فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 37: أحياء: يمثل pH أو درجة الحموضة في فم شخص بعد تناول الطعام بالدالة $P = 20.4 + 6.5 \log_{10} (\frac{1}{x})$, حيث x عدد الدقائق التي مرت بعد تناول الطعام. (a) بسط الصيغة السابقة. (b) أوجد درجة الحموضة في فم شخص بعد 30 min من تناول الطعام.

الإجابة: أحياء: pH أو درجة الحموضة أو في فم شخص بعد تناول الطعام 6.5 + 20.4 = P 6.5 + 20.4 = 26.9

سؤال 38 (a): هندسة: أوجد مسقط المستطيل في الشكل المجاور.

الإجابة: $A = 20.4t + 6.5$ $A = 13$ $A = 7.15$

سؤال 38 (b): هندسة: أوجد مسقط المستطيل في الشكل المجاور.

الإجابة: بسط الصيغة $A = \frac{13}{20.4} \approx 7.15$

سؤال 39: هندسة: إذا كان كل من المثلثين في الشكل المجاور متطابقين الضلعين، وكانت مساحة المثلث الأصغر 200cm² ومساحة المثلث الأكبر 300cm²، فأوجد البعد بين النقطة A والنقطة B بدلالة x, y في أبسط صورة.

الإجابة: $600 + 400 = 1000$ $x + y = 800$ $\frac{1000}{x+y} = \frac{1000}{800} = 1.25$

سؤال 40 (a): التضخم: قدر مهندسو إحدى شركات استخراج النفط إنتاج إحدى الآبار مستخدمين الدالة $R(x) = \frac{20(13x^2+30)}{x^2+40}$ حيث R(x) معدل إنتاج البئر البراميل سنويا بعد x سنة من بدء الإنتاج. (a) بسط الدالة R(x).

الإجابة: $R(x) = \frac{20(13x^2+30)}{x^2+40}$ $R(50) = \frac{20(13(50)^2+30)}{(50)^2+40} = \frac{20(13(2500)+30)}{2500+40} = \frac{20(32500+30)}{2540} = \frac{20(32530)}{2540} = \frac{650600}{2540} \approx 256.14$

سؤال 40 (b): التضخم: قدر مهندسو إحدى شركات استخراج النفط إنتاج إحدى الآبار مستخدمين الدالة $R(x) = \frac{20(13x^2+30)}{x^2+40}$ حيث R(x) معدل إنتاج البئر البراميل سنويا بعد x سنة من بدء الإنتاج. (b) ما معدل إنتاج البئر بعد مرور 50 سنة؟

الإجابة: أوجد LCM لكل مما يأتي: $R(50) = \frac{650600}{2540} \approx 256.14$

سؤال 41: أوجد LCM لكل مما يأتي: 41) $x^2 - 3x - 28, 2x^2 + 9x + 4, x^2 - 16$

الإجابة: $6ab^2c^3, 18b^2c^3, 8b^3$ $LCM = 360a^1b^3c^3$ بسط كل عبارة مما يأتي:

سؤال 42: أوجد LCM لكل مما يأتي: 42) $15x^2 - 128y^2 - 192x^2y^2$

الإجابة: $LCM = (x-7)(x+4)(2x+1)(x-4)$

سؤال 43: بسط كل عبارة مما يأتي: 43) $\frac{84x^2y^{12}}{6x^2+x+2}$

الإجابة: $\frac{360x^2}{360x^2} - \frac{36}{360x^2} = \frac{360x^2-36}{360x^2}$

سؤال 44: بسط كل عبارة مما يأتي: 44) $\frac{19x^2y^3}{3x^2+4}$

الإجابة: $\frac{5}{44}$

سؤال 45: بسط كل عبارة مما يأتي: 45) $\frac{6x^2+x-16}{x^2+x-2}$

الإجابة: $\frac{x^2+7x+10}{x^2+5x+6} = \frac{(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x+5}{x+3}$

سؤال 46: بسط كل عبارة مما يأتي: 46) $\frac{x^2+2x-29}{(x-1)(x-8)}$

الإجابة: $\frac{12(2x+1)(x^2-3)}{x^2+4}$

سؤال 47: بسط كل عبارة مما يأتي: 47) $\frac{x^2+3}{x+3}$

الإجابة: $\frac{x^2+x-1}{x^2+x-1}$

سؤال 48: بسط كل عبارة مما يأتي: 48) $\frac{x^2+x-1}{x^2+x-1}$

الإجابة: $\frac{x^2-y^2}{x^2-y^2}$

سؤال 49: بسط كل عبارة مما يأتي: 49) $\frac{x^2+x-1}{x^2+x-1}$

الإجابة: $\frac{x^2+x-1}{x^2+x-1}$

سؤال 50: بسط كل عبارة مما يأتي: 50) $\frac{y-x}{y-x}$

الإجابة: $\frac{y-x}{y-x}$

سؤال 51: بسط كل عبارة مما يأتي: 51) $\frac{x^2+x-1}{x^2+x-1}$

الإجابة: $\frac{x^2+x-1}{x^2+x-1}$

سؤال 52 (a): زوارق: قطع علي مسافة mi 20 راكبا زورقا، حيث نصف قطعه السرعة بسرعة معينة ونصفها الآخر بالسرعة تقل عن السرعة الأولى بمقدار mi/h 2. (a) إذا كانت x تعبر عن السرعة الأولى بالأميال لكل ساعة، فاكتب عبارة تمثل الزمن الذي استغرقه علي لقطع النصف الأول من المسافة.

الإجابة: نعم؛ لأن السرعة الأولى بالأميال لكل ساعة، فاكتب عبارة تمثل الزمن الذي استغرقه لقطع المسافة.

سؤال 52 (b): زوارق: قطع علي مسافة mi 20 راكبا زورقا، حيث نصف قطعه السرعة بسرعة معينة ونصفها الآخر بالسرعة تقل عن السرعة الأولى بمقدار mi/h 2. (b) اكتب عبارة تمثل الزمن الذي استغرقه لقطع النصف الثاني من المسافة.

الإجابة: اكتب عبارة تمثل الزمن الذي استغرقه لقطع المسافة كلها.

سؤال 52 (c): زوارق: قطع علي مسافة mi 20 راكبا زورقا، حيث نصف قطعه السرعة بسرعة معينة ونصفها الآخر بالسرعة تقل عن السرعة الأولى بمقدار mi/h 2. (c) اكتب عبارة تمثل الزمن الذي استغرقه لقطع المسافة كلها.

الإجابة: اكتب عبارة تمثل الزمن الذي استغرقه لقطع المسافة كلها.

ما تعريف الدالة المتعددة التعريف (Piecewise-defined function)؟

• أ) الدالة التي يكون تمثيلها البياني خطاً مستقيماً.
• ب) الدالة التي تكتب باستعمال عبارتين أو أكثر.
• ج) الدالة التي يكون مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية.
• د) الدالة التي يكون مداها مجموعة الأعداد الصحيحة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الدالة التي تكتب باستعمال عبارتين أو أكثر.

الشرح: 1. الدالة المتعددة التعريف هي دالة لا يمكن التعبير عنها بقاعدة واحدة لجميع قيم x في مجالها. 2. بدلاً من ذلك، تُكتب باستخدام قواعد (عبارات) مختلفة، كل منها ينطبق على جزء محدد من مجال الدالة. 3. مثال: f(x) = { x-2, x < -1; x+3, x ≥ -1 }.

تلميح: فكر في دالة تتكون من أكثر من قاعدة أو تعبير.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

عند تمثيل الدالة المتعددة التعريف بيانياً، ماذا تشير الدائرة المظللة عند طرف جزء من التمثيل؟

• أ) تشير إلى أن النقطة هي نقطة تقاطع مع محور الصادات.
• ب) تشير إلى أن النقطة لا تنتمي إلى التمثيل البياني للدالة.
• ج) تشير إلى أن النقطة تنتمي إلى التمثيل البياني للدالة.
• د) تشير إلى أن الدالة غير معرفة عند تلك النقطة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تشير إلى أن النقطة تنتمي إلى التمثيل البياني للدالة.

