صفحة 26 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 53: تصوير: يحدد البعد البؤري لعدسة آلة التصوير المسافة التي يمكن خلالها التصوير بهذه الآلة؛ فكلما كان البعد البؤري أصغر كانت مساحة التصوير أكبر. فإذا كان البعد البؤري لعدسة آلة تصوير 70mm وأردنا تصوير جسم على بعد x mm من العدسة، فإنه يجب أن يكون الفيلم على بعد y mm من العدسة. ويمكن تمثيل ذلك بالمعادلة $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{70}$.

الإجابة: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{70} \implies y = \frac{70x}{x-70}\nيجب أن لا يقع المقام صفراً ويكون y غير معرفة.

سؤال 53 أ: هل يمكن تصوير جسم على بعد 70mm؟ وضح إجابتك.

الإجابة: لا، لأن x = 70 يجعل المقام صفراً.

سؤال 53 ب: ما قيم x التي لا يمكن تصوير الجسم عندها؟

الإجابة: x = 70

سؤال 54 أ: أدوية: يتناول أحد المرضى نوعين من الدواء. فإذا كان تركيزهما في دمه بوحدة الجرام / لتر (g/L) يُعطى بالدالتين $f(x) = \frac{2x}{x+2}$ و $g(x) = \frac{3x}{x+6}$ ، حيث x الزمن بالساعات بعد تناول الدواء. اجمع الدالتين لتحصل على دالة تمثل التركيز الكلي في دم المريض.

الإجابة: (f+g)(x) = $\frac{2x}{x+2} + \frac{3x}{x+6} = \frac{2x(x+6)+3x(x+2)}{(x+2)(x+6)} = \frac{2x^2+12x+3x^2+6x}{(x+2)(x+6)} = \frac{5x^2+18x}{(x+2)(x+6)}$

سؤال 54 ب: ما تركيز النوعين في دم المريض بعد 8 ساعات من تناولهما؟

الإجابة: (f+g)(8) = $\frac{5(8)^2+18(8)}{(8+2)(8+6)} = \frac{320+144}{10 \times 14} = \frac{464}{140} = \frac{116}{35} \approx 3.31 g/L$

سؤال 55: تبسيط: بسط العبارة $\frac{5y-2}{y^2-4} + \frac{3}{y+2}$

الإجابة: $\frac{5y-2}{y^2-4} + \frac{3}{y+2} = \frac{5y-2}{(y-2)(y+2)} + \frac{3(y-2)}{(y-2)(y+2)} = \frac{5y-2+3y-6}{(y-2)(y+2)} = \frac{8y-8}{(y-2)(y+2)}$

سؤال 56: تبسيط: بسط العبارة $\frac{4}{x^2-1} - \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1}$

الإجابة: $\frac{4}{x^2-1} - \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{4}{(x-1)(x+1)} - \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4-2x-2+3x-3}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$

سؤال 57: مسافة مفتوحة: اكتب ثلاث عبارات نسبية على أن يكون LCM لها $18a^2b^3c$.

الإجابة: $\frac{1}{18a^2b^3c}, \frac{1}{6a^2b}, \frac{1}{9b^3c}$

سؤال 58: اكتب عبارة مثلية لها مقامان $4a^2b^3$ و $6a^2b$.

الإجابة: $\frac{1}{4a^2b^3} + \frac{1}{6a^2b}$

سؤال 59: إذا كان $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ فما قيمة $c$؟

الإجابة: c = $\frac{ab}{b-a}$

سؤال 60: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} 4 & x < -2 \\ x^2 & -2 \le x \le 1 \\ -x+3 & x > 1 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $\begin{cases} 4, & x < -2 \\ x^2, & -2 \le x \le 1 \\ -x+3, & x > 1 \end{cases}\nالمجال: (-\infty, \infty)\nالمدى: (-\infty, 2) \cup [0, 4]$

سؤال 61: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} x^2-4 & x < 0 \\ \frac{1}{2}x-4 & x \ge 0 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $\begin{cases} x^2-4, & x < 0 \\ \frac{1}{2}x-4, & x \ge 0 \end{cases}\nالمجال: (-\infty, \infty)\nالمدى: [-4, \infty)$

سؤال 62: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} n^2-n-12 & x < -3 \\ n+3 & -3 \le x < 4 \\ n-6 & x \ge 4 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $\begin{cases} x^2-x-12, & x < -3 \\ x+3, & -3 \le x < 4 \\ x-6, & x \ge 4 \end{cases}\nالمجال: (-\infty, \infty)\nالمدى: (-\infty, 0) \cup [0, 7) \cup [-2, \infty)$

سؤال 63: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+1} & x \ge -1 \\ -\sqrt{x+1} & x < -1 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $\begin{cases} \sqrt{x+1}, & x \ge -1 \\ -\sqrt{x+1}, & x < -1 \end{cases}\nالمجال: [-1, \infty)\nالمدى: [0, \infty)$

سؤال 64: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} \sqrt{3-x} & x \le 3 \\ 2x-4 & x > 3 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $\begin{cases} \sqrt{3-x}, & x \le 3 \\ 2x-4, & x > 3 \end{cases}\nالمجال: (-\infty, \infty)\nالمدى: [0, \infty)$

سؤال 65: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & x \ne 2 \\ 4 & x = 2 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $\begin{cases} \frac{1}{x-2}, & x \ne 2 \\ 4, & x = 2 \end{cases}\nالمجال: (-\infty, \infty)\nالمدى: (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \cup \{4\}$

سؤال 66: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} x^2-8x+18 & x \le 4 \\ x^2-8x+18 & x > 4 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $x^2-8x+18\nالمجال: (-\infty, \infty)\nالمدى: [2, \infty)$

سؤال 67: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} x^2+6x+10 & x < -3 \\ x^2+6x+10 & x \ge -3 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $x^2+6x+10\nالمجال: (-\infty, \infty)\nالمدى: [1, \infty)$

سؤال 68: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} x^2-4x+5 & x < 2 \\ x^2-4x+5 & x \ge 2 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $x^2-4x+5\nالمجال: (-\infty, \infty)\nالمدى: [1, \infty)$

سؤال 69: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} x^2-6x+10 & x < 3 \\ x^2-6x+10 & x \ge 3 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $x^2-6x+10\nالمجال: (-\infty, \infty)\nالمدى: [1, \infty)$

سؤال 70: مثل كل دالة مما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. $f(x) = \begin{cases} x^2-2x+3 & x < 1 \\ x^2-2x+3 & x \ge 1 \end{cases}$

الإجابة: f(x) = $x^2-2x+3\nالمجال: (-\infty, \infty)\nالمدى: [2, \infty)$

ما تعريف الدالة المتعددة التعريف الخطية؟

• أ) دالة تمثل بمنحنى واحد متصل.
• ب) دالة تمثل غالبًا بعدة دوال خطية.
• ج) دالة تتكون من قطع مكافئة فقط.
• د) دالة لا يمكن تمثيلها بيانياً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: دالة تمثل غالبًا بعدة دوال خطية.

الشرح: الدالة المتعددة التعريف الخطية هي دالة تتكون من عدة قواعد (دوال) خطية، حيث تُعرّف كل قاعدة على فترة محددة من مجال الدالة. مثال: f(x) = { 2x+3, x<1 ; -x+2, 1≤x≤2 ; 3, x>2 }.

تلميح: فكر في الدوال التي تتكون من أجزاء مختلفة، كل جزء يمثل دالة خطية.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما معنى وجود دائرة غير مظللة عند نقطة معينة في التمثيل البياني لدالة متعددة التعريف؟

• أ) أن الدالة معرفة عند تلك القيمة لـ x.
• ب) أن ميل الدالة صفر عند تلك النقطة.
• ج) أن الدالة غير معرفة عند تلك القيمة لـ x.
• د) أن الدالة لها قيمة قصوى عند تلك النقطة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أن الدالة غير معرفة عند تلك القيمة لـ x.

الشرح: في التمثيل البياني للدالة المتعددة التعريف، تشير الدائرة غير المظللة (المفرغة) عند نقطة إلى أن تلك النقطة ليست جزءًا من الرسم البياني للدالة، أي أن الدالة غير معرفة عند قيمة x تلك للجزء الحالي من الدالة. مثال: دائرة غير مظللة عند (1,5) تعني أن الدالة معرفة للفترة x < 1.

تلميح: تذكر أن الدائرة المظللة تعني أن النقطة جزء من الدالة، وغير المظللة تعني العكس.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي الدالة الدرجية؟

• أ) دالة تمثل بقطع مستقيمة ذات ميل موجب فقط.
• ب) دالة متعددة التعريف تتكون من قطع مستقيمة أفقية.
• ج) دالة تربيعية شكلها قطع مكافئ.
• د) دالة جذرية تمثل بمنحنى.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: دالة متعددة التعريف تتكون من قطع مستقيمة أفقية.

الشرح: الدالة الدرجية هي نوع من الدوال المتعددة التعريف الخطية، حيث يتكون تمثيلها البياني من عدة قطع مستقيمة أفقية، مما يعطي شكلاً يشبه الدرج. مثال شهير عليها هو دالة أكبر عدد صحيح f(x) = [x].

تلميح: فكر في شكل الدرج أو السلالم. كيف يبدو رسمها البياني؟

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما مجال ومدى دالة أكبر عدد صحيح f(x) = [x]؟

• أ) المجال: الأعداد الصحيحة، المدى: الأعداد الحقيقية.
• ب) المجال: الأعداد الموجبة فقط، المدى: الأعداد الصحيحة.
• ج) المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى: مجموعة الأعداد الصحيحة.
• د) المجال: الأعداد من 0 إلى ما لا نهاية، المدى: الأعداد من 0 إلى ما لا نهاية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى: مجموعة الأعداد الصحيحة.

الشرح: دالة أكبر عدد صحيح f(x) = [x] يمكن إدخال أي عدد حقيقي x إليها، لذا مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية (ℝ). مخرجات الدالة هي دائمًا عدد صحيح (مثل ...، -2، -1، 0، 1، 2، ...)، لذا مداها هو مجموعة الأعداد الصحيحة (ℤ).

تلميح: تذكر أن الدالة تعمل على أي عدد حقيقي (المجال)، وتخرج دائمًا عددًا صحيحًا (المدى).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هو مدى (Range) الدالة الرئيسة (الأم) لدالة أكبر عدد صحيح $f(x) = [x]$؟

• أ) مجموعة الأعداد الحقيقية
• ب) مجموعة الأعداد الصحيحة
• ج) مجموعة الأعداد النسبية
• د) مجموعة الأعداد غير النسبية

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مجموعة الأعداد الصحيحة

الشرح: ١. دالة أكبر عدد صحيح تعيد أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي القيمة المدخلة x. ٢. بما أن الناتج دائماً عدد صحيح (مثل: [3.25]=3 و [-4.6]=-5)، فإن المخرجات (المدى) تقتصر على الأعداد الصحيحة فقط. ٣. بينما المجال (القِيَم المدخلة) هو مجموعة الأعداد الحقيقية كاملة.

تلميح: تذكر أن مخرجات هذه الدالة هي دائماً أعداد بدون فواصل عشرية، فماذا تسمى هذه المجموعة؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل