صفحة 222 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 حل المتباينات الجذرية بيانياً (مثال 2)

المفاهيم الأساسية

المتباينة الجذرية: متباينة تحتوي على عبارة جذرية.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المعادلات الجذرية والتحقق من الحلول

حل المتباينات الجذرية

الخطوات

  • الخطوة 1: إذا كان دليل الجذر زوجياً، عيّن قيم المتغير التي لا تجعل ما تحت الجذر سالباً.
  • الخطوة 2: حل المتباينة جبرياً.
  • الخطوة 3: حدد حل المتباينة من الخطوتين السابقتين، ثم اختبر القيم.

التحقق من الحل

  • اختبار ثلاث قيم: أقل من الحد الأدنى، بين الحدين، وأكبر من الحد الأعلى.
  • تنظيم النتائج في جدول.
  • مثال من الصفحة:

- حل المتباينة هو 2 \le x \le 7

- القيم في الفترة 2 \le x \le 7 فقط هي التي تحقق المتباينة.

حل المعادلات والمتباينات باستخدام الحاسبة البيانية (TI-nspire)

الهدف

  • استعمال الحاسبة البيانية لحل معادلات ومتباينات جذرية.

الطريقة

  • إعادة كتابة المعادلة أو المتباينة بحيث يكون أحد طرفيها صفرًا.
  • استعمال ميزة التقاطع أو أصفار الدالة.

مثال: حل المعادلة 3 = 2 + \sqrt{x} + x

#### الخطوة 1: إعادة الكتابة

  • اطرح 3 من الطرفين: \sqrt{x} + x + 2 - 3 = 0

#### الخطوة 2: استعمال جدول لتقدير الحل

  • إنشاء جدول لقيم `x` والدالة y = x + \sqrt{x} + 2 - 3
  • ملاحظة تغير إشارة الدالة بين `x=1` و `x=2` لتحديد وجود حل بينهما.

#### الخطوة 3: استعمال ميزة أصفار الدالة

  • رسم الدالة f1(x) = \sqrt{x} + x + 2 - 3
  • استخدام أمر "أصفار الدالة" (Zero) لإيجاد نقطة تقاطع المنحنى مع المحور `x`.
  • الحل التقريبي هو `1.36`.

حل المتباينة 1 + 2\sqrt{x} > \sqrt{x + 2}

#### الخطوة 1: رسم طرفي المتباينة

  • تمثيل الطرف الأيسر: f1(x) = 2\sqrt{x}
  • تمثيل الطرف الأيمن: f2(x) = \sqrt{x + 2} + 1
  • النقاط على يسار نقطة التقاطع تحقق f2 < f1
  • النقاط على يمين نقطة التقاطع تحقق f2 > f1 (وهو شرط المتباينة الأصلية)

#### الخطوة 2: استعمال ميزة نقاط التقاطع

  • استخدام أداة "نقاط التقاطع" في الحاسبة البيانية.
  • إحداثيات نقطة التقاطع التقريبية: (2.4, 3.1)
  • الإحداثي `x` للنقطة هو 2.4

#### الخطوة 3: التحقق باستخدام الجداول البيانية

  • إنشاء جدول بقيم `x` بين 2 و 3.
  • حساب y1 = 2\sqrt{x} و y2 = \sqrt{x + 2} + 1
  • عندما تكون x < 2.4 فإن y2 < y1
  • عندما تكون x > 2.4 فإن y2 > y1
  • حل المتباينة: \{ x \ | \ x > 2.4 \}

```

نقاط مهمة

  • لحل متباينة جذرية بيانياً، يتم رسم كل طرف كدالة منفصلة.
  • نقطة تقاطع المنحنيين هي المفتاح لتحديد فترات الحل.
  • يمكن استخدام ميزة "نقاط التقاطع" في الحاسبة البيانية لإيجاد الحل التقريبي بدقة.
  • التحقق من الحل باستخدام الجداول البيانية يثبت صحة النتيجة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

المتباينة الجذرية

نوع: محتوى تعليمي

حل المتباينة: 1 + 2√x > √x + 2

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة 1 ارسم طرفي المتباينة

نوع: محتوى تعليمي

مثل المعادلة المرتبطة بالطرف الأيسر f1(x) = 2√x بيانيًا، والمعادلة المرتبطة بالطرف الأيمن f2(x) = √x + 2 + 1 بيانيًا، فتظهر الشاشة التالية:

نوع: محتوى تعليمي

تبين الشاشة أعلاه أن النقاط التي تقع عن يسار نقطة تقاطع المنحنيين تكون عندها f2 < f1 أي أن 2√x < √x + 2 + 1، ولحل المتباينة الأصلية، يجب أن تجد النقاط التي تكون عندها f2 > f1، وهذه النقاط تقع عن يمين نقطة تقاطع المنحنيين.

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة 2 استعمل ميزة نقاط التقاطع.

نوع: محتوى تعليمي

يمكنك استعمال ميزة نقاط التقاطع بالضغط على مفتاح menu ومنها اختر 6: تحليل الرسم البياني ومنها اختر 4: نقاط التقاطع. وقم بالضغط في أي نقطة على الشاشة وحرك المؤشر مرورًا بنقطة التقاطع، يظهر الزوج المرتب (3.1, 2.4).

نوع: محتوى تعليمي

أي أن الإحداثي x لنقطة تقاطع المنحنيين هو 2 تقريبًا؛ لذلك فإن الحل التقريبي للمتباينة 2√x < √x + 2 + 1 هو 2.4 > x استعمل الرمز < في الحل؛ لأنه الرمز الموجود في المتباينة الأصلية.

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة 3 تحقق من حلك باستعمال الجداول البيانية.

نوع: محتوى تعليمي

اضغط مفتاح on ، واختر 4: إضافة تطبيق القوائم وجداول البيانات. سم رأس العمود x ، ثم أدخل قيمًا عشرية بين العددين الصحيحين 2, 3. سم رأس العمود y1 بالرمز 2√x ، واكتب في الخلية الواقعة أسفله مباشرة المعادلة y1 = 2√x ، ثم اضغط enter . سم رأس العمود y2 بالرمز √x + 2 + 1 ، واكتب في الخلية الواقعة أسفله مباشرة المعادلة y2 = √x + 2 + 1 ، ثم اضغط enter . لاحظ أنه عندما تكون x أقل من أو تساوي 2.4، فإن y2 < y1. وهذا يثبت أن الحل هو {x|x > 2.4}.

نوع: محتوى تعليمي

تمارين:

نوع: محتوى تعليمي

استعمل طريقة التمثيل البياني لحل كل معادلة أو متباينة مما يأتي:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

√x + 4 = 3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

√x + 5 = √3x + 4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

√x + 3 + √x - 2 = 4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

√x - 3 ≥ 2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

√x + 3 > 2√x

نوع: QUESTION_HOMEWORK

√x + √x - 1 < 4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب وضح كيف يمكنك تطبيق الأسلوب المتبع في حل المثال الأول لحل متباينة؟

نوع: METADATA

222

نوع: محتوى تعليمي

الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية

🔍 عناصر مرئية

Graph showing two radical functions, f1(x) and f2(x), plotted on the same coordinate system. f1(x) starts at (0,0) and f2(x) starts at (0,3). Both curves increase as x increases. f1(x) appears to increase faster than f2(x) after their intersection.

A calculator display showing a zoomed-in view of the intersection of two radical functions. The intersection point is explicitly labeled.

📄 النص الكامل للصفحة

مثال 2 المتباينة الجذرية حل المتباينة: 1 + 2√x > √x + 2 الخطوة 1 ارسم طرفي المتباينة مثل المعادلة المرتبطة بالطرف الأيسر f1(x) = 2√x بيانيًا، والمعادلة المرتبطة بالطرف الأيمن f2(x) = √x + 2 + 1 بيانيًا، فتظهر الشاشة التالية: تبين الشاشة أعلاه أن النقاط التي تقع عن يسار نقطة تقاطع المنحنيين تكون عندها f2 < f1 أي أن 2√x < √x + 2 + 1، ولحل المتباينة الأصلية، يجب أن تجد النقاط التي تكون عندها f2 > f1، وهذه النقاط تقع عن يمين نقطة تقاطع المنحنيين. الخطوة 2 استعمل ميزة نقاط التقاطع. يمكنك استعمال ميزة نقاط التقاطع بالضغط على مفتاح menu ومنها اختر 6: تحليل الرسم البياني ومنها اختر 4: نقاط التقاطع. وقم بالضغط في أي نقطة على الشاشة وحرك المؤشر مرورًا بنقطة التقاطع، يظهر الزوج المرتب (3.1, 2.4). أي أن الإحداثي x لنقطة تقاطع المنحنيين هو 2 تقريبًا؛ لذلك فإن الحل التقريبي للمتباينة 2√x < √x + 2 + 1 هو 2.4 > x استعمل الرمز < في الحل؛ لأنه الرمز الموجود في المتباينة الأصلية. الخطوة 3 تحقق من حلك باستعمال الجداول البيانية. اضغط مفتاح on ، واختر 4: إضافة تطبيق القوائم وجداول البيانات. سم رأس العمود x ، ثم أدخل قيمًا عشرية بين العددين الصحيحين 2, 3. سم رأس العمود y1 بالرمز 2√x ، واكتب في الخلية الواقعة أسفله مباشرة المعادلة y1 = 2√x ، ثم اضغط enter . سم رأس العمود y2 بالرمز √x + 2 + 1 ، واكتب في الخلية الواقعة أسفله مباشرة المعادلة y2 = √x + 2 + 1 ، ثم اضغط enter . لاحظ أنه عندما تكون x أقل من أو تساوي 2.4، فإن y2 < y1. وهذا يثبت أن الحل هو {x|x > 2.4}. تمارين: استعمل طريقة التمثيل البياني لحل كل معادلة أو متباينة مما يأتي: √x + 4 = 3 √x + 5 = √3x + 4 √x + 3 + √x - 2 = 4 √x - 3 ≥ 2 √x + 3 > 2√x √x + √x - 1 < 4 اكتب وضح كيف يمكنك تطبيق الأسلوب المتبع في حل المثال الأول لحل متباينة؟ 222 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing two radical functions, f1(x) and f2(x), plotted on the same coordinate system. f1(x) starts at (0,0) and f2(x) starts at (0,3). Both curves increase as x increases. f1(x) appears to increase faster than f2(x) after their intersection. X-axis: x-axis Y-axis: y-axis Data: The blue curve represents f1(x) = 2√x, starting at (0,0). The red curve represents f2(x) = √x + 2 + 1, starting at (0,3). Both curves extend towards positive infinity in the x and y directions. They intersect at approximately (2.4, 3.1). Context: This graph is used to visually represent the two sides of a radical inequality (1 + 2√x > √x + 2) and to find their intersection point, which is crucial for determining the solution to the inequality. **GRAPH**: Untitled Description: A calculator display showing a zoomed-in view of the intersection of two radical functions. The intersection point is explicitly labeled. X-axis: x-axis Y-axis: y-axis Data: The graph highlights the intersection point of the two functions, which is precisely identified as (2.4, 3.1). This point is critical for solving the inequality. Context: This visual demonstrates how to use a graphing calculator's 'intersection' feature to find the exact coordinates of the intersection point of two functions, which is a key step in solving radical inequalities graphically. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | y1 | y2 Rows: Row 1: 2 | 2.828427 | 3.024846 Row 2: 2.1 | 2.898275 | 3.04939 Row 3: 2.2 | 2.966479 | 3.073644 Row 4: 2.3 | 3.033115 | 3.097618 Row 5: 2.4 | 3.098387 | 3.12132 Row 6: 2.5 | 3.162278 | 3.144761 Calculation needed: This table shows the calculated values of y1 = 2√x and y2 = √x + 2 + 1 for x-values ranging from 2 to 2.5, in increments of 0.1. It is used to numerically compare the values of y1 and y2 around the intersection point. Context: This table provides numerical data to verify the graphical solution of the inequality. By comparing the y1 and y2 values, one can confirm the range of x for which one function is greater or less than the other, especially around the intersection point x=2.4.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 1: تطلع طائرة من المطار بسرعة ثابتة. بعد أن قطعت الطائرة مسافة أفقية مقدارها m 800 كانت على ارتفاع m 285 رأسياً. ما زاوية ارتفاع الطائرة خلال الإقلاع؟

الإجابة: θ = tan^{-1} (\frac{285}{800}) \approx 19.6° C الإجابة الصحيحة: (C)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من السؤال: - المسافة الأفقية التي قطعتها الطائرة: 800 متر. - الارتفاع الرأسي الذي وصلت إليه الطائرة: 285 متر. - المطلوب: إيجاد زاوية الارتفاع (θ).
  2. **الخطوة 2 (المفهوم الهندسي والقانون):** لنفهم هذا السؤال. عندما تتحرك الطائرة، فإن المسار الذي تسلكه والمسافة الأفقية والارتفاع الرأسي يشكلان مثلثاً قائم الزاوية. - الارتفاع الرأسي (285 م) يمثل الضلع المقابل للزاوية (θ). - المسافة الأفقية (800 م) تمثل الضلع المجاور للزاوية (θ). في المثلث القائم، النسبة بين الضلع المقابل والضلع المجاور تُسمى ظل الزاوية (tan). لذلك، القانون الذي سنستخدمه هو: $$\tan(\theta) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{285}{800}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض في القانون: $$\tan(\theta) = \frac{285}{800}$$ لحساب قيمة الزاوية (θ)، نأخذ الدالة العكسية للظل (ظل مقلوب أو tan⁻¹) للطرفين: $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{285}{800}\right)$$ الآن، نحسب قيمة الكسر: $$\frac{285}{800} = 0.35625$$ ثم نجد الزاوية التي ظلها يساوي 0.35625 باستخدام الآلة الحاسبة: $$\theta = \tan^{-1}(0.35625) \approx 19.6^\circ$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، زاوية ارتفاع الطائرة خلال الإقلاع هي: **19.6°**

سؤال 2: ما زاوية ارتفاع المنحدر الذي يمثله الشكل أدناه؟ لحلها:

الإجابة: θ = cos^{-1} (\frac{10}{12}) \approx 33.6° D الإجابة الصحيحة: (D)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات والفهم):** يبدو أن السؤال يشير إلى شكل (غير موجود هنا) يمثل منحدراً. من الإجابة المرفقة، يمكننا استنتاج المعطيات: - يبدو أن طول الوتر (المنحدر نفسه) في المثلث القائم هو 12 وحدة. - طول الضلع المجاور للزاوية (θ) - وهو القاعدة الأفقية للمنحدر - هو 10 وحدات. - المطلوب: إيجاد زاوية ارتفاع المنحدر (θ).
  2. **الخطوة 2 (القانون المناسب):** لنفكر في المثلث القائم الذي يمثل المنحدر. - الوتر (12) هو طول المنحدر. - المجاور (10) هو المسافة الأفقية لقاعدة المنحدر. في المثلث القائم، النسبة بين الضلع المجاور والوتر تُسمى جيب التمام للزاوية (cos). لذلك، القانون الذي سنستخدمه هو: $$\cos(\theta) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{10}{12}$$
  3. **الخطوة 3 (الحساب):** بالتعويض في القانون: $$\cos(\theta) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$$ لحساب قيمة الزاوية (θ)، نأخذ الدالة العكسية لجيب التمام (cos⁻¹) للطرفين: $$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{10}{12}\right) = \cos^{-1}(0.8333)$$ باستخدام الآلة الحاسبة: $$\theta \approx 33.6^\circ$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، زاوية ارتفاع المنحدر هي: **33.6°**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 2 بطاقة لهذه الصفحة

في الحل البياني للمتباينة 1 + 2√x > √x + 2، ما معنى نقطة تقاطع منحنيي f1(x) و f2(x)؟

  • أ) تمثل قيمة x التي يكون عندها طرفا المتباينة غير معرفين.
  • ب) تمثل بداية مجال الدالة الجذرية.
  • ج) تمثل قيمة x التي يتساوى عندها طرفا المتباينة الأصلية (تصبح معادلة).
  • د) تمثل النقطة التي يكون عندها فرق الدالتين أكبر ما يمكن.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تمثل قيمة x التي يتساوى عندها طرفا المتباينة الأصلية (تصبح معادلة).

الشرح: 1. عند نقطة التقاطع، تكون قيمة f1(x) مساوية لقيمة f2(x). 2. هذا يعني أن 2√x = √x + 2 + 1. 3. بالتالي، تصبح المتباينة الأصلية معادلة عند هذه القيمة من x. 4. هذه النقطة هي الحد الفاصل بين منطقتي حل المتباينة.

تلميح: تذكر أن الرسم البياني يمثل طرفي المتباينة. ماذا يحدث عندما يتقاطع الخطان؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الغرض من استخدام الجداول البيانية (الجدول العددي) بعد إيجاد حل تقريبي للمتباينة بيانياً؟

  • أ) رسم منحنى جديد أكثر دقة.
  • ب) التحقق من صحة الحل ومقارنة قيم الدالتين حول نقطة التقاطع عدديًا.
  • ج) إيجاد مجال الدوال الجذرية.
  • د) حل المتباينة جبرياً من البداية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: التحقق من صحة الحل ومقارنة قيم الدالتين حول نقطة التقاطع عدديًا.

الشرح: 1. الغرض الرئيسي هو التحقق. 2. الجدول العددي يعطي قيمًا رقمية دقيقة لـ f1(x) و f2(x) لقيم x محددة حول نقطة التقاطع (مثل 2.3، 2.4، 2.5). 3. بمقارنة العمودين y1 و y2، يمكن التأكد بدقة من قيم x التي تكون عندها إحدى الدالتين أكبر من الأخرى، مما يثبت صحة الفترة التي تم تحديدها بيانياً.

تلميح: فكر في كيفية تأكيد النتيجة التي حصلت عليها من الرسم البياني.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل