مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال مثال 4: مثل الدالة f(x) = |2x|-4 بيانيا، ثم حدد كلا من مجالها ومداها.

الإجابة: المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، والمدى {f(x) | f(x) ≤ 4} هو

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم الدالة):** لدينا الدالة f(x) = |2x| - 4. هذه دالة تتضمن قيمة مطلقة. القيمة المطلقة |2x| تعني أن ناتجها دائمًا عدد غير سالب، بغض النظر عن إشارة x. لذلك، يمكننا كتابة الدالة على شكل قطعتين: - عندما 2x ≥ 0 (أي x ≥ 0)، فإن |2x| = 2x، وبالتالي f(x) = 2x - 4. - عندما 2x < 0 (أي x < 0)، فإن |2x| = -2x، وبالتالي f(x) = -2x - 4.
2. **الخطوة 2 (التمثيل البياني):** لتمثيل الدالة بيانيًا، نرسم القطعتين: 1. للقيم x ≥ 0: نرسم الخط المستقيم f(x) = 2x - 4. هذا خط ميله 2 ويقطع المحور y عند -4. 2. للقيم x < 0: نرسم الخط المستقيم f(x) = -2x - 4. هذا خط ميله -2 ويقطع المحور y عند -4 أيضًا. الرسم النهائي سيكون على شكل حرف V مقلوب، حيث نقطة الرأس (أدنى نقطة) تحدث عندما |2x| = 0، أي عند x = 0. عند x = 0، تكون f(0) = |0| - 4 = -4. إذن الرأس عند النقطة (0, -4).
3. **الخطوة 3 (تحديد المجال):** المجال هو مجموعة قيم x التي يمكن تعويضها في الدالة. بما أن الدالة تحتوي على قيمة مطلقة وطرح، ولا يوجد قسمة على صفر أو جذر لعدد سالب، فلا توجد قيم لـ x تستبعد. لذلك، يمكن تعويض أي عدد حقيقي. إذن المجال هو: **مجموعة الأعداد الحقيقية**.
4. **الخطوة 4 (تحديد المدى):** المدى هو مجموعة قيم f(x) الناتجة. من التمثيل البياني، نلاحظ أن الدالة f(x) = |2x| - 4 تبدأ من -4 (عند x = 0) وتزداد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. لأن |2x| دائمًا ≥ 0، فإن أصغر قيمة لـ f(x) هي عندما |2x| = 0، أي f(x) = -4. ولا يوجد حد أقصى لـ f(x)؛ يمكن أن تكون كبيرة جدًا كما نريد. إذن المدى هو: **جميع القيم f(x) حيث f(x) ≥ -4**، أو نكتبها { f(x) | f(x) ≥ -4 }.

سؤال مثال 2: مثل الدالة y = 20/x بيانيا، حيث تمثل y عدد الأشخاص في مقعد هوائي، وتمثل (x) متوسط المساحة المخصصة لكل شخص بالقدم المربعة.

الإجابة: عدد الأشخاص x | المساحة المخصصة للشخص (m^2) 10 | 2 5 | 4 4 | 5 2 | 10

خطوات الحل:

1. **الشرح:** هذا السؤال يتعلق بتمثيل دالة تناسب عكسي بيانيًا وتطبيقها على موقف عملي. الدالة المعطاة هي y = 20/x، حيث y تمثل عدد الأشخاص في مقعد هوائي، و x تمثل متوسط المساحة المخصصة لكل شخص بالقدم المربعة. الفكرة هنا هي أن العلاقة بين عدد الأشخاص والمساحة لكل شخص هي علاقة تناسب عكسي. هذا يعني أنه كلما زادت المساحة المخصصة لكل شخص (x)، قل عدد الأشخاص (y) الذين يمكن أن يستوعبهم المقعد، والعكس صحيح. نلاحظ أن حاصل ضرب y و x ثابت دائمًا: y * x = 20. لتمثيل هذه الدالة بيانيًا، نختار قيمًا موجبة لـ x (لأن المساحة لا يمكن أن تكون سالبة أو صفرًا عمليًا) ونحسب y المقابل. على سبيل المثال: - إذا كانت x = 2 (قدم مربع لكل شخص)، فإن y = 20/2 = 10 أشخاص. - إذا كانت x = 4، فإن y = 20/4 = 5 أشخاص. - إذا كانت x = 5، فإن y = 20/5 = 4 أشخاص. - إذا كانت x = 10، فإن y = 20/10 = 2 أشخاص. نرسم هذه النقاط على نظام إحداثيات، حيث المحور x يمثل المساحة والمحور y يمثل عدد الأشخاص. المنحنى الناتج سيكون فرعًا من القطع الزائد في الربع الأول (لأن x و y موجبان). إذن، الجدول المقترح في الإجابة يوضح هذه العلاقة بوضوح، حيث يظهر أن حاصل الضرب ثابت (مثلاً 10 * 2 = 20، 5 * 4 = 20، إلخ).

سؤال س2: س2: ارسم المنحنى y = 18/x

الإجابة: النقاط: (1, 18), (2, 9), (3, 6), (9, 2), (18, 1) عند x = 0, y = 0

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم الدالة):** لدينا الدالة y = 18/x. هذه دالة تناسب عكسي، حيث y تتناسب عكسيًا مع x. هذا يعني أن حاصل ضرب y و x ثابت: y * x = 18.
2. **الخطوة 2 (إيجاد نقاط للرسم):** لرسم المنحنى، نختار قيمًا موجبة لـ x ونحسب y المقابل. كما هو موضح في الإجابة: - عندما x = 1، فإن y = 18/1 = 18 → النقطة (1, 18). - عندما x = 2، فإن y = 18/2 = 9 → النقطة (2, 9). - عندما x = 3، فإن y = 18/3 = 6 → النقطة (3, 6). - عندما x = 9، فإن y = 18/9 = 2 → النقطة (9, 2). - عندما x = 18، فإن y = 18/18 = 1 → النقطة (18, 1). يمكننا أيضًا اختيار قيم أخرى، مثل x = 6 تعطي y = 3، أو x = 0.5 تعطي y = 36، وهكذا.
3. **الخطوة 3 (الرسم البياني والملاحظات):** نرسم هذه النقاط على نظام إحداثيات. المنحنى الناتج سيكون قطعًا زائديًا في الربعين الأول والثالث (لأن الدالة معرفة لجميع x ≠ 0). في الربع الأول (حيث x و y موجبان)، يكون المنحنى متناقصًا. ملاحظة مهمة: عند x = 0، الدالة غير معرفة لأن القسمة على صفر غير ممكنة. لذلك، لا يوجد قيمة لـ y عندما x = 0، والمحور y (حيث x = 0) يكون خطًا مقاربًا للمنحنى. كما أن y = 0 عندما x يقترب من اللانهاية، والمحور x يكون خطًا مقاربًا أيضًا. إذن، الرسم البياني سيوضح منحنى يمر بالنقاط المذكورة ويقترب من المحورين دون أن يلمسهما.

ما الخطوات العامة لتمثيل دالة تتضمن قيمة مطلقة (مثل f(x) = |2x| - 4) بيانياً؟

• أ) 1. أوجد مجال الدالة. 2. أوجد مدى الدالة. 3. ارسم محوري الإحداثيات. 4. اختر أي قيمتين لـ x وارسمهما.
• ب) 1. جعل ما بداخل القيمة المطلقة يساوي الصفر لإيجاد نقطة التفرع. 2. تكوين جدول للقيم لـ x أكبر وأصغر من نقطة التفرع. 3. تمثيل الأزواج المرتبة في المستوى الإحداثي. 4. وصل النقاط.
• ج) 1. حل المعادلة f(x) = 0. 2. أوجد ميل الدالة. 3. ارسم نقطة التقاطع مع المحور y. 4. ارسم خطاً مستقيماً.
• د) 1. استبدل القيمة المطلقة بعلامة ±. 2. حل المعادلتين الناتجتين. 3. ارسم الحلول على خط الأعداد. 4. انتهى.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1. جعل ما بداخل القيمة المطلقة يساوي الصفر لإيجاد نقطة التفرع. 2. تكوين جدول للقيم لـ x أكبر وأصغر من نقطة التفرع. 3. تمثيل الأزواج المرتبة في المستوى الإحداثي. 4. وصل النقاط.

الشرح: 1. أوجد قيمة x التي تجعل التعبير داخل القيمة المطلقة (2x) يساوي صفراً: 2x = 0 → x = 0 (نقطة التفرع). 2. أنشئ جدولاً بقيم لـ x أقل من 0 وأكبر من 0، واحسب f(x) لكل منها. 3. مثل النقاط (x, f(x)) على المستوى الإحداثي. 4. صل النقاط للحصول على الرسم البياني الذي يكون عادة على شكل حرف V أو V مقلوب.

تلميح: ابدأ بإيجاد القيمة التي تجعل التعبير داخل القيمة المطلقة صفراً.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كانت f(x) = |2x| - 4، فما مجال ومدى هذه الدالة؟

• أ) المجال: {x | x ≥ 0}. المدى: جميع الأعداد الحقيقية.
• ب) المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: { f(x) | f(x) ≤ 4 }.
• ج) المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: { f(x) | f(x) ≥ -4 }.
• د) المجال: {x | x ≠ 0}. المدى: { f(x) | f(x) > -4 }.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: { f(x) | f(x) ≥ -4 }.

الشرح: 1. المجال: لا توجد قيود على x؛ يمكن تعويض أي عدد حقيقي في |2x| - 4 (لا قسمة على صفر ولا جذر لعدد سالب). لذا، المجال هو جميع الأعداد الحقيقية. 2. المدى: لأن |2x| ≥ 0 دائماً، فإن أصغر قيمة لـ f(x) هي عندما |2x| = 0، أي f(x) = -4. ويمكن أن تزداد f(x) إلى ما لا نهاية. لذا، المدى هو جميع القيم الأكبر من أو تساوي -4.

تلميح: فكر: هل هناك أي قيم لـ x لا يمكن تعويضها في الدالة؟ ما أصغر قيمة يمكن أن تأخذها |2x|؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الفرق الرئيسي بين تمثيل دالة خطية (مثل f(x) = 2x - 4) ودالة قيمة مطلقة (مثل f(x) = |2x| - 4) بيانياً؟

• أ) لا يوجد فرق، كلاهما خط مستقيم.
• ب) الدالة الخطية منحنى، والدالة ذات القيمة المطلقة خط مستقيم.
• ج) الرسم البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم، بينما الرسم البياني للدالة ذات القيمة المطلقة يتكون من قطعتين خطيتين تلتقيان عند نقطة (رأس) ويكون شكله حرف V أو V مقلوب.
• د) الدالة الخطية لها مجال مقيد، بينما الدالة ذات القيمة المطلقة مجالها جميع الأعداد الحقيقية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الرسم البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم، بينما الرسم البياني للدالة ذات القيمة المطلقة يتكون من قطعتين خطيتين تلتقيان عند نقطة (رأس) ويكون شكله حرف V أو V مقلوب.

الشرح: الدالة الخطية f(x) = 2x - 4 لها ميل ثابت (2) وتقطع المحور y عند -4، لذا رسمها البياني هو خط مستقيم واحد يمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. أما الدالة f(x) = |2x| - 4، فلها تعريفان: للقيم x ≥ 0 هي f(x)=2x-4 (خط ميله 2)، وللقيم x < 0 هي f(x)=-2x-4 (خط ميله -2). يلتقي الخطان عند النقطة (0, -4) مكونين شكلاً يشبه الحرف V المقلوب.

تلميح: فكر في شكل المنحنى الناتج في كل حالة.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: متوسط

بالنسبة للدالة f(x) = |x-2|، ما نقطة الرأس (أدنى نقطة) في تمثيلها البياني؟

• أ) النقطة (0, 2).
• ب) النقطة (-2, 0).
• ج) النقطة (2, 0).
• د) النقطة (0, 0).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: النقطة (2, 0).

الشرح: لإيجاد رأس منحنى دالة القيمة المطلقة f(x) = |x - a| + b (أو بدون b)، نجعل التعبير داخل القيمة المطلقة يساوي صفراً. هنا: x - 2 = 0 → x = 2. عوّض x=2 في الدالة: f(2) = |2-2| = 0. إذن، إحداثيات نقطة الرأس هي (2, 0).

تلميح: نقطة الرأس تحدث عندما تكون القيمة داخل القيمة المطلقة مساوية للصفر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل