خاصية قسمة الجذور - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 خاصية قسمة الجذور

المفاهيم الأساسية

خاصية قسمة الجذور: خاصية تستعمل في تبسيط العبارات الجذرية.

إنطاق المقام: عملية لإزالة الجذور من مقام الكسر، وذلك بضرب البسط والمقام في مقدار مناسب.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

اختبار منتصف الفصل (الدروس 1-4 إلى 4-4)

العمليات على الدوال

#### (f+g)(x)

#### (f-g)(x)

#### (f.g)(x)

#### ((x)

#### [fog](x)

#### [gof](x)

تحديد الدوال العكسية

#### f(x) = 2x + 16

#### g(x) = 4x + 15

#### f(x) = x²-5

#### g(x) = -6x+8

#### h(x) = x + 8

#### f(x) = (x - 3)

#### h(x) = -10(x + 5)

#### f(x) = x + 12

تمثيل الدوال الجذرية بيانياً

#### y = 2 + √x

#### y = √x+4-1

مجال الدالة الجذرية

#### f(x) = 2x + 5

تبسيط التعبيرات الجذرية

#### √121a⁴b¹⁸

#### √(x⁴+3)¹²

#### √(2x-5)¹⁵

#### √(y-6)²⁰

#### √(x+4)⁶

#### √(y+x)⁸

مسائل واقعية

#### تنسيق حدائق

##### f(h) = 15h + 25

##### إيجاد f⁻¹(h)

##### حساب عدد الساعات

#### إنتاج

##### C(p) = 5p + 60

##### p(h) = 40h

##### إيجاد (C ∘ p)(h)

##### حساب التكلفة بعد 8 ساعات

#### حجم الأسطوانة

##### قانون: r = ∛(V/π)

##### حساب نصف القطر التقريبي

تمثيل المتباينات الجذرية بيانياً

#### y < √x - 5

#### y ≤ -2√x

#### y > √x+9 + 3

#### y ≥ √x+4 - 5

العمليات على العبارات الجذرية (الدرس 5-4)

أهداف الدرس

#### تبسيط عبارات جذرية

#### جمع وطرح وضرب وقسمة عبارات جذرية

خاصية ضرب الجذور

#### \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

#### شروط: n > 1، وإذا كان n زوجياً يجب أن تكون a, b غير سالبة.

أبسط صورة للعبارة الجذرية

#### لا تحتوي على عوامل تحت الجذر يمكن كتابتها كقوى نونية.

مثال تطبيقي

#### تبسيط: \sqrt{32x^8}

##### التحليل: \sqrt{4^2 \cdot 2 \cdot (x^4)^2}

##### النتيجة: 4x^4\sqrt{2}

خاصية قسمة الجذور

#### القانون: \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

#### شروط: n > 1، b ≠ 0، وجميع الجذور معرفة.

#### مثال: \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

إنطاق المقام

#### الغرض: إزالة الجذر من مقام الكسر.

#### الطريقة: ضرب البسط والمقام في مقدار يجعل أسس المتغيرات والثوابت تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر.

#### مثال: \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

تبسيط عبارات جذرية باستعمال خاصية القسمة

#### خطوات:

##### 1. تطبيق خاصية قسمة الجذور.

##### 2. تحليل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة.

##### 3. تبسيط.

##### 4. إنطاق المقام إذا لزم الأمر.

#### مثال: \sqrt{\frac{x^6}{y^7}} = \frac{|x^3|}{y^3\sqrt{y}} = \frac{|x^3|\sqrt{y}}{y^4}

```

نقاط مهمة

• خاصية قسمة الجذور هي عكس خاصية ضرب الجذور.
• لتسهيل إيجاد الجذر الدقيق، يجب أن تكون أسس الثوابت والمتغيرات تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر.
• عند إنطاق المقام، نضرب في مقدار يزيل الجذر من المقام، مثل \sqrt{b} أو \sqrt[n]{b^{n-x}} .

خاصية قسمة الجذور هي خاصية أخرى تستعمل في تبسيط العبارات الجذرية.

التعبير اللفظي لأي عددين حقيقيين ، حيث 0 ≠ b ولأي عدد صحيح n حيث 1 < n ، فإن = ، إذا كانت جميع الجذور معرفة.

√27/4 = √27/√4 = 3√3/2 √x⁶/8 = √x⁶/√8 = x²/2 = ½x²

الجذور الدقيقة يسهل إيجاد الجذور بصورة دقيقة عندما تكون جميع أسس الثوابت والمتغيرات الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر، فمثلا : √25 a² = 5a²

لإزالة الجذور من المقام أو الكسور تحت الجذر، استعمل عملية تُسمى إنطاق المقام. ولعمل ذلك، اضرب البسط والمقام في مقدار بحيث تكون جميع أسس الثوابت والمتغيرات الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر مما يسهل إيجاد الجذر الدقيق.

إذا كان المقام فاضرب البسط والمقام في

√b √bn-x √bx

2/√3 = 2/√3 * √3/√3 = 2√3/3 5/√2 = 5/√2 * √2²/√2² = 5√4/2

بسط كلا مما يأتي:

√x⁶/y⁷ = √x⁶/√y⁷ = √(x³)²/√(y³)²⋅y = √(x³)²/√(y³)²⋅√y = |x³|/y³√y = |x³|/y³√y * √y/√y = |x³|√y/y⁴

خاصية قسمة الجذور حلل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة خاصية ضرب الجذور بسط إنطاق المقام √y√y=y

√6/5x = √6/√5x = √6/√5x * √5³x³/√5³x³ = √6⋅5³x³/√5x⋅5³x³ = √750x³/√5⁴x⁴ = √750x³/5x

خاصية قسمة الجذور إنطاق المقام خاصية ضرب الجذور اضرب √5⁴x⁴ = 5x

تحقق من فهمك

√a⁹/√b⁵

∜3/4y

خاصية قسمة الجذور هي خاصية أخرى تستعمل في تبسيط العبارات الجذرية. --- SECTION: مفهوم أساسي --- التعبير اللفظي لأي عددين حقيقيين ، حيث 0 ≠ b ولأي عدد صحيح n حيث 1 < n ، فإن = ، إذا كانت جميع الجذور معرفة. --- SECTION: مثالان --- √27/4 = √27/√4 = 3√3/2 √x⁶/8 = √x⁶/√8 = x²/2 = ½x² --- SECTION: إرشادات للدراسة --- الجذور الدقيقة يسهل إيجاد الجذور بصورة دقيقة عندما تكون جميع أسس الثوابت والمتغيرات الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر، فمثلا : √25 a² = 5a² لإزالة الجذور من المقام أو الكسور تحت الجذر، استعمل عملية تُسمى إنطاق المقام. ولعمل ذلك، اضرب البسط والمقام في مقدار بحيث تكون جميع أسس الثوابت والمتغيرات الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر مما يسهل إيجاد الجذر الدقيق. إذا كان المقام فاضرب البسط والمقام في √b √bn-x √bx --- SECTION: مثال --- 2/√3 = 2/√3 * √3/√3 = 2√3/3 5/√2 = 5/√2 * √2²/√2² = 5√4/2 --- SECTION: مثال 2 تبسيط عبارات جذرية باستعمال خاصية القسمة --- بسط كلا مما يأتي: √x⁶/y⁷ = √x⁶/√y⁷ = √(x³)²/√(y³)²⋅y = √(x³)²/√(y³)²⋅√y = |x³|/y³√y = |x³|/y³√y * √y/√y = |x³|√y/y⁴ خاصية قسمة الجذور حلل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة خاصية ضرب الجذور بسط إنطاق المقام √y√y=y √6/5x = √6/√5x = √6/√5x * √5³x³/√5³x³ = √6⋅5³x³/√5x⋅5³x³ = √750x³/√5⁴x⁴ = √750x³/5x خاصية قسمة الجذور إنطاق المقام خاصية ضرب الجذور اضرب √5⁴x⁴ = 5x تحقق من فهمك --- SECTION: 2A --- √a⁹/√b⁵ --- SECTION: 2B --- ∜3/4y