مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الأسس النسبية (تطبيقات)

المفاهيم الأساسية

الأسس النسبية: القواعد التي تنطبق على الأسس الصحيحة السالبة تنطبق أيضًا على الأسس النسبية السالبة.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

مسائل مهارات التفكير العليا (ص 208)

اكتشف الخطأ (س45)

#### تبسيط: 4√32 + 6√18

##### حل ناصر: 118√2

##### حل خالد: 34√2

تحد (س46)

#### إثبات أن (1 - 2 - i√3) جذر تكعيبي للعدد 1

تبرير (س47)

#### إيجاد قيم a التي تجعل √a٠√-a عدداً حقيقياً

مسألة مفتوحة (س48)

#### إيجاد عدد غير 1، جذره التربيعي والتكعيبي والرابع أعداد كلية موجبة

اكتب (س49)

#### متى يكون رمز القيمة المطلقة ضرورياً في تبسيط الجذر النوني؟

تدريب على اختبار (ص 208)

اختيار من متعدد (س50)

#### تبسيط العبارة: √180a²b⁸

##### الخيارات: 5√6|a|b⁴ ، 6√5|a|b⁴ ، 3√10|a|b⁴

مراجعة تراكمية (ص 208)

تبسيط العبارات الجذرية

#### س51: √81x⁶

#### س52: ³√729a³b⁹

#### س53: √(g + 5)²

تمثيل المتباينات بيانياً (س54)

#### 2 - √x ≤ y

حل المعادلات

#### س55: x⁴ - 34x² + 225 = 0

#### س56: x⁴ + 6x² - 27 = 0

#### س57: 27x³ + 1 = 0

مسألة واقعية (قوارب)

#### الربح: 5000 ريال (صغير)، 9000 ريال (كبير)

#### المعادلة: عدد الصغيرة = عدد الكبيرة + 5

#### الربح الكلي: 81000 ريال

العمليات الحسابية الأساسية

#### س59: 3(1)⁸

#### س60: 1/2 + 3/8

#### س61: 5/6 - 2/5

الأسس النسبية (ص 209)

الأهداف

#### كتابة عبارات ذات أسس نسبية بالصورة الجذرية وبالعكس

#### تبسيط عبارات أسية أو جذرية

العلاقة بين الأسس النسبية والجذور

#### b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}

#### b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}

أمثلة

#### 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3

#### (-16)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-16} = 4i

تحويل الصور

#### من الأسي إلى الجذري: x^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{x}

#### من الجذري إلى الأسي: \sqrt[4]{z} = z^{\frac{1}{4}}

الأسس النسبية (ص 210)

إيجاد قيم عبارات تتضمن أسساً نسبية (مثال 2)

#### 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3

#### 216^{\frac{2}{3}} = (6^3)^{\frac{2}{3}} = 6^2 = 36

حل معادلات تتضمن أسساً نسبية (مثال 3)

#### تطبيق: حساب التضخم المالي

##### الصيغة: P = c(1 + r)^n

##### مثال: ثمن جهاز 390 ريال، معدل تضخم 5.3% سنوياً، الزيادة بعد 6 أشهر ≈ 10.20 ريال

تبسيط العبارات

#### خواص الأسس تنطبق على الأسس النسبية

#### اكتب العبارة بصورة أسس موجبة

#### قد تحتاج إلى إنطاق المقام

```

نقاط مهمة

• خاصية قوة القوة وضرب الأسس تُستخدم في تبسيط العبارات ذات الأسس النسبية.
• تطبيق التضخم المالي: يمكن استخدام الأسس النسبية لحساب الزيادة في الأسعار خلال فترة زمنية أقل من سنة باستخدام الصيغة P = c(1 + r)^n .
• خواص الأسس التي تعلمتها سابقاً تنطبق أيضاً على الأسس النسبية.

وبشكل عام يمكنك تقديم التعريف العام الآتي للأسس النسبية:

الأسس النسبية (b)

X التعبير اللفظي: يكون (b = b = (V لأي عدد حقيقي b لا يساوي صفرا ، ولأي عددين صحيحين x بحيث 1 < ، إلا إذا كانت 0 > b و y عددًا زوجيا، فإن الجذر قد يكون عددًا مركبا. 273 = (1/27)2 = 32 = 9 3 3 (-16) = (√-16)³ = (4i)3 = − 64i مثالان :

كما أن القواعد التي تنطبق على الأسس الصحيحة السالبة تنطبق أيضًا على الأسس النسبية السالبة.

إيجاد قيم عبارات تتضمن أسسا نسبية

أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي:

81

216

b = 1

81 = 1

81 = √81

81 = 3

بسط

216 = 6³

216 = (6³)

=6

خاصية قوة القوة

= 6²

ضرب الأسس

= 36

بسط

256

-3125

حل معادلات تتضمن أسسا نسبية

ثقافة مالية : ارجع إلى الفقرة الواردة في بداية الدرس، وافترض أن الثمن الحالي لجهاز تبريد الماء هو 390 ريالا. فكم سيزيد الثمن خلال ستة أشهر إذا كان معدل التضخم المالي السنوي %5.3 ؟

الصيغة P = c(1 + r)n

c=390, r = 0.053, n = 1 = 6 أشهر 2 12 شهرًا

= 390(1 + 0.053)

≈ 400.20

استعمل الحاسبة 10.20= 390.00 - 400.20 إذن سيزيد ثمن جهاز تبريد الماء بعد ستة أشهر بمقدار 10.20 ريالات تقريبا.

ثقافة مالية : افترض أن ثمن لتر الحليب الآن 4 ريالات. فكم سيزيد الثمن بعد تسعة أشهر، إذا كان معدل التضخم المالي السنوي %5.3؟

تبسيط العبارات خواص الأسس التي تعلمتها سابقا تنطبق أيضًا على الأسس النسبية؛ لذا اكتب كل عبارة على صورة أسس موجبة. واحرص على أن تكون الأسس في مقام الكسر أعدادًا صحيحة موجبة؛ لذلك أنت في حاجة إلى إنطاق المقام أحيانًا.

210 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية

وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447

وبشكل عام يمكنك تقديم التعريف العام الآتي للأسس النسبية: --- SECTION: مفهوم أساسي --- الأسس النسبية (b) --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- X التعبير اللفظي: يكون (b = b = (V لأي عدد حقيقي b لا يساوي صفرا ، ولأي عددين صحيحين x بحيث 1 < ، إلا إذا كانت 0 > b و y عددًا زوجيا، فإن الجذر قد يكون عددًا مركبا. 273 = (1/27)2 = 32 = 9 3 3 (-16) = (√-16)³ = (4i)3 = − 64i مثالان : كما أن القواعد التي تنطبق على الأسس الصحيحة السالبة تنطبق أيضًا على الأسس النسبية السالبة. --- SECTION: مثال 2 --- إيجاد قيم عبارات تتضمن أسسا نسبية أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي: 81 a. 81 216 b. 216 b = 1 81 = 1 81 = √81 81 = 3 بسط 216 = 6³ 216 = (6³) =6 خاصية قوة القوة = 6² ضرب الأسس = 36 بسط --- SECTION: 2B --- 256 --- SECTION: 2A --- -3125 --- SECTION: مثال 3 --- حل معادلات تتضمن أسسا نسبية ثقافة مالية : ارجع إلى الفقرة الواردة في بداية الدرس، وافترض أن الثمن الحالي لجهاز تبريد الماء هو 390 ريالا. فكم سيزيد الثمن خلال ستة أشهر إذا كان معدل التضخم المالي السنوي %5.3 ؟ الصيغة P = c(1 + r)n c=390, r = 0.053, n = 1 = 6 أشهر 2 12 شهرًا = 390(1 + 0.053) ≈ 400.20 استعمل الحاسبة 10.20= 390.00 - 400.20 إذن سيزيد ثمن جهاز تبريد الماء بعد ستة أشهر بمقدار 10.20 ريالات تقريبا. --- SECTION: 3 --- ثقافة مالية : افترض أن ثمن لتر الحليب الآن 4 ريالات. فكم سيزيد الثمن بعد تسعة أشهر، إذا كان معدل التضخم المالي السنوي %5.3؟ تبسيط العبارات خواص الأسس التي تعلمتها سابقا تنطبق أيضًا على الأسس النسبية؛ لذا اكتب كل عبارة على صورة أسس موجبة. واحرص على أن تكون الأسس في مقام الكسر أعدادًا صحيحة موجبة؛ لذلك أنت في حاجة إلى إنطاق المقام أحيانًا. 210 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447