إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 7: استعمل دالة مثلثية لإيجاد قيمة x. مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. (7) [Diagram: right triangle, angle 23°, hypotenuse 8, opposite side x]

الإجابة: $x \approx 13.6$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مثلث قائم الزاوية. - الزاوية المعطاة: 23° - الوتر: 8 - الضلع المقابل للزاوية: x
2. **الخطوة 2 (القانون):** نبحث عن علاقة تربط بين الزاوية، الضلع المقابل، والوتر. هذه العلاقة هي دالة الجيب (sin). $$sin(\theta) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}$$ إذن، $$sin(23^\circ) = \frac{x}{8}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** لإيجاد x، نضرب طرفي المعادلة في 8: $$x = 8 \times sin(23^\circ)$$ باستخدام الآلة الحاسبة: $$x \approx 8 \times 0.3907$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي تقريبًا **13.6**

سؤال 8: استعمل دالة مثلثية لإيجاد قيمة x. مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. (8) [Diagram: right triangle, angle 34°, hypotenuse 15, opposite side x, adjacent side y]

الإجابة: $x \approx 18.5, y \approx 7$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مثلث قائم الزاوية. - الزاوية المعطاة: 34° - الوتر: 15 - الضلع المقابل للزاوية: x - الضلع المجاور للزاوية: y
2. **الخطوة 2 (القانون):** لإيجاد x (الضلع المقابل)، نستخدم دالة الجيب (sin): $$sin(\theta) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}$$ $$sin(34^\circ) = \frac{x}{15}$$ لإيجاد y (الضلع المجاور)، نستخدم دالة جيب التمام (cos): $$cos(\theta) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}}$$ $$cos(34^\circ) = \frac{y}{15}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** لحساب x: $$x = 15 \times sin(34^\circ) \approx 15 \times 0.5592 \approx 8.388$$ (يبدو أن الإجابة المعطاة خاطئة، سأكمل الحل بناءً على المعطيات) لحساب y: $$y = 15 \times cos(34^\circ) \approx 15 \times 0.8290 \approx 12.435$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي تقريبًا **8.4** وقيمة y هي تقريبًا **12.4** (مع الأخذ في الاعتبار أن الإجابة المعطاة في السؤال قد تكون خاطئة أو أن هناك خطأ في فهم الرسم التوضيحي).

سؤال 9: استعمل دالة مثلثية لإيجاد قيمة x. مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. (9) [Diagram: right triangle, angle 65°, hypotenuse 36, opposite side x, adjacent side y]

الإجابة: $x \approx 65.4, y \approx 36$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مثلث قائم الزاوية. - الزاوية المعطاة: 65° - الوتر: 36 - الضلع المقابل للزاوية: x - الضلع المجاور للزاوية: y
2. **الخطوة 2 (القانون):** لإيجاد x (الضلع المقابل)، نستخدم دالة الجيب (sin): $$sin(\theta) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}$$ $$sin(65^\circ) = \frac{x}{36}$$ لإيجاد y (الضلع المجاور)، نستخدم دالة جيب التمام (cos): $$cos(\theta) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}}$$ $$cos(65^\circ) = \frac{y}{36}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** لحساب x: $$x = 36 \times sin(65^\circ) \approx 36 \times 0.9063 \approx 32.6268$$ (يبدو أن الإجابة المعطاة خاطئة، سأكمل الحل بناءً على المعطيات) لحساب y: $$y = 36 \times cos(65^\circ) \approx 36 \times 0.4226 \approx 15.2136$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي تقريبًا **32.6** وقيمة y هي تقريبًا **15.2** (مع الأخذ في الاعتبار أن الإجابة المعطاة في السؤال قد تكون خاطئة أو أن هناك خطأ في فهم الرسم التوضيحي).

سؤال 10: استعمل دالة مثلثية لإيجاد قيمة x. مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. (10) [Diagram: right triangle, angle 30°, adjacent side 10, opposite side x]

الإجابة: $x \approx 46.7$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مثلث قائم الزاوية. - الزاوية المعطاة: 30° - الضلع المجاور للزاوية: 10 - الضلع المقابل للزاوية: x
2. **الخطوة 2 (القانون):** نبحث عن علاقة تربط بين الزاوية، الضلع المقابل، والضلع المجاور. هذه العلاقة هي دالة الظل (tan). $$tan(\theta) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}}$$ إذن، $$tan(30^\circ) = \frac{x}{10}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** لإيجاد x، نضرب طرفي المعادلة في 10: $$x = 10 \times tan(30^\circ)$$ باستخدام الآلة الحاسبة: $$x \approx 10 \times 0.57735$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي تقريبًا **5.8** (يبدو أن الإجابة المعطاة خاطئة، سأكمل الحل بناءً على المعطيات).

سؤال 11: تزلج: ترتفع موثأة شاحنة بمقدار ٤٥ عن سطح الأرض. إذا كان سطح التزلج يبلغ طوله ٨.٨ أقدام، فما ارتفاع الموثأة عن سطح الأرض؟

الإجابة: $x \approx 8.8 \text{ ft}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا موقف يتعلق بموثأة شاحنة وسطح تزلج. - زاوية ميل سطح التزلج عن الأرض: 45° - طول سطح التزلج: 8.8 أقدام - المطلوب: ارتفاع الموثأة عن سطح الأرض (وهو الضلع المقابل للزاوية في مثلث قائم الزاوية).
2. **الخطوة 2 (القانون):** نحن نبحث عن الضلع المقابل للزاوية، ولدينا الوتر (طول سطح التزلج). العلاقة التي تربط بين الزاوية، الضلع المقابل، والوتر هي دالة الجيب (sin). $$sin(\theta) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}$$ $$sin(45^\circ) = \frac{\text{الارتفاع}}{8.8}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** لإيجاد الارتفاع، نضرب طرفي المعادلة في 8.8: $$الارتفاع = 8.8 \times sin(45^\circ)$$ نعلم أن $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$ $$الارتفاع \approx 8.8 \times 0.7071$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن ارتفاع الموثأة عن سطح الأرض هو تقريبًا **6.22 ft** (يبدو أن الإجابة المعطاة خاطئة).

سؤال 12: أوجد قيمة x، مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. (12) [Diagram: right triangle, opposite side 15, adjacent side 21, angle x]

الإجابة: $x \approx 35.5^\circ$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مثلث قائم الزاوية. - الضلع المقابل للزاوية x: 15 - الضلع المجاور للزاوية x: 21 - المطلوب: قياس الزاوية x.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نحن نبحث عن الزاوية، ولدينا الضلع المقابل والضلع المجاور لها. العلاقة التي تربط بين الزاوية والضلعين هي دالة الظل (tan). $$tan(x) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}}$$ $$tan(x) = \frac{15}{21}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** لإيجاد الزاوية x، نستخدم الدالة العكسية للظل (arctan أو tan⁻¹): $$x = arctan\left(\frac{15}{21}\right)$$ باستخدام الآلة الحاسبة: $$x \approx arctan(0.71428)$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية x هو تقريبًا **35.5°**

سؤال 13: حول القياس بالدرجات إلى راديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي. (13) 215°

الإجابة: $\frac{43\pi}{36}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** للتحويل من الدرجات إلى الراديان، نضرب في $\frac{\pi}{180}$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا 215 درجة. نضربها في معامل التحويل: $$215^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}$$
3. **الخطوة 3 (التبسيط والنتيجة):** نختصر الكسر: $$ \frac{215\pi}{180} = \frac{43 \times 5 \pi}{36 \times 5} = \frac{43\pi}{36} $$ إذن، 215 درجة تساوي **$\frac{43\pi}{36}$ راديان**.

سؤال 14: حول القياس بالدرجات إلى راديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي. (14) $-3\pi$

الإجابة: $-540^\circ$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** للتحويل من الراديان إلى الدرجات، نضرب في $\frac{180}{\pi}$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا $-3\pi$ راديان. نضربها في معامل التحويل: $$-3\pi \times \frac{180^\circ}{\pi}$$
3. **الخطوة 3 (التبسيط والنتيجة):** نختصر $\pi$: $$-3 \times 180^\circ = -540^\circ$$ إذن، $-3\pi$ راديان يساوي **$-540^\circ$**.

سؤال 15: حول القياس بالدرجات إلى راديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي. (15) $-\frac{7\pi}{4}$

الإجابة: $-315^\circ$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** للتحويل من الراديان إلى الدرجات، نضرب في $\frac{180}{\pi}$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا $-\frac{7\pi}{4}$ راديان. نضربها في معامل التحويل: $$-\frac{7\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi}$$
3. **الخطوة 3 (التبسيط والنتيجة):** نختصر $\pi$ ونبسط الكسر: $$-\frac{7}{4} \times 180^\circ = -7 \times \frac{180}{4}^\circ = -7 \times 45^\circ = -315^\circ$$ إذن، $-\frac{7\pi}{4}$ راديان يساوي **$-315^\circ$**.

سؤال 16: حول القياس بالدرجات إلى راديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي. (16) $-\frac{53\pi}{36}$

الإجابة: $-265^\circ$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** للتحويل من الراديان إلى الدرجات، نضرب في $\frac{180}{\pi}$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا $-\frac{53\pi}{36}$ راديان. نضربها في معامل التحويل: $$-\frac{53\pi}{36} \times \frac{180^\circ}{\pi}$$
3. **الخطوة 3 (التبسيط والنتيجة):** نختصر $\pi$ ونبسط الكسر: $$-\frac{53}{36} \times 180^\circ = -53 \times \frac{180}{36}^\circ = -53 \times 5^\circ = -265^\circ$$ إذن، $-\frac{53\pi}{36}$ راديان يساوي **$-265^\circ$**.

سؤال 17: حول القياس بالدرجات إلى راديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي. (17) 110°

الإجابة: $\frac{11\pi}{18}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** للتحويل من الدرجات إلى الراديان، نضرب في $\frac{\pi}{180}$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا 110 درجة. نضربها في معامل التحويل: $$110^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}$$
3. **الخطوة 3 (التبسيط والنتيجة):** نختصر الكسر: $$ \frac{110\pi}{180} = \frac{11 \times 10 \pi}{18 \times 10} = \frac{11\pi}{18} $$ إذن، 110 درجة تساوي **$\frac{11\pi}{18}$ راديان**.

سؤال 18: حول القياس بالدرجات إلى راديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي. (18) 29°

الإجابة: $\frac{29\pi}{180}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** للتحويل من الدرجات إلى الراديان، نضرب في $\frac{\pi}{180}$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا 29 درجة. نضربها في معامل التحويل: $$29^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}$$
3. **الخطوة 3 (التبسيط والنتيجة):** لا يمكن تبسيط الكسر أكثر من ذلك. $$ \frac{29\pi}{180} $$ إذن، 29 درجة تساوي **$\frac{29\pi}{180}$ راديان**.

سؤال 19: دراجة هوائية: أطلق دراجة هوائية يدور إطارها ٨ دورات في الدقيقة. إذا كان طول نصف قطر إطارها ١٥ إنش، فأوجد قياس الزاوية ٥ التي يدورها الإطار في ثانية واحدة بالراديان.

الإجابة: $\frac{4\pi}{15} \text{ rad}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - عدد الدورات في الدقيقة: 8 دورات/دقيقة - نصف قطر الإطار: 15 إنش - المطلوب: قياس الزاوية التي يدورها الإطار في ثانية واحدة بالراديان.
2. **الخطوة 2 (الحسابات الأولية):** أولاً، نحول عدد الدورات من الدقيقة إلى الثانية: $$8 \text{ دورة/دقيقة} \times \frac{1 \text{ دقيقة}}{60 \text{ ثانية}} = \frac{8}{60} \text{ دورة/ثانية} = \frac{2}{15} \text{ دورة/ثانية}$$
3. **الخطوة 3 (التحويل إلى راديان):** نعلم أن الدورة الواحدة تساوي $2\pi$ راديان. إذن، قياس الزاوية في الثانية الواحدة هو: $$ \frac{2}{15} \text{ دورة/ثانية} \times 2\pi \text{ راديان/دورة} $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** $$ \frac{2 \times 2\pi}{15} = \frac{4\pi}{15} \text{ راديان/ثانية} $$ إذن، قياس الزاوية التي يدورها الإطار في ثانية واحدة هو **$\frac{4\pi}{15}$ راديان**.

سؤال 20: أوجد قياس الزاوية المشتركة بالدرجات إلى القياس بالراديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي. (20) 160°

الإجابة: $rad = \frac{8\pi}{9}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** للتحويل من الدرجات إلى الراديان، نضرب في $\frac{\pi}{180}$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا 160 درجة. نضربها في معامل التحويل: $$160^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}$$
3. **الخطوة 3 (التبسيط والنتيجة):** نختصر الكسر: $$ \frac{160\pi}{180} = \frac{16 \times 10 \pi}{18 \times 10} = \frac{16\pi}{18} = \frac{8\pi}{9} $$ إذن، 160 درجة تساوي **$\frac{8\pi}{9}$ راديان**.

سؤال 21: أوجد قياس الزاوية المشتركة بالدرجات إلى القياس بالراديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي. (21) ضع الاتجاه مع الزاوية 150°.

الإجابة: $510^\circ$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد زاوية مكافئة بالاتجاه نفسه، نضيف أو نطرح مضاعفات 360 درجة (أو $2\pi$ راديان) من الزاوية الأصلية.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا زاوية 150 درجة. نريد إيجاد زاوية مكافئة لها بالاتجاه نفسه. يمكننا إضافة 360 درجة: $$150^\circ + 360^\circ$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** $$150^\circ + 360^\circ = 510^\circ$$ إذن، الزاوية المكافئة هي **$510^\circ$**.

سؤال 22: أوجد قياس الزاوية المشتركة بالدرجات إلى القياس بالراديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي. (22) ضع الاتجاه مع الزاوية 150°.

الإجابة: $-210^\circ$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد زاوية مكافئة بالاتجاه نفسه، نضيف أو نطرح مضاعفات 360 درجة (أو $2\pi$ راديان) من الزاوية الأصلية.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا زاوية 150 درجة. نريد إيجاد زاوية مكافئة لها بالاتجاه نفسه. يمكننا طرح 360 درجة: $$150^\circ - 360^\circ$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** $$150^\circ - 360^\circ = -210^\circ$$ إذن، الزاوية المكافئة هي **$-210^\circ$**.

ما الخطوة الأولى لحل معادلة تحتوي على جذر تكعيبي مثل 2(6x – 3)⅓ – 4 = 0؟

• أ) رفع طرفي المعادلة للأس 3 مباشرة.
• ب) عزل الحد الذي يحتوي على الجذر التكعيبي في طرف لوحده.
• ج) جمع الحدود المتشابهة في طرفي المعادلة.
• د) تحويل الجذر التكعيبي إلى جذر تربيعي.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: عزل الحد الذي يحتوي على الجذر التكعيبي في طرف لوحده.

الشرح: 1. الخطوة الأولى هي جعل المقدار المرفوع للأس (الجذر التكعيبي) في طرف لوحده. 2. في المثال: 2(6x – 3)⅓ – 4 = 0، نبدأ بإضافة 4 للطرفين للحصول على 2(6x – 3)⅓ = 4. 3. ثم نقسم على 2 لعزل الجذر التكعيبي: (6x - 3)⅓ = 2.

تلميح: فكر في كيفية التخلص من الثوابت المرافقة للجذر قبل التعامل مع الأس.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

بعد عزل الجذر التكعيبي في معادلة مثل (6x - 3)⅓ = 2، ما الخطوة التالية لحل قيمة x؟

• أ) أخذ الجذر التربيعي للطرفين.
• ب) طرح 3 من الطرفين.
• ج) رفع طرفي المعادلة للأس 3 (أي تكعيب الطرفين).
• د) قسمة الطرفين على 6.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: رفع طرفي المعادلة للأس 3 (أي تكعيب الطرفين).

الشرح: 1. بعد عزل الجذر التكعيبي: (6x - 3)⅓ = 2. 2. الخطوة التالية هي رفع طرفي المعادلة للأس 3 للتخلص من الجذر: [(6x – 3)⅓]³ = 2³. 3. هذا يعطينا: 6x - 3 = 8. 4. ثم نحل المعادلة الخطية الناتجة.

تلميح: تذكر أن رفع الجذر التكعيبي للأس 3 يلغي الجذر.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

عند حل المعادلة الجذرية √x - 12 = 2 - √x، تم التحقق بالتعويض بـ x=16 فنتج √16 - 12 = 2 - √16، أي 4-12 = 2-4، فكانت النتيجة 2 = -2. ماذا نستنتج عن الحل؟

• أ) الحل صحيح ولكن تمت كتابته بشكل خاطئ.
• ب) الحل دخيل (ليس حلًا حقيقيًا للمعادلة الأصلية).
• ج) يجب إعادة الحساب لأن الجذر التربيعي لـ 16 هو -4 فقط.
• د) المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الحل دخيل (ليس حلًا حقيقيًا للمعادلة الأصلية).

الشرح: 1. عند التحقق من حل معادلة جذرية، نعوض بالقيمة في المعادلة الأصلية. 2. إذا لم تتحقق المساواة (كما في المثال: 2 ≠ -2)، فهذا يعني أن القيمة التي حصلنا عليها هي حل للمعادلة بعد التربيع ولكنها لا تحقق المعادلة الأصلية. 3. يسمى هذا النوع من الحلول 'حل دخيل' أو 'حل زائف'.

تلميح: انظر إلى نتيجة التحقق: هل تحققت المساواة؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الفرق الأساسي في خطوات الحل بين معادلة تحتوي على جذر تربيعي وأخرى تحتوي على جذر تكعيبي؟

• أ) لا يوجد فرق، كلاهما يحل بنفس الطريقة.
• ب) في الجذر التربيعي نضيف ثم نطرح، وفي التكعيبي نضرب ثم نقسم.
• ج) للتخلص من الجذر التربيعي نربع الطرفين، وللتخلص من الجذر التكعيبي نكعب الطرفين.
• د) معادلات الجذر التربيعي فقط هي التي قد تنتج حلولاً دخيلة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: للتخلص من الجذر التربيعي نربع الطرفين، وللتخلص من الجذر التكعيبي نكعب الطرفين.

الشرح: 1. الجذر التربيعي (√) يمثل الأس 1/2. لإلغائه، نرفع الطرفين للأس 2 (التربيع). 2. الجذر التكعيبي (⅓) يمثل الأس 1/3. لإلغائه، نرفع الطرفين للأس 3 (التكعيب). 3. الخطوة الأولى المشتركة هي عزل الحد الجذري قبل رفع الطرفين للأس المناسب.

تلميح: اربط بين نوع الجذر (الأس) والقوة المطلوبة لإلغائه.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: متوسط