حل المعادلات والمتباينات الجذرية - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 حل المعادلات والمتباينات الجذرية

المفاهيم الأساسية

المعادلة الجذرية: معادلة تحتوي على عبارات جذرية يكون المتغير فيها تحت الجذر.

الحل الدخيل: حل قد ينتج عن عملية الحل ولكنه لا يحقق المعادلة الأصلية.

المتباينة الجذرية: متباينة تحتوي على عبارات جذرية.

خريطة المفاهيم

```markmap

العبارات الجذرية والأسية

إرشادات للدراسة

قاعدة التبسيط

• اكتب الناتج النهائي بنفس صورة البداية
• إذا بدأت بعبارة جذرية → الناتج جذري
• إذا بدأت بعبارة أسي → الناتج أسي

ملخص المفاهيم

أبسط صورة للأسس النسبية

• جميع الأسس غير سالبة
• الأسس في المقام أعداد صحيحة موجبة
• لا يحتوي البسط أو المقام على كسور
• دليل الجذر المتبقي أصغر ما يمكن

التحويل بين الصورتين

من أسي إلى جذري

• \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

من جذري إلى أسي

• \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)

خصائص العمليات

خاصية قسمة قوتين

• \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

حل المعادلات والمتباينات الجذرية

حل المعادلات الجذرية

• الخطوة 1: اجعل الجذر في طرف واحد.
• الخطوة 2: ارفع طرفي المعادلة لقوة مساوية لدليل الجذر.
• الخطوة 3: حل معادلة كثيرة الحدود الناتجة، ثم تحقق من صحة الحل.

الحل الدخيل

• حل قد ينتج عن عملية الحج ولكنه لا يحقق المعادلة الأصلية.

المتباينة الجذرية

• متباينة تحتوي على عبارات جذرية.

تطبيقات عملية

كرة السلة

• حساب نصف القطر من الحجم باستخدام الصيغة الأسية

مساحة الأشكال

• مساحة المثلث: أبعاده بدلالة أسس نسبية
• مساحة الدائرة: نصف قطرها بدلالة أسس نسبية

النمو الأسي

• نموذج النمو: \( D = 100 \cdot 2^{t/2} \)

تحليل الدوال

• مقارنة الدالتين \( f(x) = x^3 \) و \( g(x) = x^{1/3} \)

زمن التحليق

• إيجاد زمن التحليق t بالثواني من ارتفاع القفزة h بالأقدام باستعمال الصيغة: t = 0.5\sqrt{h}

مسائل مهارات التفكير العليا

تبرير صحة المعادلات

• تحديد إذا كانت المعادلة صحيحة دائماً، أحياناً، أو أبداً

اكتشاف الخطأ في التبسيط

• تحليل خطوات تبسيط تعبيرات كسرية

إنشاء تعبيرات أسية

• إيجاد عبارتين مختلفتين على الصورة \( x^a \) لهما نفس القيمة

مقارنة الأدوات الرياضية

• توضيح سهولة استعمال الأسس النسبية مقارنة بالجذور

مراجعة تراكمية

تبسيط العبارات الجذرية

• تبسيط جذور الأعداد (مثل \( \sqrt{243} \))
• تبسيط جذور المتغيرات (مثل \( \sqrt{16y^3} \))
• تبسيط الجذور التكعيبية (مثل \( \sqrt[3]{56y^6z^3} \))

تطبيقات فيزيائية

• حساب سرعة الصوت في سائل باستخدام الصيغة \( s = \sqrt{\frac{B}{d}} \)

```

نقاط مهمة

• يمكن حل المعادلات الجذرية عن طريق رفع طرفي المعادلة لأس معين للتخلص من الجذر.
• يجب دائماً التحقق من صحة الحلول بعد حلها، لأن بعضها قد يكون حلاً دخيلاً.
• مثال تطبيقي: يمكن حساب زمن تحليق لاعب كرة السلة (t) إذا علم ارتفاع قفزته (h) باستخدام الصيغة t = 0.5\sqrt{h} .

حل المعادلات والمتباينات الجذرية Solving Radical Equations and Inequalities

فيما سبق درست حل معادلات كثيرات الحدود. (مهارة سابقة )

لماذا ؟ عندما تقفز إلى الأعلى فإنك ترتفع عن الأرض وتبقى زمنا معينا في الهواء يُسمى زمن التحليق. ويمكنك إيجاد زمن التحليق t بالثواني إذا علمت ارتفاع القفزة h بالأقدام، وذلك باستعمال الصيغة t = 0.5√h. إذا علم أن زمن تحليق أحد لاعبي كرة السلة 0.98 ثانية تقريبًا، فكيف يمكنك حساب ارتفاع قفزته؟

والآن أحل معادلات تحتوي جذورا. أحل متباينات تحتوي جذورا.

المفردات المعادلة الجذرية radical equation الحل الدخيل extraneous solution المتباينة الجذرية radical inequality

حل المعادلات الجذرية تحتوي المعادلات الجذرية على عبارات جذرية يكون المتغير فيها تحت الجذر. ويمكنك حلها عن طريق رفع طرفي المعادلة لأس معين.

مفهوم أساسي حل المعادلات الجذرية الخطوة 1: اجعل الجذر في طرف واحد من المعادلة. الخطوة 2 : ارفع طرفي المعادلة لقوة مساوية لدليل الجذر؛ وذلك للتخلص من الجذر. الخطوة 3: حل معادلة كثيرة الحدود الناتجة، ثم تحقق من صحة الحل.

عند حل بعض المعادلات الجذرية، قد لا يحقق الحل المعادلة الأصلية. ويُسمى مثل هذا الحل حلا دخيلا.

مثال 1 حل معادلات جذرية

حل كل معادلة مما يأتي: المعادلة الأصلية اطرح 4 من الطرفين لفصل الجذر ربع الطرفين للتخلص من الجذر أوجد مربع الطرفين اطرح 2 من الطرفين

المعادلة الأصلية عوض عن x بالعدد 7 بسط

المعادلة الأصلية ربع الطرفين أوجد مربع الطرفين اطرح 4 + x من الطرفين لفصل الجذر . اقسم الطرفين على 4 ربع الطرفين

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

أضف إلى مطويتك

وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 7-4 حل المعادلات والمتباينات الجذرية 215 1447-2023

حل المعادلات والمتباينات الجذرية Solving Radical Equations and Inequalities --- SECTION: فيما سبق --- فيما سبق درست حل معادلات كثيرات الحدود. (مهارة سابقة ) --- SECTION: لماذا ؟ --- لماذا ؟ عندما تقفز إلى الأعلى فإنك ترتفع عن الأرض وتبقى زمنا معينا في الهواء يُسمى زمن التحليق. ويمكنك إيجاد زمن التحليق t بالثواني إذا علمت ارتفاع القفزة h بالأقدام، وذلك باستعمال الصيغة t = 0.5√h. إذا علم أن زمن تحليق أحد لاعبي كرة السلة 0.98 ثانية تقريبًا، فكيف يمكنك حساب ارتفاع قفزته؟ --- SECTION: والآن --- والآن أحل معادلات تحتوي جذورا. أحل متباينات تحتوي جذورا. --- SECTION: المفردات --- المفردات المعادلة الجذرية radical equation الحل الدخيل extraneous solution المتباينة الجذرية radical inequality --- SECTION: حل المعادلات الجذرية --- حل المعادلات الجذرية تحتوي المعادلات الجذرية على عبارات جذرية يكون المتغير فيها تحت الجذر. ويمكنك حلها عن طريق رفع طرفي المعادلة لأس معين. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي حل المعادلات الجذرية الخطوة 1: اجعل الجذر في طرف واحد من المعادلة. الخطوة 2 : ارفع طرفي المعادلة لقوة مساوية لدليل الجذر؛ وذلك للتخلص من الجذر. الخطوة 3: حل معادلة كثيرة الحدود الناتجة، ثم تحقق من صحة الحل. عند حل بعض المعادلات الجذرية، قد لا يحقق الحل المعادلة الأصلية. ويُسمى مثل هذا الحل حلا دخيلا. --- SECTION: مثال 1 حل معادلات جذرية --- مثال 1 حل معادلات جذرية حل كل معادلة مما يأتي: المعادلة الأصلية اطرح 4 من الطرفين لفصل الجذر ربع الطرفين للتخلص من الجذر أوجد مربع الطرفين اطرح 2 من الطرفين a. √x + 2 + 4 = 7 √x + 2 + 4 = 7 √x + 2 = 3 (√x + 2)2 = 32 x+2=9 x = 7 المعادلة الأصلية عوض عن x بالعدد 7 بسط تحقق: √x+2+4=7 √7+2+4=7 √7=7 المعادلة الأصلية ربع الطرفين أوجد مربع الطرفين اطرح 4 + x من الطرفين لفصل الجذر . اقسم الطرفين على 4 ربع الطرفين b. √x - 12 = 2√x √x - 12 = 2 - √x (√x - 12)2 = (2 - √x)² x-12=4-4√x + x -16 = -4√x 4 = √x 16 = x رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa أضف إلى مطويتك وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 7-4 حل المعادلات والمتباينات الجذرية 215 1447-2023