مثال 5 ضرب العبارات الجذرية - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 ضرب العبارات الجذرية وإنطاق المقام

المفاهيم الأساسية

المرافق: كل من ثنائيتي الحد اللتين على الصورة `a√b + c√d` و `a√b - c√d` (حيث a, b, c, d أعداد نسبية) تعتبر مرافقة للأخرى.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

اختبار منتصف الفصل (الدروس 1-4 إلى 4-4)

العمليات على الدوال

#### (f+g)(x)

#### (f-g)(x)

#### (f.g)(x)

#### ((x)

#### [fog](x)

#### [gof](x)

تحديد الدوال العكسية

#### f(x) = 2x + 16

#### g(x) = 4x + 15

#### f(x) = x²-5

#### g(x) = -6x+8

#### h(x) = x + 8

#### f(x) = (x - 3)

#### h(x) = -10(x + 5)

#### f(x) = x + 12

تمثيل الدوال الجذرية بيانياً

#### y = 2 + √x

#### y = √x+4-1

مجال الدالة الجذرية

#### f(x) = 2x + 5

تبسيط التعبيرات الجذرية

#### √121a⁴b¹⁸

#### √(x⁴+3)¹²

#### √(2x-5)¹⁵

#### √(y-6)²⁰

#### √(x+4)⁶

#### √(y+x)⁸

مسائل واقعية

#### تنسيق حدائق

##### f(h) = 15h + 25

##### إيجاد f⁻¹(h)

##### حساب عدد الساعات

#### إنتاج

##### C(p) = 5p + 60

##### p(h) = 40h

##### إيجاد (C ∘ p)(h)

##### حساب التكلفة بعد 8 ساعات

#### حجم الأسطوانة

##### قانون: r = ∛(V/π)

##### حساب نصف القطر التقريبي

تمارين تمثيل المتباينات الجذرية بيانياً

#### y < √x - 5

#### y ≤ -2√x

#### y > √x+9 + 3

#### y ≥ √x+4 - 5

العمليات على العبارات الجذرية (الدرس 5-4)

أهداف الدرس

#### تبسيط عبارات جذرية

#### جمع وطرح وضرب وقسمة عبارات جذرية

خاصية ضرب الجذور

#### \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

#### شروط: n > 1، وإذا كان n زوجياً يجب أن تكون a, b غير سالبة.

أبسط صورة للعبارة الجذرية

#### لا تحتوي على عوامل تحت الجذر يمكن كتابتها كقوى نونية.

مثال تطبيقي

#### تبسيط: \sqrt{32x^8}

##### التحليل: \sqrt{4^2 \cdot 2 \cdot (x^4)^2}

##### النتيجة: 4x^4\sqrt{2}

خاصية قسمة الجذور

#### القانون: \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

#### شروط: n > 1، b ≠ 0، وجميع الجذور معرفة.

#### مثال: \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

إنطاق المقام

#### الغرض: إزالة الجذر من مقام الكسر.

#### الطريقة: ضرب البسط والمقام في مقدار يجعل أسس المتغيرات والثوابت تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر.

#### مثال: \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

تبسيط عبارات جذرية باستعمال خاصية القسمة

#### خطوات:

##### 1. تطبيق خاصية قسمة الجذور.

##### 2. تحليل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة.

##### 3. تبسيط.

##### 4. إنطاق المقام إذا لزم الأمر.

#### مثال: \sqrt{\frac{x^6}{y^7}} = \frac{|x^3|}{y^3\sqrt{y}} = \frac{|x^3|\sqrt{y}}{y^4}

ضرب العبارات الجذرية

#### استعمال خاصية الضرب: \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

#### مثال: 5\sqrt{-12ab⁴} \cdot 3\sqrt{18a²b²} = -90ab²

جمع وطرح العبارات الجذرية

#### الشرط: أن تكون الجذور متشابهة (نفس الدليل ونفس ما تحت الجذر).

#### مثال: \sqrt{98} - 2\sqrt{32} = -\sqrt{2}

#### إرشاد: بسّط كل جذر على حدة قبل تجميع الجذور المتشابهة.

ضرب العبارات الجذرية (استكمال)

#### الطريقة: استعمال التوزيع بالترتيب لضرب ثنائيتي حد، بنفس طريقة جمع وحيدات الحد.

#### مثال: (6-2\sqrt{3})(2\sqrt{5}+3\sqrt{4})

##### الحل: خاصية التوزيع ثم خاصية ضرب الجذور.

إنطاق المقام باستخدام المرافق

#### الغرض: تبسيط العبارات الجذرية التي تحتوي على جذور في المقام.

#### الطريقة: ضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

#### مثال من واقع الحياة (هندسة):

##### تبسيط: \frac{2}{\sqrt{5}-1}

##### الحل: الضرب في المرافق \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}

##### النتيجة: \frac{\sqrt{5}+1}{2}

```

نقاط مهمة

• يمكن ضرب الجذور باستعمال خاصية التوزيع بنفس طريقة ضرب وحيدات الحد.
• المرافق يستخدم لإزالة الجذر من المقام (إنطاق المقام).
• عند إنطاق المقام، يتم ضرب البسط والمقام في مرافق المقام لتبسيط العبارة.

وبما أنه يمكنك جمع الجذور وطرحها بالطريقة نفسها المتبعة في جمع وحيدات الحد وطرحها، فإنه يمكنك أيضًا ضرب الجذور باستعمال التوزيع بالترتيب لضرب ثنائيتي حد.

بسط العبارة الجذرية (6) - 32) (52 + 4/3) . 6-).2√5+2√2.3√5+(6-) .3√4+2√3.3√4 = (6-2√3)(2√5+3√4) خاصية التوزيع( خاصية ضرب الجذور = 12√3-2-24√3 + 15√22-30√2 = 12√6-24√3 +30-30√2 (6√3-5)(2√5+4√2) (5A (7√2-3√3)(7√2+3√3) (5B

تعتبر كل من ثنائيتي الحد اللتين على الصورة ab + cvd, ab - cd حيث a,b,c,d أعداد نسبية مرافقة للأخرى. ويمكنك استعمال المرافق لإنطاق المقام.

هندسة : ارجع إلى الفقرة الواردة في بداية الدرس، واستعمل المرافق لإنطاق المقام وتبسيط العبارة الجذرية: 2. 2 = 2 √5-1 √5+1 √5-15-1 √5+1 2√5 + 2(1) = = (√5)² + 1(√5) - 1(√5) – 1(1) 2√5 + 2 5+√5-√5-1 2√5+2 4 √5+1 2 5 - 1 1+5 مرافق ل

هندسة : إذا كانت مساحة المستطيل في الشكل المجاور تساوي ft2 900 ، فاكتب معادلة تمثل طول المستطيل L بدلالة x ، ثم بسطها. - 12

بسط كل عبارة جذرية فيما يأتي:

√36ab⁴c⁵

√144x⁷y⁵

√ c⁵ √a⁹

⁴√ 5x 8y

5√2x-3√8x

3/36xy 2/6x²y²

⁴√3x³y².⁴√27xy²

5/32+√27+2√75

وبما أنه يمكنك جمع الجذور وطرحها بالطريقة نفسها المتبعة في جمع وحيدات الحد وطرحها، فإنه يمكنك أيضًا ضرب الجذور باستعمال التوزيع بالترتيب لضرب ثنائيتي حد. --- SECTION: مثال 5 ضرب العبارات الجذرية --- بسط العبارة الجذرية (6) - 32) (52 + 4/3) . 6-).2√5+2√2.3√5+(6-) .3√4+2√3.3√4 = (6-2√3)(2√5+3√4) خاصية التوزيع( خاصية ضرب الجذور = 12√3-2-24√3 + 15√22-30√2 = 12√6-24√3 +30-30√2 (6√3-5)(2√5+4√2) (5A (7√2-3√3)(7√2+3√3) (5B تعتبر كل من ثنائيتي الحد اللتين على الصورة ab + cvd, ab - cd حيث a,b,c,d أعداد نسبية مرافقة للأخرى. ويمكنك استعمال المرافق لإنطاق المقام. --- SECTION: مثال 6 من واقع الحياة --- هندسة : ارجع إلى الفقرة الواردة في بداية الدرس، واستعمل المرافق لإنطاق المقام وتبسيط العبارة الجذرية: 2. 2 = 2 √5-1 √5+1 √5-15-1 √5+1 2√5 + 2(1) = = (√5)² + 1(√5) - 1(√5) – 1(1) 2√5 + 2 5+√5-√5-1 2√5+2 4 √5+1 2 5 - 1 1+5 مرافق ل --- SECTION: 6 --- هندسة : إذا كانت مساحة المستطيل في الشكل المجاور تساوي ft2 900 ، فاكتب معادلة تمثل طول المستطيل L بدلالة x ، ثم بسطها. - 12 --- SECTION: تأكد --- --- SECTION: الأمثلة 5-1 --- بسط كل عبارة جذرية فيما يأتي: --- SECTION: 1 --- √36ab⁴c⁵ --- SECTION: 2 --- √144x⁷y⁵ --- SECTION: 3 --- √ c⁵ √a⁹ --- SECTION: 4 --- ⁴√ 5x 8y --- SECTION: 5 --- 5√2x-3√8x --- SECTION: 6 --- 3/36xy 2/6x²y² --- SECTION: 7 --- ⁴√3x³y².⁴√27xy² --- SECTION: 8 --- 5/32+√27+2√75 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: rectangle with triangle Description: A rectangle with a right triangle attached to its right side. The rectangle has width w and length L. The triangle has a 60 degree angle and a side labeled 12 ft. Data: rectangle with triangle Context: Geometry problem involving area of rectangle and triangle