مثال 3

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 الأسس النسبية (تطبيقات وتمارين)

المفاهيم الأساسية

نصف قطر الكرة: يُعطى بالعلاقة r = \left( \frac{3V}{4\pi} \right)^{1/3} حيث \( V \) هو الحجم.

خريطة المفاهيم

```markmap

العبارات الجذرية والأسية

إرشادات للدراسة

قاعدة التبسيط

اكتب الناتج النهائي بنفس صورة البداية
إذا بدأت بعبارة جذرية → الناتج جذري
إذا بدأت بعبارة أسية → الناتج أسي

ملخص المفاهيم

أبسط صورة للأسس النسبية

جميع الأسس غير سالبة
الأسس في المقام أعداد صحيحة موجبة
لا يحتوي البسط أو المقام على كسور
دليل الجذر المتبقي أصغر ما يمكن

التحويل بين الصورتين

من أسي إلى جذري

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

من جذري إلى أسي

\( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)

خصائص العمليات

خاصية قسمة قوتين

\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

تطبيقات عملية

كرة السلة

حساب نصف القطر من الحجم باستخدام الصيغة الأسية

مساحة الأشكال

مساحة المثلث: أبعاده بدلالة أسس نسبية
مساحة الدائرة: نصف قطرها بدلالة أسس نسبية

النمو الأسي

نموذج النمو: \( D = 100 \cdot 2^{t/2} \)

تحليل الدوال

مقارنة الدالتين \( f(x) = x^3 \) و \( g(x) = x^{1/3} \)

```

نقاط مهمة

الصفحة تحتوي على تمارين تطبيقية على تبسيط العبارات ذات الأسس النسبية.
تتضمن التمارين تطبيقات هندسية (حساب مساحة مثلث ودائرة) وحياتية (حجم كرة السلة، نمو أعداد الغزلان).
التركيز على تطبيق قوانين الأسس (الضرب، القسمة، رفع القوة إلى قوة) في التبسيط.
يوجد تمرين لاستكشاف العلاقة البيانية والتحويل الهندسي بين دالة القوة والدالة الجذرية المقابلة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مثال 3

24

نوع: QUESTION_HOMEWORK

كرة سلة: يوجد حجمان لكرة السلة، حجم كبير وآخر صغير، كما في الصورة جانباً. فإذا كان نصف قطر الكرة r التي تسع V وحدة مكعبة من الهواء يُعبّر عنه بالعلاقة r = (3V / 4π)^(1/3) ، فأجب عما يأتي:

المثالان 4, 5

نوع: محتوى تعليمي

المثالان 4, 5

نوع: محتوى تعليمي

بسّط كل عبارة مما يأتي:

25

نوع: QUESTION_HOMEWORK

x^(1/3) ⋅ x^(2/5)

26

نوع: QUESTION_HOMEWORK

y^(-4/5)

27

نوع: QUESTION_HOMEWORK

root(8)(81) / root(3)(3)

28

نوع: QUESTION_HOMEWORK

root(4)(25x^2)

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(x^(1/4) + 2) / (x^(1/4) - 2)

هندسة

نوع: محتوى تعليمي

هندسة: أوجد مساحة كل شكل فيما يأتي:

30

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد مساحة المثلث الموضح.

31

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد مساحة الدائرة الموضحة.

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

ما أبسط صورة للعبارة 32^(1/2) + 18^(1/2) - 2^(1/2)؟

نوع: محتوى تعليمي

بسّط كل عبارة مما يأتي:

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

a^(7/4) ⋅ a^(5/4)

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(y^(-3/5))^(1/4)

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

root(4)(216)

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

w^(-7/8)

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

محميات: إذا افترضنا أن عدد الغزلان يتضاعف في المحميات الطبيعية كل سنتين. فإذا كان في المحمية 100 غزال، وكان عدد الغزلان D بعد t من السنوات يُعبّر عنه بالصيغة D = 100 ⋅ 2^(t/2) ، فأجب عما يأتي:

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

الربط مع الحياة: الطريقة الأكثر دقة لتحديد عمر بعض أنواع الغزلان هي النظر إلى مقطع عرضي لإحدى أسنانه، حيث تنمو كل فصل شتاء طبقة كلسية تكسو السن على شكل حلقة، وكل حلقة تمثل سنة كما هو الحال في حلقات جذع الشجرة.

نوع: محتوى تعليمي

بسّط كل عبارة مما يأتي:

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f^(-1/4) / (4f^(1/2) ⋅ f^(1/3))

39

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8^(5/2) / (8^(1/2) + 2)

40

نوع: QUESTION_HOMEWORK

c^(2/3) / c^(1/6)

41

نوع: QUESTION_HOMEWORK

root(3)(23) ⋅ root(3)(23^2)

42

نوع: QUESTION_HOMEWORK

root(4)(81)

43

نوع: QUESTION_HOMEWORK

root(4)(256)

44

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(xy) / root(3)(z)

45

نوع: QUESTION_HOMEWORK

(8^(1/6) - 9^(1/4)) / (root(3)(3) + root(2)(2))

46

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذا السؤال الدالتين: f(x) = x^3, g(x) = x^(1/3)

نوع: METADATA

وزارة التعليم 213 الدرس 4-6 الأسس النسبية 2023 - 1447

🔍 عناصر مرئية

An image showing two basketballs. One is slightly larger than the other. The larger basketball has a volume of 455 cubic inches, and the smaller basketball has a volume of 413 cubic inches.

A diagram of a triangle with its base and height labeled using algebraic expressions.

A diagram of a circle with its radius labeled using an algebraic expression.

An image of a gazelle in mid-leap, running across a grassy field. The gazelle is light brown with white underparts and dark markings on its face and legs.

A table with three columns for x, f(x), and g(x) values. The x-column is pre-filled, while the f(x) and g(x) columns are empty, intended to be completed.

📄 النص الكامل للصفحة

مثال 3

كرة سلة: يوجد حجمان لكرة السلة، حجم كبير وآخر صغير، كما في الصورة جانباً. فإذا كان نصف قطر الكرة r التي تسع V وحدة مكعبة من الهواء يُعبّر عنه بالعلاقة r = (3V / 4π)^(1/3) ، فأجب عما يأتي:

المثالان 4, 5

بسّط كل عبارة مما يأتي:

x^(1/3) ⋅ x^(2/5)

y^(-4/5)

root(8)(81) / root(3)(3)

root(4)(25x^2)

(x^(1/4) + 2) / (x^(1/4) - 2)

هندسة: أوجد مساحة كل شكل فيما يأتي:

أوجد مساحة المثلث الموضح.

أوجد مساحة الدائرة الموضحة.

ما أبسط صورة للعبارة 32^(1/2) + 18^(1/2) - 2^(1/2)؟

بسّط كل عبارة مما يأتي:

a^(7/4) ⋅ a^(5/4)

(y^(-3/5))^(1/4)

root(4)(216)

w^(-7/8)

محميات: إذا افترضنا أن عدد الغزلان يتضاعف في المحميات الطبيعية كل سنتين. فإذا كان في المحمية 100 غزال، وكان عدد الغزلان D بعد t من السنوات يُعبّر عنه بالصيغة D = 100 ⋅ 2^(t/2) ، فأجب عما يأتي:

الربط مع الحياة: الطريقة الأكثر دقة لتحديد عمر بعض أنواع الغزلان هي النظر إلى مقطع عرضي لإحدى أسنانه، حيث تنمو كل فصل شتاء طبقة كلسية تكسو السن على شكل حلقة، وكل حلقة تمثل سنة كما هو الحال في حلقات جذع الشجرة.

بسّط كل عبارة مما يأتي:

f^(-1/4) / (4f^(1/2) ⋅ f^(1/3))

8^(5/2) / (8^(1/2) + 2)

c^(2/3) / c^(1/6)

root(3)(23) ⋅ root(3)(23^2)

root(4)(81)

root(4)(256)

(xy) / root(3)(z)

(8^(1/6) - 9^(1/4)) / (root(3)(3) + root(2)(2))

تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذا السؤال الدالتين: f(x) = x^3, g(x) = x^(1/3)

وزارة التعليم 213 الدرس 4-6 الأسس النسبية 2023 - 1447

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما خطوات تبسيط عبارة تحتوي على قسمة أساسات متشابهة ذات أسس نسبية، مثل ج^(٢/٣) ÷ ج^(١/٦)؟

أ) نقسم الأساسات المتشابهة بجمع الأسس.
ب) نقسم الأساسات المتشابهة بضرب الأسس.
ج) نقسم الأساسات المتشابهة بطرح الأسس.
د) نقسم الأساسات المتشابهة بقسمة الأسس.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نقسم الأساسات المتشابهة بطرح الأسس.

الشرح: عند قسمة تعبيرين لهما نفس الأساس وأسس نسبية، نستخدم القاعدة: أ^م ÷ أ^ن = أ^(م-ن). مثال: ج^(٢/٣) ÷ ج^(١/٦) = ج^(٢/٣ - ١/٦) = ج^(٤/٦ - ١/٦) = ج^(٣/٦) = ج^(١/٢).

تلميح: تذكر قاعدة قسمة القوى ذات الأساس المتساوي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما قاعدة ضرب الأساسات المتشابهة ذات الأسس النسبية (الكسور)؟

أ) نضرب الأساسات المتشابهة بجمع الأسس.
ب) نضرب الأساسات المتشابهة بطرح الأسس.
ج) نضرب الأساسات المتشابهة بضرب الأسس.
د) نضرب الأساسات المتشابهة بقسمة الأسس.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نضرب الأساسات المتشابهة بجمع الأسس.

الشرح: عند ضرب تعبيرين لهما نفس الأساس وأسس نسبية (كسور)، نستخدم القاعدة: أ^م × أ^ن = أ^(م+ن). مثال: س^(١/٣) × س^(٢/٥) = س^(١/٣ + ٢/٥) = س^(١١/١٥).

تلميح: تذكر قاعدة ضرب القوى ذات الأساس المتساوي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

كيف يتم تبسيط عبارة تحتوي على أس سالب نسبي، مثل ص^(-٤/٥)؟

أ) نترك الأس سالباً ونضرب الأساس في نفسه.
ب) نقلب الأساس ونغير إشارة الأس إلى موجبة.
ج) نطرح الأس من واحد.
د) نقسم الأساس على الأس.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نقلب الأساس ونغير إشارة الأس إلى موجبة.

الشرح: لتبسيط تعبير ذي أس سالب نسبي، نستخدم القاعدة: أ^(-ن) = ١/(أ^ن). مثال: ص^(-٤/٥) = ١/(ص^(٤/٥)).

تلميح: تذكر قاعدة الأس السالب.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كان عدد الغزلان D بعد t من السنوات يُعبّر عنه بالصيغة D = ١٠٠ ⋅ ٢^(t/2)، فماذا يمثل العدد ٢ في هذه الصيغة؟

أ) العدد الابتدائي للغزلان.
ب) عدد السنوات.
ج) معدل التضاعف (عامل النمو).
د) نصف عدد السنوات.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: معدل التضاعف (عامل النمو).

الشرح: الصيغة D = ١٠٠ ⋅ ٢^(t/2) تصف نمواً أسيّاً. الأساس ٢ يمثل عامل التضاعف، حيث يتضاعف عدد الغزلان (من ١٠٠) كلما زاد الأس (t/2) بمقدار ١ (أي كل سنتين).

تلميح: ما الذي يحدث للعدد ١٠٠ في الصيغة مع مرور الزمن؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب