (x, y)$$
**الخطوة 3 (التطبيق):** بتطبيق هذا المفهوم على السؤال: - النقطة المعطاة $P(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$ هي بالضبط $(x, y)$. - إذن، الإحداثي السيني $x$ يمثل جيب تمام الزاوية. - والإحداثي الصادي $y$ يمثل جيب الزاوية.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: $$\cos \theta = \frac{3}{5}$$ $$\sin \theta = -\frac{4}{5}$$

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

إذا كان مجال دالة الجذر التربيعي هو {x | x ≥ -4} ومداها {y | y ≤ 6}، فما الشكل العام لمعادلتها؟

أ) y = √(x + 4) + 6
ب) y = -√(x - 4) + 6
ج) y = -√(x + 4) + 6
د) y = √(x - 4) - 6

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: y = -√(x + 4) + 6

الشرح: 1. الشكل العام: y = a√(x - h) + k. 2. المجال: x - h ≥ 0 → x ≥ h. المعطى: x ≥ -4، إذن h = -4. 3. المدى: y ≤ k. المعطى: y ≤ 6، إذن k = 6. 4. بما أن المدى y ≤ 6 (قيم قصوى)، يجب أن يكون a سالبًا لينعكس المنحنى للأسفل. 5. اختيار a = -1 يعطي: y = -√(x - (-4)) + 6 = -√(x + 4) + 6.

تلميح: تذكر أن شكل دالة الجذر التربيعي الأساسي هو y = a√(x - h) + k، وأن الإشارة السالبة أمام الجذر تعكس المنحنى رأسيًا.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

لماذا لا تمثل العلاقة y = ±√x دالة رياضية؟

أ) لأن مجالها لا يشمل الأعداد السالبة.
ب) لأنها تعطي قيمتين للمُخرج (y) مقابل قيمة واحدة للمدخل (x)، مما ينتهك تعريف الدالة.
ج) لأن منحناها ليس خطًا مستقيماً.
د) لأن مداها هو مجموعة الأعداد الحقيقية R.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأنها تعطي قيمتين للمُخرج (y) مقابل قيمة واحدة للمدخل (x)، مما ينتهك تعريف الدالة.

الشرح: 1. تعريف الدالة: علاقة تربط كل عنصر في المجال (x) بعنصر واحد فقط في المدى (y). 2. العلاقة y = ±√x تعني: y = √x أو y = -√x. 3. لأي x > 0 (مثل x=4)، نحصل على قيمتين للمُخرج: y = 2 و y = -2. 4. وجود قيمتين لنفس x ينتهك شرط الدالة (واحد لواحد من المجال إلى المدى).

تلميح: تذكر شرط الدالة الأساسي: لكل قيمة في المجال (x) يجب أن تقابلها قيمة واحدة فقط في المدى (y).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

لماذا لا تمثل المعادلة y = ±√x دالة؟

أ) لأن القيمة الواحدة للمدخلة x (أكبر من 0) ترتبط بمخرجيْن لـ y
ب) لأنها لا تقبل الأعداد السالبة في مجالها الحقيقي
ج) لأن المدى يحتوي على أعداد حقيقية موجبة وسالبة معاً
د) لأن التمثيل البياني لها يمر بنقطة الأصل (0,0)

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: لأن القيمة الواحدة للمدخلة x (أكبر من 0) ترتبط بمخرجيْن لـ y

الشرح: 1. تعريف الدالة رياضياً ينص على أن كل عنصر في المجال (المدخلات) يجب أن يرتبط بعنصر واحد فقط في المدى (المخرجات). 2. في المعادلة y = ±√x، إذا اخترنا قيمة لـ x مثل 9، فإن y ستساوي إما 3 أو -3. 3. بما أن المدخلة الواحدة (x=9) أنتجت مخرجين مختلفين، فإنها تخالف تعريف الدالة وتعتبر علاقة فقط. 4. بيانياً، تفشل هذه المعادلة في 'اختبار الخط الرأسي'.

تلميح: تذكر شرط تعريف الدالة بخصوص ارتباط عناصر المجال بعناصر المدى.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كانت الدالة h(m) = m/60 تحول الدقائق إلى ساعات، والدالة d(h) = h/24 تحول الساعات إلى أيام، فما الدالة التي تحول الدقائق m مباشرة إلى أيام d؟

أ) d(m) = m/84
ب) d(m) = m/1440
ج) d(m) = 1440m
د) d(m) = m/3600

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: d(m) = m/1440

الشرح: 1. نحتاج لإيجاد الدالة المركبة d(h(m)) بالتعويض عن h. 2. بما أن h = m/60، نعوض بها في معادلة الأيام: d = (m/60) / 24. 3. لتبسيط مقام البسط، نضرب المقامين معاً: 60 × 24. 4. ناتج الضرب هو 1440، فتصبح الدالة: d = m / 1440.

تلميح: استخدم تركيب الدوال بالتعويض عن قيمة h في دالة الأيام بما يكافئها من دالة الساعات.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كانت الدالة h = m/60 تُستخدم لتحويل الدقائق (m) إلى ساعات (h)، والدالة d = h/24 تُستخدم لتحويل الساعات (h) إلى أيام (d)، فما الدالة التي تُستخدم لتحويل الدقائق (m) مباشرة إلى أيام (d)؟

أ) d = m / 84
ب) d = m / 1440
ج) d = 1440m
د) d = m / 3600

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: d = m / 1440

الشرح: 1. نبدأ بالمعادلة d = h / 24. 2. نعوض عن h بالدالة المعطاة لها: h = m / 60. 3. تصبح المعادلة بالتعويض: d = (m / 60) / 24. 4. لتبسيط مقام المقام، نضرب المقامين معاً: d = m / (60 × 24). 5. بحساب الناتج: 60 × 24 = 1440، فتكون الدالة النهائية هي d = m / 1440.

تلميح: قم بتعويض قيمة h المعطاة في معادلة حساب الأيام d ودمجهما في معادلة واحدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط