مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الجذر النوني (تطبيقات وتمارين)

المفاهيم الأساسية

الجذر النوني: عملية إيجاد العدد الذي إذا رُفع إلى الأس `n` يعطي العدد الأصلي.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

الدرس 4-4: الجذر النوني

الجذر النوني الحقيقي

#### حالة a > 0

##### n عدد زوجي

• يوجد جذر حقيقي موجب وحيد (الجذر الرئيس).
• يوجد جذر حقيقي سالب وحيد.

##### n عدد فردي

• يوجد جذر حقيقي موجب وحيد فقط.

#### حالة a < 0

##### n عدد زوجي

• لا توجد جذور حقيقية.

##### n عدد فردي

• لا توجد جذور حقيقية موجبة.
• يوجد جذر حقيقي سالب وحيد فقط.

#### حالة a = 0

• الجذر الوحيد هو: 0.

إيجاد الجذور (التبسيط)

#### مثال 1

##### a) ±√(16y⁴)

• ±√(16y⁴) = ±√((4y²)²) = ±4y²

##### b) -√((x²-6)⁸)

• -√((x²-6)⁸) = -√([(x² – 6)⁴]²) = -(x² - 6)⁴

##### c) ⁵√(243a²⁰b²⁵)

• ⁵√(243a²⁰b²⁵) = ⁵√((3a⁴b⁵)⁵) = 3a⁴b⁵

##### d) ⁷√128

• ⁷√128 = ⁷√(2⁷) = 2

#### تمارين (1A, 1B)

• √(8x⁶)
• -√((y+7)¹⁶)

التبسيط باستعمال القيمة المطلقة

#### قاعدة عامة

• إذا كان دليل الجذر (n) زوجياً، وأس ما تحت الجذر زوجياً، وكان أس الناتج فردياً، يجب استخدام القيمة المطلقة للتأكد من أن الناتج غير سالب.

#### مثال 2

##### a) √(y⁸)

• √(y⁸) = |y⁴|

##### b) ⁶√(64(x²-3)¹⁸)

• ⁶√(64(x²-3)¹⁸) = 2|(x² - 3)³|

#### تمارين (2A, 2B)

• √(36y⁶)
• ⁴√(16(x-3)¹²)

تقريب الجذور وتطبيقاتها

#### تقريب الجذور باستعمال الحاسبة

• تستعمل لتقريب الأعداد غير النسبية في مسائل واقعية.

#### مثال 3: تطبيق واقعي (حوادث الدراجات)

##### العلاقة

• c = \sqrt{b^2}
• حيث `b` عدد الدراجات، و`c` عدد الحوادث.

##### التطبيق

• إذا كان `b = 1000` دراجة/شهر، فإن `c ≈ 15.85`، أي حوالي 16 حادثًا/شهر.
• إذا كان `c = 21` حادثًا/شهر، فإن `b ≈ 2021` دراجة/شهر.

#### تطبيق آخر: مساحة سطح الكرة

##### العلاقة

• S = 36\pi V^2
• حيث `V` حجم الكرة، و`S` مساحة سطحها.

#### تمارين (3A, 3B)

• أوجد `S` إذا كان `V = 200 in³`.
• أوجد `V` إذا كان `S = 214.5 in²`.

تطبيقات واقعية (من الصفحة 199)

#### قمر اصطناعي

• نصف قطر المدار: r= \sqrt[3]{\frac{GMt^2}{4\pi^2}}
• حيث `G` ثابت الجذب الكوني، `M` كتلة الأرض، `t` زمن الدورة.

#### هندسة: طول ضلع المكعب

• l = \sqrt[3]{V}
• حيث `V` حجم المكعب.

#### هندسة: نصف قطر الكرة

• r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}
• حيث `V` حجم الكرة.

#### فيزياء: قانون كيبلر للمسافة

• d = \sqrt[6]{t^2}
• حيث `d` المسافة (مليون ميل)، `t` زمن الدورة حول الشمس (يوم أرضي).

#### أحياء: قانون كليبر للأيض

• P = 73.33 \sqrt[4]{m^3}
• حيث `P` متوسط الأيض اليومي (سعرة حرارية)، `m` الكتلة (كجم).

إرشادات للدراسة

#### دليل الجذر (n)

##### إذا كان n فردياً

• يوجد جذر حقيقي واحد فقط.
• لا يوجد جذر رئيس.
• لا حاجة لرمز القيمة المطلقة.

##### إذا كان n زوجياً

• ⁿ√(xⁿ) = |x|

```

نقاط مهمة

• تحتوي الصفحة على تمارين تطبيقية متنوعة على تبسيط الجذور (من السؤال 8 إلى السؤال 23).
• هناك تمارين تقريب باستخدام الآلة الحاسبة (مثل السؤال 26 إلى 29).
• تركز التمارين على تطبيقات واقعية في الفيزياء (القمر الاصطناعي، كواكب)، الهندسة (المكعب، الكرة)، والأحياء (الأيض).
• يجب الانتباه إلى وحدات القياس في كل مسألة (كجم، ثانية، سم³، إلخ).

قمر اصطناعي : إذا كان نصف القطر r لمدار قمر اصطناعي تلفزيوني يعطى بالدالة

r= 3√(GMt² / 4π²)

حيث G تمثل ثابت الجذب الكوني M كتلة الأرض ، t الزمن اللازم لإكمال القمر الاصطناعي دورة واحدة حول الأرض، فأوجد نصف قطر مدار القمر الاصطناعي إذا كانت :

G = 6.67 × 10⁻¹¹N.m²/kg², M = 5.98 × 10²⁴ kg, t = 2.6 × 10⁶s

استعمل الحاسبة لتقريب قيمة كل مما يأتي، إلى أقرب ثلاث منازل عشرية:

تدرب وحل المسائل

المثالان 1, 2 بسط كلا مما يأتي:

√58

-√76

5√-43

⁴√71

±√225a¹⁶b³⁶

-√400x³²y⁴⁰

√(a²+4a)¹²

³√27b¹⁸c¹²

⁵√-243

³√-(y-9)⁹

⁶√x¹⁸

³√a¹²

⁴√81(x + 4)⁴

³√(y³+5)¹⁸

⁸√x¹⁶y⁸

⁵√32a¹⁵b¹⁰

شحن يريد متجر لبيع الكتب عبر الإنترنت زيادة حجم الصناديق المستعملة في الشحن. إذا كان حجم الصندوق الجديد N يساوي حجم الصندوق القديم V مضروبا في مكعب عدد ثابت F؛ أي أن N = V . F³. فما قيمة العدد F إذا كان الحجم الأصلي للصندوق يساوي 0.8ft³ ، والحجم الجديد يساوي 21.6ft³؟

هندسة : يمكن إيجاد طول ضلع مكعب / باستعمال القانون r = ³√V ، حيث V تمثل حجم المكعب بالوحدات المكعبة . أوجد طول ضلع مكعب حجمه 512cm³.

استعمل الآلة الحاسبة لتقريب قيمة كل مما يأتي إلى أقرب ثلاث منازل عشرية:

-√150

√0.43

⁵√-4382

⁶√(8912)²

هندسة : يمكن إيجاد نصف القطر r لكرة حجمها V باستعمال القانون :

r = ³√(3V / 4π)

a) أوجد نصف قطر كل من الكرات ذات الأحجام الآتية: 1000 cm³, 8000 cm³, 64000 cm³.

b) ما مقدار التغير في حجم الكرة عند زيادة نصف القطر إلى مثليه ؟

بسط كلا مما يأتي: √196c⁶d⁴

³√-27a¹⁵b⁹

³√64(x+y)⁶

فيزياء : طوّر جوهانز كيبلر (Johannes kepler) القانون d = 6√t² ، حيث d تمثل المسافة بملايين

d = 6√t²

الأميال بين أي كوكب والشمس ، و t تمثل عدد الأيام الأرضية التي يستغرقها الكوكب ليدور حول الشمس. إذا كان كوكب المريخ يستغرق 687 يومًا أرضيا ليدور حول الشمس، فكم يبعد المريخ عن الشمس؟

الأيض metabolism هو جميع العمليات الكيميائية التي ينتج عنها بناء أو تحليل المواد الغذائية داخل جسم الكائن الحي.

أحياء : يبين قانون کلیبر (P = 73.33 (kleiber، العلاقة بين كتلة كائن حي m بالكيلوجرام ومتوسط الأيض اليومي له P بالسعرات الحرارية. أوجد متوسط الأيض اليومي لكل من الحيوانات في الجدول المجاور.

وزارة التعليم Ministry of Education

الدرس 4-4 الجذر النوني 2023-1447

قمر اصطناعي : إذا كان نصف القطر r لمدار قمر اصطناعي تلفزيوني يعطى بالدالة r= 3√(GMt² / 4π²) حيث G تمثل ثابت الجذب الكوني M كتلة الأرض ، t الزمن اللازم لإكمال القمر الاصطناعي دورة واحدة حول الأرض، فأوجد نصف قطر مدار القمر الاصطناعي إذا كانت : G = 6.67 × 10⁻¹¹N.m²/kg², M = 5.98 × 10²⁴ kg, t = 2.6 × 10⁶s --- SECTION: مثال 3 --- استعمل الحاسبة لتقريب قيمة كل مما يأتي، إلى أقرب ثلاث منازل عشرية: تدرب وحل المسائل المثالان 1, 2 بسط كلا مما يأتي: √58 -√76 5√-43 ⁴√71 ±√225a¹⁶b³⁶ -√400x³²y⁴⁰ √(a²+4a)¹² ³√27b¹⁸c¹² ⁵√-243 ³√-(y-9)⁹ ⁶√x¹⁸ ³√a¹² ⁴√81(x + 4)⁴ ³√(y³+5)¹⁸ ⁸√x¹⁶y⁸ ⁵√32a¹⁵b¹⁰ --- SECTION: مثال 3 --- شحن يريد متجر لبيع الكتب عبر الإنترنت زيادة حجم الصناديق المستعملة في الشحن. إذا كان حجم الصندوق الجديد N يساوي حجم الصندوق القديم V مضروبا في مكعب عدد ثابت F؛ أي أن N = V . F³. فما قيمة العدد F إذا كان الحجم الأصلي للصندوق يساوي 0.8ft³ ، والحجم الجديد يساوي 21.6ft³؟ --- SECTION: هندسة --- هندسة : يمكن إيجاد طول ضلع مكعب / باستعمال القانون r = ³√V ، حيث V تمثل حجم المكعب بالوحدات المكعبة . أوجد طول ضلع مكعب حجمه 512cm³. استعمل الآلة الحاسبة لتقريب قيمة كل مما يأتي إلى أقرب ثلاث منازل عشرية: -√150 √0.43 ⁵√-4382 ⁶√(8912)² --- SECTION: هندسة --- هندسة : يمكن إيجاد نصف القطر r لكرة حجمها V باستعمال القانون : r = ³√(3V / 4π) a) أوجد نصف قطر كل من الكرات ذات الأحجام الآتية: 1000 cm³, 8000 cm³, 64000 cm³. b) ما مقدار التغير في حجم الكرة عند زيادة نصف القطر إلى مثليه ؟ بسط كلا مما يأتي: √196c⁶d⁴ ³√-27a¹⁵b⁹ ³√64(x+y)⁶ فيزياء : طوّر جوهانز كيبلر (Johannes kepler) القانون d = 6√t² ، حيث d تمثل المسافة بملايين d = 6√t² --- SECTION: فيزياء --- الأميال بين أي كوكب والشمس ، و t تمثل عدد الأيام الأرضية التي يستغرقها الكوكب ليدور حول الشمس. إذا كان كوكب المريخ يستغرق 687 يومًا أرضيا ليدور حول الشمس، فكم يبعد المريخ عن الشمس؟ --- SECTION: الربط مع الحياة --- الأيض metabolism هو جميع العمليات الكيميائية التي ينتج عنها بناء أو تحليل المواد الغذائية داخل جسم الكائن الحي. --- SECTION: أحياء --- أحياء : يبين قانون کلیبر (P = 73.33 (kleiber، العلاقة بين كتلة كائن حي m بالكيلوجرام ومتوسط الأيض اليومي له P بالسعرات الحرارية. أوجد متوسط الأيض اليومي لكل من الحيوانات في الجدول المجاور. وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 4-4 الجذر النوني 2023-1447 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: A table showing the mass of different animals. Table Structure: Headers: الحيوان | كتلته (kg) Rows: Row 1: النسر | 4.5 Row 2: الكلب | 30 Row 3: التمساح | 72 Row 4: الدولفين | 156 Row 5: الفيل | 2300 Context: Relates to question 35 about finding the average daily metabolism for each animal.