مثال 3 من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة P، فأوجد كلاً من $\sin \theta, \cos \theta$ في كل مما يأتي: (1) $P(\frac{15}{17}, \frac{8}{17})$

الإجابة: $\cos \theta = \frac{15}{17}, \sin \theta = \frac{8}{17}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا نقطة تقاطع ضلع الانتهاء للزاوية θ مع دائرة الوحدة: P(15/17, 8/17). نتذكر أن دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1 وحدة.
2. **الخطوة 2 (المفهوم):** في دائرة الوحدة، إذا كانت النقطة P(x, y) هي نقطة تقاطع ضلع الانتهاء مع الدائرة، فإن: $$\cos \theta = x$$ $$\sin \theta = y$$ هذا لأن جيب التمام هو الإحداثي السيني، والجيب هو الإحداثي الصادي للنقطة على دائرة الوحدة.
3. **الخطوة 3 (التطبيق):** من النقطة المعطاة P(15/17, 8/17): - الإحداثي السيني x = 15/17 - الإحداثي الصادي y = 8/17
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: $$\cos \theta = \frac{15}{17}$$ $$\sin \theta = \frac{8}{17}$$

سؤال 2: (2) $P(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

الإجابة: $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا نقطة تقاطع ضلع الانتهاء للزاوية θ مع دائرة الوحدة: P(-√2/2, √2/2).
2. **الخطوة 2 (المفهوم):** في دائرة الوحدة: $$\cos \theta = x$$ $$\sin \theta = y$$ حيث (x, y) هي إحداثيات النقطة P.
3. **الخطوة 3 (التطبيق):** من النقطة المعطاة P(-√2/2, √2/2): - الإحداثي السيني x = -√2/2 - الإحداثي الصادي y = √2/2
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: $$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

سؤال 3: أوجد طول الدورة لكل من الدالتين الآتيتين: (3) [Graph showing a sine/cosine wave from 0 to $2\pi$]

الإجابة: الدورة = $2\pi$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** طول الدورة للدالة المثلثية هو أصغر مسافة أفقية (على محور السينات) بعدها تتكرر قيم الدالة تماماً. بالنسبة لدوال الجيب والجيب التمام الأساسية: sin(x) و cos(x)، طول الدورة هو $2\pi$.
2. **الخطوة 2 (تحليل الرسم البياني):** من الرسم البياني المعطى، نلاحظ أن المنحنى يبدأ من قيمة معينة، ثم يعود إلى نفس القيمة بعد مسافة $2\pi$ على محور السينات. هذا يعني أن الدورة كاملة تحدث عندما تتغير الزاوية بمقدار $2\pi$ راديان.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن طول الدورة = $2\pi$

سؤال 4: (4) [Graph showing a sine/cosine wave from 0 to $4\pi$]

الإجابة: الدورة = $4\pi$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** طول الدورة هو المسافة الأفقية التي بعدها تتكرر قيم الدالة تماماً.
2. **الخطوة 2 (تحليل الرسم البياني):** من الرسم البياني المعطى، نلاحظ أن المنحنى يحتاج إلى مسافة $4\pi$ على محور السينات حتى يعود إلى نفس القيمة ويبدأ في التكرار. هذا يعني أن الدالة أبطأ في التكرار من الدوال المثلثية الأساسية.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن طول الدورة = $4\pi$

سؤال 5: أوجد سعة دالة دورية في الزمن، بحيث تصل الأرجوحة إلى أقصى ارتفاع لها وهو $2m$، ثم تعود إلى $0m$ مرة أخرى مروراً بأقل ارتفاع لها وهو $2m-$، مستغرقة زمناً قدره ثانية واحدة بين أقل ارتفاع وأقصى ارتفاع.

الإجابة: أ) $2m$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم السؤال):** لدينا أرجوحة تتحرك بشكل دوري. نريد إيجاد سعة الدالة التي تمثل ارتفاعها. السعة هي أقصى انحراف عن موضع الاتزان (المركز).
2. **الخطوة 2 (تحديد القيم):** - أقصى ارتفاع: 2m - أقل ارتفاع: -2m - موضع الاتزان (المركز): يكون في منتصف المسافة بين القيمتين القصوى والدنيا
3. **الخطوة 3 (حساب السعة):** السعة = (القيمة القصوى - القيمة الدنيا) ÷ 2 أو بشكل أبسط: السعة = أقصى انحراف عن المركز. من القيم المعطاة، نلاحظ أن الأرجوحة تتحرك من 2m إلى -2m، فالمركز هو 0m. أقصى انحراف عن المركز = 2m (سواء للأعلى أو للأسفل).
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن السعة = 2m

سؤال 6: ب) ما الزمن الذي تستغرقه الأرجوحة ذهاباً وإياباً بدءاً من أقصى ارتفاع وانتهاء إليه؟

الإجابة: ب) $1m$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم الحركة):** الأرجوحة تتحرك من أقصى ارتفاع (2m) إلى أقل ارتفاع (-2m) ثم تعود إلى أقصى ارتفاع (2m). هذه دورة كاملة ذهاباً وإياباً.
2. **الخطوة 2 (المعطيات الزمنية):** المعطى: الزمن بين أقل ارتفاع وأقصى ارتفاع هو ثانية واحدة. هذا يعني أن الزمن من -2m إلى 2m هو 1 ثانية.
3. **الخطوة 3 (حساب الزمن الكلي):** الدورة الكاملة تتكون من: 1. من 2m إلى -2m (نصف دورة) 2. من -2m إلى 2m (نصف دورة) إذا كان نصف الدورة (من -2m إلى 2m) يأخذ 1 ثانية، فإن النصف الآخر (من 2m إلى -2m) يأخذ أيضاً 1 ثانية (في الحركة التوافقية البسيطة). إذن الزمن الكلي للدورة = 1 + 1 = 2 ثانية.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** الزمن الذي تستغرقه الأرجوحة ذهاباً وإياباً = 2 ثانية

سؤال 7: ج) مثل بيانياً ارتفاع الأرجوحة h باعتبارها دالة في الزمن t.

الإجابة: ج) $1m$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم المطلوب):** نريد تمثيل ارتفاع الأرجوحة h كدالة في الزمن t بيانياً. الأرجوحة تتحرك حركة توافقية بسيطة.
2. **الخطوة 2 (تحديد خصائص المنحنى):** من المعطيات: - السعة = 2m (كما حسبنا في السؤال 5) - الزمن الدوري = 2 ثانية (كما حسبنا في السؤال 6) - عند t = 0، تكون الأرجوحة في أقصى ارتفاع (2m) هذه خصائص دالة جيب التمام: h(t) = A cos(ωt) حيث A هي السعة، و ω هو التردد الزاوي.
3. **الخطوة 3 (رسم المنحنى):** المنحنى سيكون على شكل موجة جيب التمام: - يبدأ من القيمة 2m عند t = 0 - ينخفض إلى 0m عند t = 0.5 ثانية - يصل إلى -2m عند t = 1 ثانية - يعود إلى 0m عند t = 1.5 ثانية - يعود إلى 2m عند t = 2 ثانية ثم يتكرر هذا النمط كل 2 ثانية.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** التمثيل البياني سيكون منحنى جيب التمام مع: - محور عمودي: الارتفاع h (من -2m إلى 2m) - محور أفقي: الزمن t - السعة: 2m - الطول الدوري: 2 ثانية

سؤال 8: أوجد القيمة الدقيقة لكل دالة مثلثية مما يأتي: (8) $\cos 540^\circ$

الإجابة: $\cos 180^\circ = -1$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تبسيط الزاوية):** لدينا: cos 540° نلاحظ أن 540° أكبر من 360° (الدورة الكاملة). لتبسيط الزاوية، نطرح 360° (دورة كاملة): 540° - 360° = 180°
2. **الخطوة 2 (تحديد الربع):** الزاوية 180° تقع على المحور السيني السالب (بين الربع الثاني والثالث).
3. **الخطوة 3 (حساب القيمة):** cos 180° = -1 لأن عند الزاوية 180°، النقطة على دائرة الوحدة هي (-1, 0)، وجيب التمام هو الإحداثي السيني.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: $$\cos 540^\circ = \cos 180^\circ = -1$$

إذا كانت العلاقة بين عدد الدراجات الهوائية (b) وعدد الحوادث (c) على طريق ما تُعطى بالصيغة c = √b، وكان عدد الدراجات التي تمر شهرياً هو 1000 دراجة، فما هو العدد التقريبي للحوادث المتوقع شهرياً؟

• أ) حوالي 16 حادثاً
• ب) حوالي 50 حادثاً
• ج) حوالي 32 حادثاً
• د) حوالي 100 حادث

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: حوالي 32 حادثاً

الشرح: 1. المعادلة: c = √b. 2. التعويض: b = 1000. 3. الحل: c = √1000. 4. باستخدام الحاسبة: √1000 ≈ 31.62. 5. التقريب لأقرب عدد صحيح: حوالي 32 حادثاً.

تلميح: تذكر أن c = √b. استبدل قيمة b في الصيغة ثم أوجد الجذر التربيعي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كانت العلاقة بين عدد الحوادث (c) وعدد الدراجات (b) هي c = √b، وسُجل 21 حادثاً في شهر ما، فما العدد التقريبي للدراجات التي مرت في ذلك الشهر؟

• أ) حوالي 2021 دراجة
• ب) حوالي 441 دراجة
• ج) حوالي 21 دراجة
• د) حوالي 10.5 دراجة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حوالي 441 دراجة

الشرح: 1. المعادلة: c = √b. 2. التعويض: c = 21. 3. تصبح: 21 = √b. 4. لحل المعادلة، نربع الطرفين: (21)² = (√b)². 5. النتيجة: 441 = b. 6. إذن، b ≈ 441 دراجة.

تلميح: لإيجاد b من المعادلة c = √b، ماذا يجب أن تفعل بجانبي المعادلة؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الصيغة الرياضية المستخدمة لإيجاد مساحة سطح كرة (S) إذا عُلم حجمها (V)؟

• أ) S = 4πV^(2/3)
• ب) S = (4/3)πV²
• ج) S = 4π( (3V)/(4π) )^(2/3)
• د) S = √(36πV²)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: S = 4π( (3V)/(4π) )^(2/3)

الشرح: 1. حجم الكرة: V = (4/3)πr³. 2. مساحة سطح الكرة: S = 4πr². 3. لحساب S بدلالة V، نعبر عن نصف القطر r من معادلة الحجم: r = ( (3V)/(4π) )^(1/3). 4. نعوض في معادلة المساحة: S = 4π [ ( (3V)/(4π) )^(1/3) ]² = 4π ( (3V)/(4π) )^(2/3).

تلميح: تتضمن الصيغة الثابت π والحجم V. ابحث عن العلاقة التي تربط المساحة بالحجم للكرة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

كيف تُعرّف الأعداد غير النسبية؟

• أ) هي الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة.
• ب) هي الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة كسر عشري منتهٍ فقط.
• ج) هي الأعداد الحقيقية التي لا يمكن كتابتها في صورة كسر عشري منتهٍ أو دوري.
• د) هي الأعداد التي تقع بين الصفر والواحد.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هي الأعداد الحقيقية التي لا يمكن كتابتها في صورة كسر عشري منتهٍ أو دوري.

الشرح: 1. الأعداد النسبية يمكن كتابتها على صورة أ/ب حيث ب ≠ ٠، أو ككسر عشري منتهٍ (مثل ٠.٥) أو دوري (مثل ٠.٣٣٣...). 2. الأعداد غير النسبية لا يمكن تمثيلها بهذه الصورة. 3. تمثيلها العشري غير منتهٍ وغير دوري (مثل π، √٢).

تلميح: فكر في أنواع التمثيل العشري للأعداد. ما الذي يميز التمثيل العشري للجذر التربيعي لعدد غير مربع كامل؟

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل