مثال 3 من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الدوال الخاصة (الدالة الدرجية ودالة القيمة المطلقة)

المفاهيم الأساسية

الدالة الدرجية: دالة متعددة التعريف خطية تتكون من قطع مستقيمة أفقية.

دالة القيمة المطلقة: دالة تحتوي على عبارة جبرية يستعمل فيها رمز القيمة المطلقة.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات والدوال

كتابة الدوال وإيجاد قيمتها

كتابة معادلة دالة من سياق لفظي

#### مثال: p(t) = 800 + 200t

إيجاد قيمة الدالة عند عنصر معين

#### التعويض في المعادلة

#### مثال: f(3d) = -4(3d)^2 - 2(3d) + 1

اختبار الخط الرأسي

شرط الدالة: لا يقطع أي خط رأسي التمثيل البياني بأكثر من نقطة

طريقة التحديد: من خلال التمثيل البياني للعلاقة

تمثيل العلاقات بيانياً

علاقة سرعة سيارة وزمنها (مع توقف)

علاقة طول شخص وعمره (من 5 إلى 60 سنة)

علاقة درجة الحرارة مع الوقت (من 6 صباحاً إلى 11 مساءً)

الدوال المنفصلة والدوال المتصلة

الهدف: استعمالهما لحل مسائل حياتية

الدالة المتصلة

#### مثال: y = 2x (سعر العصير النظري)

#### التمثيل البياني: خط متصل

الدالة المنفصلة

#### مثال: سعر عبوات العصير الفعلية

#### التمثيل البياني: نقاط منفصلة

قاعدة الاختيار

#### يجب النظر إذا كانت جميع الأعداد الحقيقية في المجال منطقية للموقف أم لا

الدوال المتعددة التعريف

تعريف: دالة تكتب باستعمال عبارتين أو أكثر

مثال: f(x) = \begin{cases} x-2, & x < -1 \\ x+3, & x \ge -1 \end{cases}

التمثيل البياني

#### دائرة مظللة: النقطة تنتمي للتمثيل البياني

#### دائرة غير مظللة: النقطة لا تنتمي للتمثيل البياني

أنواعها

#### الدالة الدرجية (Step function)

##### تعريف: دالة متعددة التعريف خطية تتكون من قطع مستقيمة أفقية

##### مثال: دالة أكبر عدد صحيح f(x) = [x]

##### خصائص دالة أكبر عدد صحيح:

###### المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية

###### المدى: مجموعة الأعداد الصحيحة

###### التمثيل البياني: قطع مستقيمة أفقية

##### مثال من واقع الحياة: تأجير شقة

###### اليوم الأول أو جزء منه: 300 ريال

###### أي يوم إضافي أو جزء منه: 250 ريال

###### الدالة: T(x) = \begin{cases} 300, & 0 < x \le 1 \\ 550, & 1 < x \le 2 \\ 800, & 2 < x \le 3 \\ 1050, & 3 < x \le 4 \\ 1300, & 4 < x \le 5 \end{cases}

#### دالة القيمة المطلقة (Absolute value function)

##### الدالة الرئيسة (الأم): f(x) = |x|

##### تعريفها: f(x) = \begin{cases} x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}

##### شكل التمثيل البياني: على شكل حرف V

##### المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية

##### المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة

##### المقطعان: x = 0, f(x) = 0

##### لا يمكن أن تكون: f(x) < 0

مراجعة تراكمية

تبسيط العبارات الجبرية

#### مثال: 6(3a^2b) + 3(5a+4b)

#### مثال: -4(5x-3y)+2(y + 3x)

حل المعادلات والتحقق من الحل

#### مثال: 4(2y-3) + 5(3y + 1) = -99

```

نقاط مهمة

• الدالة الدرجية: تتكون من قطع مستقيمة أفقية، وتمثل مواقف مثل تأجير العقارات حيث يتغير السعر عند فترات زمنية محددة.
• تمثيل الدالة الدرجية بيانياً: يحتوي على دوائر غير مظللة عن يسار كل قطعة، ودوائر مظللة عن يمينها.
• دالة القيمة المطلقة: شكلها البياني على شكل حرف V، ومجالها جميع الأعداد الحقيقية، ومداها الأعداد الحقيقية غير السالبة فقط.
• مثال تطبيقي: شركة إعادة التدوير تدفع 25 ريالاً لكل صندوق ممتلئ بالكامل، ولا تدفع مقابل الصناديق غير الممتلئة.

استعمال الدالة الدرجية عقار يتقاضى مجمع للشقق المفروشة 300 ريال مقابل تأجير الشقة ليوم واحد أو جزء منه، و250 ريالا مقابل تأجير الشقة ذاتها لأي يوم إضافي أو جزء منه. اكتب الدالة التي تمثل هذا الموقف ومثلها بيانيا. افهم المعطيات: أجرة الشقة لليوم الأول أو لجزء منه هي 300 ريال، وأجرة أي يوم إضافي أو جزء منه بعد اليوم الأول 250 ريالا. المطلوب : كتابة الدالة التي تمثل الموقف، وتمثيلها بيانيا. خطط كوّن جدولًا يمثل الموقف؛ لتكتشف النمط، وتكتب الدالة وتمثلها بيانيا. حل إذا كان زمن التأجير أكبر من 0 يوم وأقل من أو يساوي يومًا ، فإن الأجرة هي 300 ريال. وإذا كان الزمن أكبر من يوم وأقل من أو يساوي يومين فإن الأجرة هي 550 ريالا وهكذا، لذا استعمل نمط الزمن مع الأجرة لعمل الجدول التالي، حيث x هي عدد أيام تأجير الشقة. و (x) هي أجرة الشقة، ثم مثله بيانيا.

X 0<x≤1 T(x) 300

1<x≤2 2< x ≤3 3<x≤4 4<x<5 550 800 1050 1300

وعليه فإن الدالة المطلوبة وتمثيلها البياني يكونان كما يلي: 300 0 < x ≤ 1 550 1 < x ≤ 2 800 2 < x ≤ 3 T(x) = 1050 3 < x ≤ 4 1300 4 < x ≤ 5 :

تحقق بما أن المجمع يحوّل أي كسر للعدد الصحيح التالي، فإن كل قطعة مستقيمة ستحتوي على دائرة غير مظللة عن يسارها، وأخرى مظللة عن يمينها كما في الشكل.

إعادة تدوير الورق تدفع شركة لإعادة تدوير الورق 25 ريالًا عن كل صندوق من الورق يتم إحضاره للشركة ولا تدفع أي شيء مقابل أي صندوق غير ممتلئ بالكامل. اكتب الدالة التي تمثل هذا الموقف ومثلها بيانيا.

الربط مع الحياة وهناك نوع آخر من الدوال المتعددة التعريف يسمى دالة القيمة المطلقة وهي الدالة التي تحتوي على عبارة جبرية يستعمل فيها رمز القيمة المطلقة.

تقدر المخلفات الورقية في السعودية بـ 1.5 مليون طن سنويا، يستغل منها في عمليات التدوير 700 ألف طن فقط. المصدر: جريدة الاقتصادية العدد 6081، عام 1431 هـ

دالة القيمة المطلقة الدالة الرئيسة (الأم) : | | = (f(x ، وتُعرّف على النحو الآتي: X f(x) = 0 -X

x > 0 x = 0 x<0

شكل التمثيل البياني : على شكل حرف V المجال : مجموعة الأعداد الحقيقية المدى : مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة المقطعان : x = 0, f(x) = 0 ولا يمكن أن تكون : f(x) < 0

--- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة --- استعمال الدالة الدرجية عقار يتقاضى مجمع للشقق المفروشة 300 ريال مقابل تأجير الشقة ليوم واحد أو جزء منه، و250 ريالا مقابل تأجير الشقة ذاتها لأي يوم إضافي أو جزء منه. اكتب الدالة التي تمثل هذا الموقف ومثلها بيانيا. افهم المعطيات: أجرة الشقة لليوم الأول أو لجزء منه هي 300 ريال، وأجرة أي يوم إضافي أو جزء منه بعد اليوم الأول 250 ريالا. المطلوب : كتابة الدالة التي تمثل الموقف، وتمثيلها بيانيا. خطط كوّن جدولًا يمثل الموقف؛ لتكتشف النمط، وتكتب الدالة وتمثلها بيانيا. حل إذا كان زمن التأجير أكبر من 0 يوم وأقل من أو يساوي يومًا ، فإن الأجرة هي 300 ريال. وإذا كان الزمن أكبر من يوم وأقل من أو يساوي يومين فإن الأجرة هي 550 ريالا وهكذا، لذا استعمل نمط الزمن مع الأجرة لعمل الجدول التالي، حيث x هي عدد أيام تأجير الشقة. و (x) هي أجرة الشقة، ثم مثله بيانيا. X 0<x≤1 T(x) 300 1<x≤2 2< x ≤3 3<x≤4 4<x<5 550 800 1050 1300 وعليه فإن الدالة المطلوبة وتمثيلها البياني يكونان كما يلي: 300 0 < x ≤ 1 550 1 < x ≤ 2 800 2 < x ≤ 3 T(x) = 1050 3 < x ≤ 4 1300 4 < x ≤ 5 : تحقق بما أن المجمع يحوّل أي كسر للعدد الصحيح التالي، فإن كل قطعة مستقيمة ستحتوي على دائرة غير مظللة عن يسارها، وأخرى مظللة عن يمينها كما في الشكل. --- SECTION: 3 --- إعادة تدوير الورق تدفع شركة لإعادة تدوير الورق 25 ريالًا عن كل صندوق من الورق يتم إحضاره للشركة ولا تدفع أي شيء مقابل أي صندوق غير ممتلئ بالكامل. اكتب الدالة التي تمثل هذا الموقف ومثلها بيانيا. الربط مع الحياة وهناك نوع آخر من الدوال المتعددة التعريف يسمى دالة القيمة المطلقة وهي الدالة التي تحتوي على عبارة جبرية يستعمل فيها رمز القيمة المطلقة. تقدر المخلفات الورقية في السعودية بـ 1.5 مليون طن سنويا، يستغل منها في عمليات التدوير 700 ألف طن فقط. المصدر: جريدة الاقتصادية العدد 6081، عام 1431 هـ --- SECTION: مفهوم أساسي --- دالة القيمة المطلقة الدالة الرئيسة (الأم) : | | = (f(x ، وتُعرّف على النحو الآتي: X f(x) = 0 -X x > 0 x = 0 x<0 شكل التمثيل البياني : على شكل حرف V المجال : مجموعة الأعداد الحقيقية المدى : مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة المقطعان : x = 0, f(x) = 0 ولا يمكن أن تكون : f(x) < 0 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A step function with open circles on the left and closed circles on the right of each step. X-axis: x Y-axis: T(x) Data: The graph represents a step function where the y-value increases at each integer value of x. **GRAPH**: Untitled Description: A V-shaped graph representing the absolute value function. X-axis: x Y-axis: f(x) Data: The graph is symmetric about the y-axis.