الشرح: 1. في التمثيل البياني للدالة المتعددة التعريف، نستخدم رموزاً لتوضيح ما إذا كانت نقطة النهاية لجزء من الرسم مُضمنة أم لا. 2. توضع دائرة صغيرة مظللة (مغلقة) عند النقطة لتشير إلى أن قيمة الدالة معرفة عند تلك القيمة من x، وبالتالي النقطة جزء من الرسم. 3. توضع دائرة غير مظللة (مفتوحة) لتشير إلى أن النقطة ليست جزءاً من الرسم.

تلميح: تذكر أن هناك نوعين من الدوائر: مظللة وغير مظللة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخطوة الأولى في تمثيل الدالة f(x) = { x-2, x < -1; x+3, x ≥ -1 } بيانياً؟

• أ) تمثيل العبارة الثانية (f(x) = x+3) بيانياً لقيم x ≥ -1.
• ب) إيجاد مجال الدالة وهو مجموعة الأعداد الحقيقية.
• ج) تمثيل العبارة الأولى (f(x) = x-2) بيانياً لقيم x التي تحقق x < -1.
• د) رسم دائرة مظللة عند النقطة (-1, -3).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تمثيل العبارة الأولى (f(x) = x-2) بيانياً لقيم x التي تحقق x < -1.

الشرح: 1. الخطوة 1: اختر العبارة الأولى من تعريف الدالة المتعددة، وهي f(x) = x - 2. 2. حدد الشرط المرتبط بها: x < -1. 3. مثل هذه العبارة (وهي دالة خطية) بيانياً لقيم x التي تحقق الشرط (x < -1). 4. احسب قيمتين على الأقل، مثلاً عند x = -2 و x = -1 (مع ملاحظة أن x = -1 لا يحقق الشرط، لذا توضع دائرة غير مظللة عندها).

تلميح: ابدأ بالجزء الأول من تعريف الدالة، مع الانتباه إلى الشرط المرتبط به.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في تمثيل الدالة المتعددة التعريف بيانياً، ما الفرق الجوهري بين استخدام الدائرة المظللة والدائرة غير المظللة عند النقاط الطرفية لكل فترة؟

• أ) الدائرة المظللة تشير إلى أن النقطة تنتمي للتمثيل البياني، بينما غير المظللة تشير إلى عدم انتمائها.
• ب) الدائرة المظللة تدل على أن الدالة غير معرفة عند هذه القيمة، وغير المظللة تدل على أنها معرفة.
• ج) الدائرة غير المظللة تستخدم فقط في الدوال الخطية، بينما المظللة تستخدم في الدوال الدرجية فقط.
• د) كلا النوعين يشيران إلى أن النقطة تنتمي للمجال دائماً، ولكن الفرق في تظليل المساحة أسفل المنحنى.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الدائرة المظللة تشير إلى أن النقطة تنتمي للتمثيل البياني، بينما غير المظللة تشير إلى عدم انتمائها.

الشرح: 1. الدالة المتعددة التعريف تتكون من عبارتين أو أكثر، كل منها معرفة في فترة محددة. 2. عند رسم الأطراف، نستخدم الدائرة المظللة (Closed circle) عندما تكون النقطة داخلة ضمن تعريف الدالة في تلك الفترة (وجود علامة مساواة). 3. نستخدم الدائرة غير المظللة (Open circle) عندما تكون النقطة غير مشمولة في تعريف تلك الفترة (عدم وجود علامة مساواة). 4. النتيجة: الدائرة المظللة تعني الانتماء، وغير المظللة تعني الاستثناء.

تلميح: اربط بين وجود علامة المساواة (≤ أو ≥) في المتباينة ونوع الدائرة المستخدمة في الرسم.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط