صفحة 207 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 العمليات على العبارات الجذرية (الدرس 5-4) - تدريبات

المفاهيم الأساسية

يحتوي هذا الجزء من الصفحة على تمارين تطبيقية فقط، ولا يتضمن تعريفات جديدة.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

اختبار منتصف الفصل (الدروس 1-4 إلى 4-4)

العمليات على الدوال

#### (f+g)(x)

#### (f-g)(x)

#### (f.g)(x)

#### ((x)

#### [fog](x)

#### [gof](x)

تحديد الدوال العكسية

#### f(x) = 2x + 16

#### g(x) = 4x + 15

#### f(x) = x²-5

#### g(x) = -6x+8

#### h(x) = x + 8

#### f(x) = (x - 3)

#### h(x) = -10(x + 5)

#### f(x) = x + 12

تمثيل الدوال الجذرية بيانياً

#### y = 2 + √x

#### y = √x+4-1

مجال الدالة الجذرية

#### f(x) = 2x + 5

تبسيط التعبيرات الجذرية

#### √121a⁴b¹⁸

#### √(x⁴+3)¹²

#### √(2x-5)¹⁵

#### √(y-6)²⁰

#### √(x+4)⁶

#### √(y+x)⁸

مسائل واقعية

#### تنسيق حدائق

##### f(h) = 15h + 25

##### إيجاد f⁻¹(h)

##### حساب عدد الساعات

#### إنتاج

##### C(p) = 5p + 60

##### p(h) = 40h

##### إيجاد (C ∘ p)(h)

##### حساب التكلفة بعد 8 ساعات

#### حجم الأسطوانة

##### قانون: r = ∛(V/π)

##### حساب نصف القطر التقريبي

تمارين تمثيل المتباينات الجذرية بيانياً

#### y < √x - 5

#### y ≤ -2√x

#### y > √x+9 + 3

#### y ≥ √x+4 - 5

العمليات على العبارات الجذرية (الدرس 5-4)

أهداف الدرس

#### تبسيط عبارات جذرية

#### جمع وطرح وضرب وقسمة عبارات جذرية

خاصية ضرب الجذور

#### \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

#### شروط: n > 1، وإذا كان n زوجياً يجب أن تكون a, b غير سالبة.

أبسط صورة للعبارة الجذرية

#### لا تحتوي على عوامل تحت الجذر يمكن كتابتها كقوى نونية.

مثال تطبيقي

#### تبسيط: \sqrt{32x^8}

##### التحليل: \sqrt{4^2 \cdot 2 \cdot (x^4)^2}

##### النتيجة: 4x^4\sqrt{2}

خاصية قسمة الجذور

#### القانون: \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

#### شروط: n > 1، b ≠ 0، وجميع الجذور معرفة.

#### مثال: \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

إنطاق المقام

#### الغرض: إزالة الجذر من مقام الكسر.

#### الطريقة: ضرب البسط والمقام في مقدار يجعل أسس المتغيرات والثوابت تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر.

#### مثال: \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

تبسيط عبارات جذرية باستعمال خاصية القسمة

#### خطوات:

##### 1. تطبيق خاصية قسمة الجذور.

##### 2. تحليل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة.

##### 3. تبسيط.

##### 4. إنطاق المقام إذا لزم الأمر.

#### مثال: \sqrt{\frac{x^6}{y^7}} = \frac{|x^3|}{y^3\sqrt{y}} = \frac{|x^3|\sqrt{y}}{y^4}

ضرب العبارات الجذرية

#### استعمال خاصية الضرب: \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

#### مثال: 5\sqrt{-12ab⁴} \cdot 3\sqrt{18a²b²} = -90ab²

جمع وطرح العبارات الجذرية

#### الشرط: أن تكون الجذور متشابهة (نفس الدليل ونفس ما تحت الجذر).

#### مثال: \sqrt{98} - 2\sqrt{32} = -\sqrt{2}

#### إرشاد: بسّط كل جذر على حدة قبل تجميع الجذور المتشابهة.

ضرب العبارات الجذرية (استكمال)

#### الطريقة: استعمال التوزيع بالترتيب لضرب ثنائيتي حد، بنفس طريقة جمع وحيدات الحد.

#### مثال: (6-2\sqrt{3})(2\sqrt{5}+3\sqrt{4})

##### الحل: خاصية التوزيع ثم خاصية ضرب الجذور.

إنطاق المقام باستخدام المرافق

#### الغرض: تبسيط العبارات الجذرية التي تحتوي على جذور في المقام.

#### الطريقة: ضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

#### مثال من واقع الحياة (هندسة):

##### تبسيط: \frac{2}{\sqrt{5}-1}

##### الحل: الضرب في المرافق \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}

##### النتيجة: \frac{\sqrt{5}+1}{2}

تدرب وحل المسائل (ص 207)

#### تبسيط عبارات جذرية

##### \sqrt{72a⁸b⁵}

##### \sqrt{9a¹⁵b³}

##### \sqrt{18a⁶b³c⁵}

##### \sqrt{\frac{7x}{10y³}}

##### \sqrt{\frac{6x²}{5y}}

##### \sqrt{\frac{4⁷x³}{4b²}}

#### ضرب العبارات الجذرية

##### 3\sqrt{5y} \cdot 8\sqrt{10yz}

##### 2\sqrt{32a³b⁵} \cdot \sqrt{8a⁷b²}

#### جمع وطرح العبارات الجذرية

##### 3\sqrt{90} + 4\sqrt{20} + \sqrt{162}

##### 4\sqrt{28} - 8\sqrt{810} + \sqrt{44}

#### ضرب ثنائيتي حد جذريتين

##### (7\sqrt{2} - 3\sqrt{3})(4\sqrt{6} + 3\sqrt{12})

##### (6\sqrt{3} + 5\sqrt{2})(2\sqrt{6} + 3\sqrt{8})

#### إنطاق المقام باستخدام المرافق

##### \frac{8}{\sqrt{6}-5}

##### \frac{5}{\sqrt{2}+3}

##### \frac{6-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+4}

##### \frac{4+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}

##### \frac{6}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

##### \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}

##### \frac{9-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+6}

##### \frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}

#### تبسيط جذور ذات دليل أكبر من 2

##### \sqrt[3]{-54x⁶y¹¹}

##### \sqrt[4]{\frac{12x³y²}{5a²b}}

##### \sqrt[3]{\frac{36xy²}{10xz}}

#### تبسيط عبارات جذرية بمتغيرات في المقام

##### \frac{x+1}{\sqrt{x-1}}

##### \frac{x-2}{\sqrt{x²-4}}

##### \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x²-1}}

#### مسائل هندسية

##### مثال 6: إيجاد ارتفاع مثلث بمساحة 189 + 4\sqrt{3} \text{ cm²}

##### إيجاد محيط ومساحة مستطيل (شكل مجاور)

#### الربط مع الحياة

##### قطر التفاحة: d = \sqrt[3]{3w}

##### حساب قطر تفاحة كتلتها 6.47 أونصة

##### تبسيط \sqrt{a^b} حيث b عدد زوجي

#### تمثيلات متعددة (استكشاف الجذور المتشابهة)

##### عدديًا: إثبات أن طول قطعة = \sqrt{2} باستخدام نظرية فيثاغورس

##### بيانيًا: زيادة الطول ليصبح \sqrt{2} + \sqrt{2}

##### تحليليًا: إظهار أن \sqrt{2} + \sqrt{2} \neq 2

##### بيانيًا: رسم مربع طول ضلعه \sqrt{2}

##### عدديًا: إثبات أن مساحة المربع = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2

```

نقاط مهمة

• هذه الصفحة تحتوي على مجموعة كبيرة من التمارين لتطبيق جميع قواعد العمليات على العبارات الجذرية التي تم تعلمها في الدرس.
• التمارين تشمل: التبسيط، الضرب، الجمع والطرح، إنطاق المقام، والتعامل مع الجذور التكعيبية والرباعية.
• هناك مسائل هندسية تطبق المفاهيم الجذرية على إيجاد الأبعاد من المساحة والمحيط.
• قسم "الربط مع الحياة" يطبق مفهوم الجذر التكعيبي على علاقة واقعية بين كتلة التفاحة وقطرها.
• قسم "تمثيلات متعددة" يستكشف خصائص الجذور المتشابهة هندسياً وعدديًا.

-12 + √3 (8√3-2√2)(8√3 + 2√2) (4 + 2√5)(3√3+4√5) 8 / (√6-5) 5 / (√2+3) (6-√3) / (√3+4) (4 + √2) / (√2-3) --- SECTION: مثال 6 --- هندسة : أوجد ارتفاع المثلث في الشكل المجاور في أبسط صورة إذا كانت مساحته 189 + 4√3 cm². --- SECTION: تدرب وحل المسائل --- الأمثلة 4-1 بسط كل عبارة جذرية فيما يأتي: √72a⁸b⁵ √9a¹⁵b³ √18a⁶b³c⁵ √(7x / 10y³) √(6x² / 5y) √(4⁷x³ / 4b²) 3√5y · 8√10yz 2√32a³b⁵ · √8a⁷b² 3√90 + 4√20 + √162 4√28 - 8√810 + √44 هندسة : أوجد محيط المستطيل في الشكل المجاور واكتبه في أبسط صورة. ثم أوجد مساحته واكتبها في أبسط صورة. بسط كلا من العبارات الجذرية الآتية: (7√2 - 3√3)(4√6 + 3√12) (6√3 + 5√2)(2√6 + 3√8) 6 / (√3 - √2) √2 / (√5 - √3) (9 - 2√3) / (√3 + 6) (2√2 + 2√5) / (√5 + √2) ∛(-54x⁶y¹¹) ⁴√(12x³y² / 5a²b) ∛(36xy² / 10xz) (x+1) / √(x-1) (x-2) / √(x²-4) √x / √(x²-1) --- SECTION: الربط مع الحياة --- تفاح : يرتبط قطر التفاحة مع كتلتها بالدالة d = ∛3w، حيث d تمثل القطر بالبوصة، w الكتلة بالأونصات. أوجد قطر تفاحة كتلتها 6.47 أونصات. التفاح يطفو على الماء لأن نسبة الهواء فيه 25% من حجمه. بسط كل عبارة جذرية فيما يأتي، حيث b عدد زوجي: √aᵇ √a⁴ᵇ √a²ᵇ √a³ᵇ --- SECTION: تمثيلات متعددة --- ستستكشف في هذا السؤال العمليات على الجذور المتشابهة. a. عدديًا : انقل الشكل المجاور على ورقة نقطية. واستعمل نظرية فيثاغورس لإثبات أن طول القطعة المستقيمة الحمراء يساوي √2 وحدة. b. بيانيا : زد طول القطعة المستقيمة الحمراء ليصبح √2 + √2. c. تحليليا : استعمل الشكل الذي رسمته لتبين أن √2 + √2 ≠ 2 = √2 + √2 + √2. d. بيانيا : استعمل الورقة النقطية لرسم مربع طول ضلعه √2 وحدة. e. عدديًا : برهن على أن مساحة المربع تساوي 2 = √2 · √2 وحدة مربعة.