مثال 1 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تدرب وحل المسائل (صفحة 219)

المفاهيم الأساسية

المعادلات الجذرية: معادلات تحتوي على متغير داخل جذر.

المتباينات الجذرية: متباينات تحتوي على متغير داخل جذر.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المعادلات الجذرية والتحقق من الحلول

التحقق من الحل

باستخدام الحاسبة البيانية

• مثل كل طرف من المعادلة الأصلية بيانياً
• ابحث عن نقاط التقاطع

التحقق الجبري

• التعويض بالحل في المعادلة الأصلية
• التأكد من تحقيق المساواة

حل المعادلات الجذرية

معادلات الجذر التربيعي

• مثال: \sqrt{x} - 12 = 2 - \sqrt{x}
• قد لا يكون لها حل حقيقي

معادلات الجذر التكعيبي

• مثال: 2(6x - 3)^{\frac{1}{3}} - 4 = 0
• خطوات الحل:

- عزل العبارة الجذرية

- رفع الطرفين للأس 3

- حل المعادلة الناتجة

- التحقق من الحل

طرق التخلص من الجذور

الجذر التربيعي

• ارفع العبارة الجذرية للأس 2

الجذر التكعيبي

• ارفع العبارة الجذرية للأس 3

الجذر النوني (أي دليل)

• ارفع العبارة الجذرية للأس (ن)

حل المتباينات الجذرية

الخطوات

• الخطوة 1: إذا كان دليل الجذر زوجياً، عيّن قيم المتغير التي لا تجعل ما تحت الجذر سالباً.
• الخطوة 2: حل المتباينة جبرياً.
• الخطوة 3: حدد حل المتباينة من الخطوتين السابقتين، ثم اختبر القيم.

التحقق من الحل

• اختبار ثلاث قيم: أقل من الحد الأدنى، بين الحدين، وأكبر من الحد الأعلى.
• تنظيم النتائج في جدول.
• مثال من الصفحة:

- حل المتباينة هو 2 \le x \le 7

- القيم في الفترة 2 \le x \le 7 فقط هي التي تحقق المتباينة.

تطبيقات عملية

فيزياء (زمن السقوط)

• الصيغة: h = \frac{1}{4} \sqrt{d}
• تمثل الزمن (t) اللازم لوصول جسم إلى ارتفاع (h) إذا سقط من مسافة (d).

فيزياء (زمن البندول)

• الصيغة: T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{32}}
• تمثل الزمن الدوري للبندول حيث (L) طوله.

أحياء (طول وكتلة السمكة)

• العلاقة: L = 0.46 \sqrt{M}
• حيث (L) الطول بالأمتار، (M) الكتلة بالكيلوجرامات.

رياضة (رفع الأثقال)

• الصيغة: M = 512 - 146 \sqrt{230B}
• لتقدير أقصى كتلة (M) يمكن لرافع أثقال كتلته (B) رفعها.

```

نقاط مهمة

• تحتوي الصفحة على أربعة أمثلة رئيسية: حل معادلات جذرية، حل معادلات ذات جذور تكعيبية، اختيار من متعدد، وحل متباينات جذرية.
• تتراوح تمارين المعادلات من رقم 21 إلى 34.
• تتراوح تمارين المتباينات من رقم 35 إلى 40.
• هناك تطبيقات عملية للمعادلات الجذرية في الفيزياء (السقوط، البندول) والأحياء (الأسماك) والرياضة (رفع الأثقال).
• مسألة مهارات التفكير العليا (45) تتحدى الطالب في الحكم على وجود حل حقيقي لمعادلة جذرية.

حل كل معادلة مما يأتي:

6 + √3x + 1 = 11

√x + 6 = 5 - √x + 1

√x - 15 = 3 - √x

2 + √3y - 5 = 10

√7a - 2 = √a + 3

√b - 6 + √b = 3

فيزياء : تصف الصيغة : h = 1/4 √d الزمن t بالثواني اللازم لوصول جسم إلى الارتفاع h من سطح الأرض، إذا سقط مقذوف بدر d متر من سطح الأرض، فما ارتفاع المفاتيح عن سطح الأرض بالأمتار بعد مرور ثانيتين؟

حل كل معادلة مما يأتي:

(5n - 6) + 3 = 4

(6q + 1) + 2 = 5

(4z - 1) - 1 = 2

3(x + 5) - 6 = 0

√4n - 8 - 4 = 0

1/7 (14a) = 1

اختیار من متعدد : حل كل معادلة مما يأتي:

√y + 2 + 9 = 14

حل كل متباينة مما يأتي:

√2x + 14 - 6 ≥ 4

10 - √2x + 7 ≤ 3

6 + √3y + 4 < 6

√2y + 5 + 3 ≤ 6

-2 + √8 - 4z ≥ 8

-3 + √6a + 1 > 4

فيزياء : الصيغة : T = 2π √L/32 تمثل الزمن الدوري للبندول بالثواني، حيث L طول البندول الذي يستغرق 1.5 ثانية لإتمام دورته.

أسماك : يمكن تقريب العلاقة بين طول سمكة وكتلتها بالمعادلة : L = 0.46√M ، حيث L الطول بالأمتار، M الكتلة بالكيلوجرامات. حل هذه المعادلة بالنسبة للمتغير M.

زمن التحليق : عد إلى الفقرة الواردة في بداية الدرس، وصف كيف يرتبط ارتفاع القفزة بزمن التحليق. اكتب توضيحًا لكيفية تحديد ارتفاع قفزة زمن تحليقها 0.98 ثانية.

رفع الأثقال : يمكن استعمال الصيغة : M = 512 – 146230B ، لتقدير الكتلة العظمى M التي يستطيع رافع أثقال كتلته B كيلوجرام رفعها. استخدم هذه الصيغة في إيجاد كتلة رافع أثقال يستطيع رفع 470kg على الأكثر؟

مسائل مهارات التفكير العليا

تحد : قالت عائشة : إنه بإمكانها الحكم بعدم وجود حل حقيقي للمعادلة – 4 = (5 + x) ، وضح صحة قولها ؟

--- SECTION: مثال 1 --- حل كل معادلة مما يأتي: --- SECTION: 21 --- 6 + √3x + 1 = 11 --- SECTION: 22 --- √x + 6 = 5 - √x + 1 --- SECTION: 23 --- √x - 15 = 3 - √x --- SECTION: 24 --- 2 + √3y - 5 = 10 --- SECTION: 25 --- √7a - 2 = √a + 3 --- SECTION: 26 --- √b - 6 + √b = 3 فيزياء : تصف الصيغة : h = 1/4 √d الزمن t بالثواني اللازم لوصول جسم إلى الارتفاع h من سطح الأرض، إذا سقط مقذوف بدر d متر من سطح الأرض، فما ارتفاع المفاتيح عن سطح الأرض بالأمتار بعد مرور ثانيتين؟ --- SECTION: مثال 2 --- حل كل معادلة مما يأتي: --- SECTION: 28 --- (5n - 6) + 3 = 4 --- SECTION: 29 --- (6q + 1) + 2 = 5 --- SECTION: 30 --- (4z - 1) - 1 = 2 --- SECTION: 31 --- 3(x + 5) - 6 = 0 --- SECTION: 32 --- √4n - 8 - 4 = 0 --- SECTION: 33 --- 1/7 (14a) = 1 --- SECTION: مثال 3 --- اختیار من متعدد : حل كل معادلة مما يأتي: --- SECTION: 34 --- √y + 2 + 9 = 14 23 A 53 B 123 C 623 D --- SECTION: مثال 4 --- حل كل متباينة مما يأتي: --- SECTION: 35 --- √2x + 14 - 6 ≥ 4 --- SECTION: 36 --- 10 - √2x + 7 ≤ 3 --- SECTION: 37 --- 6 + √3y + 4 < 6 --- SECTION: 38 --- √2y + 5 + 3 ≤ 6 --- SECTION: 39 --- -2 + √8 - 4z ≥ 8 --- SECTION: 40 --- -3 + √6a + 1 > 4 فيزياء : الصيغة : T = 2π √L/32 تمثل الزمن الدوري للبندول بالثواني، حيث L طول البندول الذي يستغرق 1.5 ثانية لإتمام دورته. أسماك : يمكن تقريب العلاقة بين طول سمكة وكتلتها بالمعادلة : L = 0.46√M ، حيث L الطول بالأمتار، M الكتلة بالكيلوجرامات. حل هذه المعادلة بالنسبة للمتغير M. زمن التحليق : عد إلى الفقرة الواردة في بداية الدرس، وصف كيف يرتبط ارتفاع القفزة بزمن التحليق. اكتب توضيحًا لكيفية تحديد ارتفاع قفزة زمن تحليقها 0.98 ثانية. رفع الأثقال : يمكن استعمال الصيغة : M = 512 – 146230B ، لتقدير الكتلة العظمى M التي يستطيع رافع أثقال كتلته B كيلوجرام رفعها. استخدم هذه الصيغة في إيجاد كتلة رافع أثقال يستطيع رفع 470kg على الأكثر؟ --- SECTION: العليا --- مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 45 --- تحد : قالت عائشة : إنه بإمكانها الحكم بعدم وجود حل حقيقي للمعادلة – 4 = (5 + x) ، وضح صحة قولها ؟