ملخص المفاهيم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 تبسيط العمليات على العبارات الجذرية

المفاهيم الأساسية

العبارة الجذرية في أبسط صورة: تكون كذلك إذا تحققت الشروط الآتية:

دليل الجذر (n) أصغر ما يمكن.

لا يتضمن ما تحت الجذر عوامل أو لكثيرة حدود.

لا يتضمن ما تحت الجذر كسوراً.

لا توجد جذور في المقام.

الجذور المتشابهة: هي الجذور التي لها الدليل نفسه وما تحت الجذر المقادير نفسها.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

اختبار منتصف الفصل (الدروس 1-4 إلى 4-4)

العمليات على الدوال

#### (f+g)(x)

#### (f-g)(x)

#### (f.g)(x)

#### ((x)

#### [fog](x)

#### [gof](x)

تحديد الدوال العكسية

#### f(x) = 2x + 16

#### g(x) = 4x + 15

#### f(x) = x²-5

#### g(x) = -6x+8

#### h(x) = x + 8

#### f(x) = (x - 3)

#### h(x) = -10(x + 5)

#### f(x) = x + 12

تمثيل الدوال الجذرية بيانياً

#### y = 2 + √x

#### y = √x+4-1

مجال الدالة الجذرية

#### f(x) = 2x + 5

تبسيط التعبيرات الجذرية

#### √121a⁴b¹⁸

#### √(x⁴+3)¹²

#### √(2x-5)¹⁵

#### √(y-6)²⁰

#### √(x+4)⁶

#### √(y+x)⁸

مسائل واقعية

#### تنسيق حدائق

##### f(h) = 15h + 25

##### إيجاد f⁻¹(h)

##### حساب عدد الساعات

#### إنتاج

##### C(p) = 5p + 60

##### p(h) = 40h

##### إيجاد (C ∘ p)(h)

##### حساب التكلفة بعد 8 ساعات

#### حجم الأسطوانة

##### قانون: r = ∛(V/π)

##### حساب نصف القطر التقريبي

تمارين تمثيل المتباينات الجذرية بيانياً

#### y < √x - 5

#### y ≤ -2√x

#### y > √x+9 + 3

#### y ≥ √x+4 - 5

العمليات على العبارات الجذرية (الدرس 5-4)

أهداف الدرس

#### تبسيط عبارات جذرية

#### جمع وطرح وضرب وقسمة عبارات جذرية

خاصية ضرب الجذور

#### \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

#### شروط: n > 1، وإذا كان n زوجياً يجب أن تكون a, b غير سالبة.

أبسط صورة للعبارة الجذرية

#### لا تحتوي على عوامل تحت الجذر يمكن كتابتها كقوى نونية.

مثال تطبيقي

#### تبسيط: \sqrt{32x^8}

##### التحليل: \sqrt{4^2 \cdot 2 \cdot (x^4)^2}

##### النتيجة: 4x^4\sqrt{2}

خاصية قسمة الجذور

#### القانون: \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

#### شروط: n > 1، b ≠ 0، وجميع الجذور معرفة.

#### مثال: \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

إنطاق المقام

#### الغرض: إزالة الجذر من مقام الكسر.

#### الطريقة: ضرب البسط والمقام في مقدار يجعل أسس المتغيرات والثوابت تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر.

#### مثال: \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

تبسيط عبارات جذرية باستعمال خاصية القسمة

#### خطوات:

##### 1. تطبيق خاصية قسمة الجذور.

##### 2. تحليل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة.

##### 3. تبسيط.

##### 4. إنطاق المقام إذا لزم الأمر.

#### مثال: \sqrt{\frac{x^6}{y^7}} = \frac{|x^3|}{y^3\sqrt{y}} = \frac{|x^3|\sqrt{y}}{y^4}

ضرب العبارات الجذرية

#### استعمال خاصية الضرب: \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

#### مثال: 5\sqrt{-12ab⁴} \cdot 3\sqrt{18a²b²} = -90ab²

جمع وطرح العبارات الجذرية

#### الشرط: أن تكون الجذور متشابهة (نفس الدليل ونفس ما تحت الجذر).

#### مثال: \sqrt{98} - 2\sqrt{32} = -\sqrt{2}

#### إرشاد: بسّط كل جذر على حدة قبل تجميع الجذور المتشابهة.

```

نقاط مهمة

يمكن استعمال خاصيتي الضرب والقسمة لضرب وقسمة العبارات الجذرية.
الجمع والطرح للعبارات الجذرية يشبه جمع وطرح وحيدات الحد، بشرط أن تكون الجذور متشابهة.
أمثلة على الجذور المتشابهة: 4\sqrt{3b} و \sqrt{3b}.
أمثلة على الجذور غير المتشابهة: 2b و \sqrt{3b}، وكذلك \sqrt{3b} و \sqrt{3b} (إذا اختلف الدليل).

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

فيما يأتي ملخص للقواعد التي تستعمل في تبسيط العبارات الجذرية:

تبسيط العبارات الجذرية

نوع: محتوى تعليمي

تكون العبارة الجذرية في أبسط صورة إذا تحققت جميع الشروط الآتية:
• إذا كان دليل الجذر n أصغر ما يمكن.
• إذا لم يتضمن ما تحت الجذر عوامل أو لكثيرة حدود.
• إذا لم يتضمن ما تحت الجذر كسوراً.
• إذا لم توجد جذور في المقام.

نوع: محتوى تعليمي

يمكنك استعمال خاصيتي الضرب والقسمة لضرب بعض العبارات الجذرية وقسمتها.

مثال 3

نوع: محتوى تعليمي

بسّط العبارة الجذرية:
5√-12ab⁴ · 3√18a²b²
= 5 · 3 · √-12ab⁴ · √18a²b²
= 15 · √-2² · 3 · ab⁴ · 2 · 3² · a²b²
= 15 · √-2³ · 3³ · a³b⁶
= 15 · √-2³ · √3³ · √a³ · √b⁶
= 15 · (-2) · 3 · a · b²
= -90ab²

3B

نوع: محتوى تعليمي

2√8x³y² · 3√2x⁵y²

3A

نوع: محتوى تعليمي

6√8c³d⁵ · 4√2cd³

نوع: محتوى تعليمي

يمكنك جمع العبارات الجذرية وطرحها بالأسلوب المستعمل عند جمع وحدات الحد أو طرحها، ولكن بشرط أن تكون الجذور متشابهة؛ أي أن يكون للجذور الدليل نفسه وما تحت الجذر المقادير نفسها.

نوع: محتوى تعليمي

متشابهان: 4√3b و √3b

نوع: محتوى تعليمي

غير متشابهين: 2b و √3b

نوع: محتوى تعليمي

غير متشابهين: √3b و √3b

مثال 4

نوع: محتوى تعليمي

بسّط العبارة الجذرية: √98 - 2√32
= √2 · 7² - 2√4² · 2
= 7√2 - 2 · 4√2
= 7√2 - 8√2
= -√2

4B

نوع: محتوى تعليمي

5√12 + 2√27 - √128

4A

نوع: محتوى تعليمي

4√8 + 3√50

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

جمع العبارات الجذرية وطرحها
بسّط كل جذر على حدة قبل محاولة تجميع الجذور المتشابهة.

نوع: METADATA

وزارة التعليم
2023 - 1447
205
الدرس 4-5 العمليات على العبارات الجذرية

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: ملخص المفاهيم ---
فيما يأتي ملخص للقواعد التي تستعمل في تبسيط العبارات الجذرية:

--- SECTION: تبسيط العبارات الجذرية ---
تكون العبارة الجذرية في أبسط صورة إذا تحققت جميع الشروط الآتية:
• إذا كان دليل الجذر n أصغر ما يمكن.
• إذا لم يتضمن ما تحت الجذر عوامل أو لكثيرة حدود.
• إذا لم يتضمن ما تحت الجذر كسوراً.
• إذا لم توجد جذور في المقام.

يمكنك استعمال خاصيتي الضرب والقسمة لضرب بعض العبارات الجذرية وقسمتها.

--- SECTION: مثال 3 ---
بسّط العبارة الجذرية:
5√-12ab⁴ · 3√18a²b²
= 5 · 3 · √-12ab⁴ · √18a²b²
= 15 · √-2² · 3 · ab⁴ · 2 · 3² · a²b²
= 15 · √-2³ · 3³ · a³b⁶
= 15 · √-2³ · √3³ · √a³ · √b⁶
= 15 · (-2) · 3 · a · b²
= -90ab²

--- SECTION: 3B ---
2√8x³y² · 3√2x⁵y²

--- SECTION: 3A ---
6√8c³d⁵ · 4√2cd³

يمكنك جمع العبارات الجذرية وطرحها بالأسلوب المستعمل عند جمع وحدات الحد أو طرحها، ولكن بشرط أن تكون الجذور متشابهة؛ أي أن يكون للجذور الدليل نفسه وما تحت الجذر المقادير نفسها.

متشابهان: 4√3b و √3b

غير متشابهين: 2b و √3b

غير متشابهين: √3b و √3b

--- SECTION: مثال 4 ---
بسّط العبارة الجذرية: √98 - 2√32
= √2 · 7² - 2√4² · 2
= 7√2 - 2 · 4√2
= 7√2 - 8√2
= -√2

--- SECTION: 4B ---
5√12 + 2√27 - √128

--- SECTION: 4A ---
4√8 + 3√50

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
جمع العبارات الجذرية وطرحها
بسّط كل جذر على حدة قبل محاولة تجميع الجذور المتشابهة.

وزارة التعليم
2023 - 1447
205
الدرس 4-5 العمليات على العبارات الجذرية

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 4: 4) أوجد طول دورة الدالة $y = \frac{1}{2} \tan \theta$ . ثم مثل هذه الدالة بيانياً.

الإجابة: س4: طول الدورة: $180^\circ$ التمثيل: منحنى $y = \tan \theta$ مضغوط رأسياً للنصف خطوط التقارب: $\theta = 90^\circ + 180^\circ n$ التقاطع: $\theta = 180^\circ n$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - الدالة: $y = \frac{1}{2} \tan \theta$ - نعلم أن الدالة الأساسية هي $y = \tan \theta$.
**الخطوة 2 (مفهوم طول الدورة):** طول الدورة للدالة المثلثية هو أصغر قيمة موجبة للزاوية $\theta$ بحيث تتكرر قيم الدالة. للدالة $\tan \theta$، تتكرر قيمها كلما زادت $\theta$ بمقدار $180^\circ$ (أو $\pi$ راديان). هذا لأن $\tan(\theta + 180^\circ) = \tan \theta$.
**الخطوة 3 (تأثير المعامل على الدورة):** المعامل $\frac{1}{2}$ في الدالة $y = \frac{1}{2} \tan \theta$ هو معامل مضاعف يؤثر على سعة التذبذب (الارتفاع) للمنحنى، لكنه **لا يؤثر على طول الدورة**. طول الدورة يظل كما هو للدالة الأساسية $\tan \theta$.
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، طول دورة الدالة $y = \frac{1}{2} \tan \theta$ هو: **$180^\circ$**.
**الخطوة 5 (التمثيل البياني):** لتمثيل الدالة $y = \frac{1}{2} \tan \theta$ بيانياً: 1. نبدأ بمنحنى الدالة الأساسية $y = \tan \theta$. 2. المعامل $\frac{1}{2}$ يعني أننا **نضغط المنحنى رأسياً** إلى النصف. فبدلاً من أن تكون قيم $y$ كبيرة (تتجه إلى اللانهاية) بسرعة، تصبح أصغر بمقدار النصف. 3. **خطوط التقارب** (الخطوط التي يقترب منها المنحنى لكن لا يلمسها) تبقى كما هي عند $\theta = 90^\circ + 180^\circ n$، حيث $n$ عدد صحيح. 4. **نقاط التقاطع** مع محور $\theta$ (عندما $y=0$) تحدث عندما $\tan \theta = 0$، أي عند $\theta = 180^\circ n$، حيث $n$ عدد صحيح. عند هذه النقاط، $y = \frac{1}{2} \times 0 = 0$، لذا تبقى نقاط التقاطع في نفس المواضع.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما الشرط الذي يجب تحقيقه حتى تكون العبارة الجذرية في أبسط صورة؟

أ) أن يكون دليل الجذر n أكبر ما يمكن.
ب) أن يتضمن ما تحت الجذر عوامل كثيرة الحدود.
ج) ألا يتضمن ما تحت الجذر كسوراً.
د) أن توجد جذور في المقام.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ألا يتضمن ما تحت الجذر كسوراً.

الشرح: 1. الشروط الأربعة هي: دليل الجذر n أصغر ما يمكن، عدم وجود عوامل أو لكثيرة حدود تحت الجذر، عدم وجود كسور تحت الجذر، عدم وجود جذور في المقام. 2. أحد هذه الشروط هو عدم وجود كسور تحت الجذر. 3. لذلك، الشرط المطلوب هو ألا يتضمن ما تحت الجذر كسوراً.

تلميح: فكر في الشروط الأربعة المذكورة لتبسيط العبارات الجذرية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما الخطوة الأولى الصحيحة عند تبسيط حاصل ضرب عبارتين جذريتين مثل 5√-12ab⁴ · 3√18a²b²؟

أ) جمع المعاملين العدديين (5 و 3) وجمع المقادير تحت الجذر.
ب) ضرب المعاملين العدديين معاً (5 و 3) وضرب المقادير تحت الجذر معاً.
ج) تحليل كل مقدار تحت الجذر إلى عوامله الأولية أولاً.
د) إخراج العوامل المربعة الكاملة من تحت الجذر مباشرة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ضرب المعاملين العدديين معاً (5 و 3) وضرب المقادير تحت الجذر معاً.

الشرح: 1. عند ضرب عبارتين جذريتين لهما نفس دليل الجذر، نضرب المعاملات العددية خارج الجذر معاً. 2. نضرب المقادير تحت الجذر معاً تحت جذر واحد. 3. في المثال: 5√-12ab⁴ · 3√18a²b² = (5×3) √[(-12ab⁴)×(18a²b²)] = 15 √(-216 a³ b⁶). 4. هذه هي الخطوة الأولى قبل تحليل العوامل.

تلميح: تذكر خواص ضرب الجذور.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الشرط الأساسي لجمع أو طرح عبارتين جذريتين؟

أ) أن يكون المعاملان العدديان خارج الجذر متماثلين.
ب) أن تكون الجذور متشابهة؛ أي أن يكون لها الدليل نفسه وما تحت الجذر المقادير نفسها.
ج) أن يكون دليل الجذر زوجياً.
د) أن يكون المقدار تحت الجذر عدداً أولياً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أن تكون الجذور متشابهة؛ أي أن يكون لها الدليل نفسه وما تحت الجذر المقادير نفسها.

الشرح: 1. يمكن جمع أو طرح العبارات الجذرية بنفس أسلوب جمع وحدات الحد الجبرية. 2. الشرط الأساسي هو تشابه الجذور. 3. التشابه يعني: نفس دليل الجذر (مثل √) ونفس المقدار تحت الجذر (مثل 3b). 4. مثال: 4√3b و √3b متشابهان، بينما √2b و √3b غير متشابهين.

تلميح: قارن بين الأمثلة المعطاة للجذور المتشابهة وغير المتشابهة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخطوة التالية بعد تبسيط كل جذر على حدة في عملية جمع أو طرح عبارات جذرية؟

أ) تحويل الجذور إلى كسور عشرية.
ب) ضرب جميع الحدود في بعضها.
ج) تجميع الحدود (الجذور) المتشابهة معاً.
د) إخراج جميع العوامل من تحت الجذر.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تجميع الحدود (الجذور) المتشابهة معاً.

الشرح: 1. الإرشاد المهم هو: 'بسّط كل جذر على حدة قبل محاولة تجميع الجذور المتشابهة.' 2. هذا يعني أن الخطوة الأولى هي تبسيط كل حد جذري ليصبح في أبسط صورة. 3. بعد التبسيط، ننظر إلى ما تحت الجذر لنرى إذا أصبحت الجذور متشابهة. 4. الخطوة التالية هي تجميع المعاملات العددية للجذور المتشابهة، تماماً كما في جمع الحدود الجبرية.

تلميح: تذكر إرشادات الدراسة المذكورة في نهاية الصفحة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

أي مما يلي يمثل زوجاً من الجذور المتشابهة التي يمكن جمعهما؟

أ) 5√2x و 3√2x
ب) √2x و √3x
ج) 5√2x و 5√2
د) √x و ∛x

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 5√2x و 3√2x

الشرح: 1. الجذور المتشابهة لها: نفس دليل الجذر (هنا جميعها √) ونفس المقدار تحت الجذر. 2. الخيار (أ): 5√2x و 3√2x → نفس الدليل (√) ونفس المقدار تحت الجذر (2x) → متشابهان. 3. الخيار (ب): √2x و √3x → المقدار تحت الجذر مختلف (2x vs 3x) → غير متشابهين. 4. الخيار (ج): 5√2x و 5√2 → المقدار تحت الجذر مختلف (2x vs 2) → غير متشابهين. 5. الخيار (د): √x و ∛x → دليل الجذر مختلف (√ vs ∛) → غير متشابهين.

تلميح: الجذور المتشابهة لها نفس الدليل (√) ونفس المقدار تحت الجذر.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: سهل