صفحة 221 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 معمل الحاسبة البيانية: حل المعادلات والمتباينات الجذرية

المفاهيم الأساسية

الطريقة العامة: إعادة كتابة المعادلة أو المتباينة بحيث يكون أحد طرفيها صفرًا، ثم استخدام ميزة التقاطع أو أصفار الدالة في الحاسبة البيانية لإيجاد الحل.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المعادلات الجذرية والتحقق من الحلول

التحقق من الحل

باستخدام الحاسبة البيانية

• مثل كل طرف من المعادلة الأصلية بيانياً
• ابحث عن نقاط التقاطع

التحقق الجبري

• التعويض بالحل في المعادلة الأصلية
• التأكد من تحقيق المساواة

حل المعادلات الجذرية

معادلات الجذر التربيعي

• مثال: \sqrt{x} - 12 = 2 - \sqrt{x}
• قد لا يكون لها حل حقيقي

معادلات الجذر التكعيبي

• مثال: 2(6x - 3)^{\frac{1}{3}} - 4 = 0
• خطوات الحل:

- عزل العبارة الجذرية

- رفع الطرفين للأس 3

- حل المعادلة الناتجة

- التحقق من الحل

طرق التخلص من الجذور

الجذر التربيعي

• ارفع العبارة الجذرية للأس 2

الجذر التكعيبي

• ارفع العبارة الجذرية للأس 3

الجذر النوني (أي دليل)

• ارفع العبارة الجذرية للأس (ن)

حل المتباينات الجذرية

الخطوات

• الخطوة 1: إذا كان دليل الجذر زوجياً، عيّن قيم المتغير التي لا تجعل ما تحت الجذر سالباً.
• الخطوة 2: حل المتباينة جبرياً.
• الخطوة 3: حدد حل المتباينة من الخطوتين السابقتين، ثم اختبر القيم.

التحقق من الحل

• اختبار ثلاث قيم: أقل من الحد الأدنى، بين الحدين، وأكبر من الحد الأعلى.
• تنظيم النتائج في جدول.
• مثال من الصفحة:

- حل المتباينة هو 2 \le x \le 7

- القيم في الفترة 2 \le x \le 7 فقط هي التي تحقق المتباينة.

حل المعادلات والمتباينات باستخدام الحاسبة البيانية (TI-nspire)

الهدف

• استعمال الحاسبة البيانية لحل معادلات ومتباينات جذرية.

الطريقة

• إعادة كتابة المعادلة أو المتباينة بحيث يكون أحد طرفيها صفرًا.
• استعمال ميزة التقاطع أو أصفار الدالة.

مثال: حل المعادلة 3 = 2 + \sqrt{x} + x

#### الخطوة 1: إعادة الكتابة

• اطرح 3 من الطرفين: \sqrt{x} + x + 2 - 3 = 0

#### الخطوة 2: استعمال جدول لتقدير الحل

• إنشاء جدول لقيم `x` والدالة y = x + \sqrt{x} + 2 - 3
• ملاحظة تغير إشارة الدالة بين `x=1` و `x=2` لتحديد وجود حل بينهما.

#### الخطوة 3: استعمال ميزة أصفار الدالة

• رسم الدالة f1(x) = \sqrt{x} + x + 2 - 3
• استخدام أمر "أصفار الدالة" (Zero) لإيجاد نقطة تقاطع المنحنى مع المحور `x`.
• الحل التقريبي هو `1.36`.

تطبيقات عملية

فيزياء (زمن السقوط)

• الصيغة: h = \frac{1}{4} \sqrt{d}
• تمثل الزمن (t) اللازم لوصول جسم إلى ارتفاع (h) إذا سقط من مسافة (d).

فيزياء (زمن البندول)

• الصيغة: T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{32}}
• تمثل الزمن الدوري للبندول حيث (L) طوله.

أحياء (طول وكتلة السمكة)

• العلاقة: L = 0.46 \sqrt{M}
• حيث (L) الطول بالأمتار، (M) الكتلة بالكيلوجرامات.

رياضة (رفع الأثقال)

• الصيغة: M = 512 - 146 \sqrt{230B}
• لتقدير أقصى كتلة (M) يمكن لرافع أثقال كتلته (B) رفعها.

تمارين وتطبيقات متنوعة

تحديد المعادلات التي ليس لها حل

• مثال: \sqrt{x + 1} + 3 = 4
• مثال: \sqrt{x - 1} + 3 = 4
• مثال: \sqrt{x+2} - 7 = -10
• مثال: \sqrt{x - 2} + 7 = 10

تبرير صحة العبارات

• تحليل صحة: \frac{\sqrt{(x^2)^2}}{-x} = x
• تحديد إذا كانت صحيحة دائمًا، أو أحيانًا، أو غير صحيحة أبدًا.

كتابة معادلات جذرية

• كتابة معادلة جذر تربيعي وجذر تكعيبي لهما نفس الحل (عدد كلي).

العلاقة بين دليل الجذر والأس

• توضيح العلاقة بين دليل جذر المتغير في المعادلة الجذرية والأس الذي ترفع طرفي المعادلة له عند حلها.

حل معادلات أسية

• مثال: 7^{3x-1} = 49^{x + 1}
• استخدام قاعدة: b^x = b^y إذا وفقط إذا كان x = y

مراجعة تراكمية

دوال

• تحديد المجموعات التي تمثل دالة.

هندسة

• حساب محيط المثلث متطابق الضلعين.
• تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر.

دوال عكسية

• إيجاد معكوس دوال خطية وتربيعية.

حل معادلات كسرية

• حل معادلات النسبة والتناسب.

```

نقاط مهمة

• الهدف من الدرس هو تعلم استخدام الحاسبة البيانية TI-nspire لحل المعادلات والمتباينات الجذرية.
• إحدى الطرق الفعالة هي تحويل المعادلة إلى صيغة `صفر = دالة(x)` ثم استخدام أدوات الحاسبة.
• يمكن استخدام الجدول لتقدير مكان الحل (عندما تتغير إشارة الدالة).
• يمكن استخدام ميزة أصفار الدالة (Zero) للحصول على الحل الدقيق (أو التقريبي) بيانياً.
• في المثال، كان الحل التقريبي للمعادلة 3 = 2 + \sqrt{x} + x هو `1.36`.

حل المعادلات والمتباينات الجذرية --- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- www.ien.edu.sa --- SECTION: الهدف --- أستعمل الحاسبة TI-nspire البيانية لحل معادلات ومتباينات جذرية. يمكنك استعمال الحاسبة البيانية TI-nspire لحل المعادلات والمتباينات الجذرية، وإحدى طرق الحل هي إعادة كتابة المعادلة أو المتباينة، بحيث يكون أحد طرفيها صفرًا، ثم استعمال ميزة التقاطع في الحاسبة لإيجاد الحل. --- SECTION: مثال 1 المعادلة الجذرية --- حل المعادلة : 3 = 2 + √x + x --- SECTION: الخطوة 1 أعد كتابة المعادلة. --- اطرح العدد 3 من طرفي المعادلة لتحصل على المعادلة: √x+√x+2-3=0 --- SECTION: الخطوة 2 استعمل جدولا وقدر الحلّ. --- اضغط المفاتيح التالية بالترتيب من اليمين إلى اليسار: سم رأس العمود | بالرمز x ، ثم أدخل قيما تختارها لـ x . سم رأس العمود | بالرمز ، واكتب في الخلية الواقعة أسفله مباشرة المعادلة ثم اضغط enter ، y = x + √x+2-3 فتظهر شاشة اختر منها مرجع المتغير ثم اضغط enter لتحصل على الجدول المطلوب. بما أن إشارة الدالة تتغير من سالب إلى موجب بين 2 = 1 = x فهناك حل بين العددين 1,2 --- SECTION: الخطوة 3 استعمل ميزة أصفار الدالة لإيجاد الحل. --- اضغط على المفاتيح التالية بالترتيب من اليمين إلى اليسار: f1(x) = √x + √x + 2 - 3 :اكتب الدالة ثم اضغط enter فيظهر التمثيل البياني المجاور. حدد أصفار الدالة بالضغط على مفتاح (menu): ومنها اختر ان تحليل الرسم البياني ثم اختر 14: اصفار الدالة من الشاشة مرورًا بنقطة تقاطع التمثيل البياني مع المحور x ، فيظهر إحداثيات صفر الدالة. ثم الضغط على كل من منحنى الدالة والمحور x ، فيظهر صفر الدالة كما في الشكل المجاور. فيكون الحل هو 1.36 تقريبا، وهو يقع بين العددين 12 كما تبين في الخطوة 2 توسع 7-4 معمل الحاسبة البيانية: حل المعادلات والمتباينات الجذرية 221