الأسس النسبية - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الأسس النسبية

المفاهيم الأساسية

الأسس النسبية: لأي عدد حقيقي `b`، وأي عدد صحيح موجب `n`، فإن `b^(1/n) = ⁿ√b`، إلا إذا كانت `b = 0` و `n` عددًا زوجيًا فإن الجذر النوني يكون عدداً مركباً.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

مسائل مهارات التفكير العليا (ص 208)

اكتشف الخطأ (س45)

#### تبسيط: 4√32 + 6√18

##### حل ناصر: 118√2

##### حل خالد: 34√2

تحد (س46)

#### إثبات أن (1 - 2 - i√3) جذر تكعيبي للعدد 1

تبرير (س47)

#### إيجاد قيم a التي تجعل √a٠√-a عدداً حقيقياً

مسألة مفتوحة (س48)

#### إيجاد عدد غير 1، جذره التربيعي والتكعيبي والرابع أعداد كلية موجبة

اكتب (س49)

#### متى يكون رمز القيمة المطلقة ضرورياً في تبسيط الجذر النوني؟

تدريب على اختبار (ص 208)

اختيار من متعدد (س50)

#### تبسيط العبارة: √180a²b⁸

##### الخيارات: 5√6|a|b⁴ ، 6√5|a|b⁴ ، 3√10|a|b⁴

مراجعة تراكمية (ص 208)

تبسيط العبارات الجذرية

#### س51: √81x⁶

#### س52: ³√729a³b⁹

#### س53: √(g + 5)²

تمثيل المتباينات بيانياً (س54)

#### 2 - √x ≤ y

حل المعادلات

#### س55: x⁴ - 34x² + 225 = 0

#### س56: x⁴ + 6x² - 27 = 0

#### س57: 27x³ + 1 = 0

مسألة واقعية (قوارب)

#### الربح: 5000 ريال (صغير)، 9000 ريال (كبير)

#### المعادلة: عدد الصغيرة = عدد الكبيرة + 5

#### الربح الكلي: 81000 ريال

العمليات الحسابية الأساسية

#### س59: 3(1)⁸

#### س60: 1/2 + 3/8

#### س61: 5/6 - 2/5

الأسس النسبية (ص 209)

الأهداف

#### كتابة عبارات ذات أسس نسبية بالصورة الجذرية وبالعكس

#### تبسيط عبارات أسية أو جذرية

العلاقة بين الأسس النسبية والجذور

#### b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}

#### b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}

أمثلة

#### 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3

#### (-16)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-16} = 4i

تحويل الصور

#### من الأسي إلى الجذري: x^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{x}

#### من الجذري إلى الأسي: \sqrt[4]{z} = z^{\frac{1}{4}}

```

نقاط مهمة

• تربيع عدد غير سالب وإيجاد جذره التربيعي عمليتان عكسيتان.
• يمكن إيجاد قيمة عبارة ذات أس نسبي بافتراض أن خصائص الأسس الصحيحة تنطبق عليها.
• تطبيق واقعي: يمكن استخدام الصيغة P = c(1+r)^{\frac{1}{2}} لتقدير الثمن المستقبلي لسلعة (مثل جهاز تبريد ماء) بعد ستة أشهر بناءً على معدل التضخم.

الأسس النسبية Rational Exponents

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

فيما سبق درست استعمال خصائص الأسس. (مهارة سابقة)

والآن • أكتب عبارات ذات أسس نسبية بالصورة الجذرية وبالعكس. • أبسط عبارات أسية أو جذرية.

لماذا ؟ يمكن أن تستعمل الصيغة ( + 1 = P لتقدير الثمن المستقبلي لسلعة اعتمادا على التضخم المالي، حيث P يمثل الثمن المستقبلي، ، تمثل الثمن الحالي، 7 يمثل معدل التضخم السنوي، n تمثل عدد السنوات المستقبلية. فمثلا يمكن أن تستعمل الصيغة: 1 P = c(1+r)2 لتقدير الثمن المستقبلي لجهاز تبريد ماء في ستة أشهر.

الأسس النسبية والعبارات الجذرية : تعلم أن تربيع عدد غير سالب وإيجاد جذره التربيعي هما عمليتان عکسيتان. ولكن كيف يمكنك إيجاد قيمة عبارة تتضمن أسًا نسبيًّا كما في الصيغة أعلاه؟ يمكنك إيجاد قيم مثل هذه العبارات بافتراض أن عبارات الأسس النسبية يصح فيها ما يصح في عبارات الأسس الصحيحة.

(b2)2 =b2.b2 = b2+2 = b1 = b

اكتبه على صورة حاصل ضرب

اجمع الأسس

بسط

b2 = √b

لذا فإن b2 هو عدد مربعه يساوي b ؛ إذن b = √b.

أضف إلى مطويتك

مفهوم أساسي الأسس النسبية (b) التعبير اللفظي: لأي b عدد حقيقي ، وأي عدد صحيح موجب ، = b b n ، إلا إذا كانت 0 ، و n عددًا زوجيًا فإن الجذر النوني يكون عدداً مركبا.

مثالان : 273 = ∛27 = 3 ، (−16) = √-16 = 4i

مثال 1 الصورتان الجذرية والأسية

اكتب على الصورة الجذرية.

x6 = √x

تعريف b1n

اكتب على الصورة الأسية.

√z = z4

تعريف 6

تحقق من فهمك

اكتب 3 على الصورة الجذرية.

اكتب على الصورة الأسية

وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 6-4 الأسس النسبية 209 1447 - 2023

الأسس النسبية Rational Exponents --- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: فيما سبق --- فيما سبق درست استعمال خصائص الأسس. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- والآن • أكتب عبارات ذات أسس نسبية بالصورة الجذرية وبالعكس. • أبسط عبارات أسية أو جذرية. --- SECTION: لماذا؟ --- لماذا ؟ يمكن أن تستعمل الصيغة ( + 1 = P لتقدير الثمن المستقبلي لسلعة اعتمادا على التضخم المالي، حيث P يمثل الثمن المستقبلي، ، تمثل الثمن الحالي، 7 يمثل معدل التضخم السنوي، n تمثل عدد السنوات المستقبلية. فمثلا يمكن أن تستعمل الصيغة: 1 P = c(1+r)2 لتقدير الثمن المستقبلي لجهاز تبريد ماء في ستة أشهر. --- SECTION: الأسس النسبية والعبارات الجذرية --- الأسس النسبية والعبارات الجذرية : تعلم أن تربيع عدد غير سالب وإيجاد جذره التربيعي هما عمليتان عکسيتان. ولكن كيف يمكنك إيجاد قيمة عبارة تتضمن أسًا نسبيًّا كما في الصيغة أعلاه؟ يمكنك إيجاد قيم مثل هذه العبارات بافتراض أن عبارات الأسس النسبية يصح فيها ما يصح في عبارات الأسس الصحيحة. (b2)2 =b2.b2 = b2+2 = b1 = b اكتبه على صورة حاصل ضرب اجمع الأسس بسط b2 = √b لذا فإن b2 هو عدد مربعه يساوي b ؛ إذن b = √b. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي الأسس النسبية (b) التعبير اللفظي: لأي b عدد حقيقي ، وأي عدد صحيح موجب ، = b b n ، إلا إذا كانت 0 ، و n عددًا زوجيًا فإن الجذر النوني يكون عدداً مركبا. --- SECTION: مثالان --- مثالان : 273 = ∛27 = 3 ، (−16) = √-16 = 4i --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 الصورتان الجذرية والأسية اكتب على الصورة الجذرية. a. x6 x6 = √x تعريف b1n اكتب على الصورة الأسية. b. √z √z = z4 تعريف 6 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 1 --- اكتب 3 على الصورة الجذرية. A. a5 --- SECTION: 1 --- اكتب على الصورة الأسية B. √c وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 6-4 الأسس النسبية 209 1447 - 2023