صفحة 30 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تمثيل الدوال المتعددة التعريف ودوال القيمة المطلقة

المفاهيم الأساسية

يتم التركيز في هذه الصفحة على التطبيق العملي للدوال المتعددة التعريف ودوال القيمة المطلقة، دون تقديم تعريفات جديدة.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات والدوال

كتابة الدوال وإيجاد قيمتها

كتابة معادلة دالة من سياق لفظي

#### مثال: p(t) = 800 + 200t

إيجاد قيمة الدالة عند عنصر معين

#### التعويض في المعادلة

#### مثال: f(3d) = -4(3d)^2 - 2(3d) + 1

اختبار الخط الرأسي

شرط الدالة: لا يقطع أي خط رأسي التمثيل البياني بأكثر من نقطة

طريقة التحديد: من خلال التمثيل البياني للعلاقة

تمثيل العلاقات بيانياً

علاقة سرعة سيارة وزمنها (مع توقف)

علاقة طول شخص وعمره (من 5 إلى 60 سنة)

علاقة درجة الحرارة مع الوقت (من 6 صباحاً إلى 11 مساءً)

الدوال المنفصلة والدوال المتصلة

الهدف: استعمالهما لحل مسائل حياتية

الدالة المتصلة

#### مثال: y = 2x (سعر العصير النظري)

#### التمثيل البياني: خط متصل

الدالة المنفصلة

#### مثال: سعر عبوات العصير الفعلية

#### التمثيل البياني: نقاط منفصلة

قاعدة الاختيار

#### يجب النظر إذا كانت جميع الأعداد الحقيقية في المجال منطقية للموقف أم لا

الدوال المتعددة التعريف

تعريف: دالة تكتب باستعمال عبارتين أو أكثر

مثال: f(x) = \begin{cases} x-2, & x < -1 \\ x+3, & x \ge -1 \end{cases}

التمثيل البياني

#### دائرة مظللة: النقطة تنتمي للتمثيل البياني

#### دائرة غير مظللة: النقطة لا تنتمي للتمثيل البياني

أنواعها

#### الدالة الدرجية (Step function)

##### تعريف: دالة متعددة التعريف خطية تتكون من قطع مستقيمة أفقية

##### مثال: دالة أكبر عدد صحيح f(x) = [x]

##### خصائص دالة أكبر عدد صحيح:

###### المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية

###### المدى: مجموعة الأعداد الصحيحة

###### التمثيل البياني: قطع مستقيمة أفقية

##### مثال من واقع الحياة: تأجير شقة

###### اليوم الأول أو جزء منه: 300 ريال

###### أي يوم إضافي أو جزء منه: 250 ريال

###### الدالة: T(x) = \begin{cases} 300, & 0 < x \le 1 \\ 550, & 1 < x \le 2 \\ 800, & 2 < x \le 3 \\ 1050, & 3 < x \le 4 \\ 1300, & 4 < x \le 5 \end{cases}

#### دالة القيمة المطلقة (Absolute value function)

##### الدالة الرئيسة (الأم): f(x) = |x|

##### تعريفها: f(x) = \begin{cases} x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}

##### شكل التمثيل البياني: على شكل حرف V

##### المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية

##### المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة

##### المقطعان: x = 0, f(x) = 0

##### لا يمكن أن تكون: f(x) < 0

##### خطوات التمثيل البياني للدالة f(x) = a|x - h| + k

###### 1. اجعل ما بداخل القيمة المطلقة يساوي الصفر.

###### 2. كون جدولاً للقيم، يحوي قيماً لـ x أكبر من الصفر وأصغر منه.

###### 3. مثل الأزواج المرتبة في المستوى الإحداثي.

###### 4. صل بين النقاط.

##### مثال: f(x) = |2x| - 4

###### المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية.

###### المدى: \{f(x) | f(x) \le 4\}

تدرب وحل المسائل (صفحة 29)

تمثيل الدوال المتعددة التعريف بيانياً

#### مثال 1: مثل الدالة بيانياً وحدد مجالها ومداها

##### f(x) = \begin{cases} -3x , & x \le -4 \\ x , & 0 < x \le 3 \\ 8 , & x > 3 \end{cases}

##### f(x) = \begin{cases} 2x , & x \le -6 \\ 5 , & -6 < x \le 2 \\ -2x+1 , & x > 4 \end{cases}

كتابة الدالة المتعددة التعريف من التمثيل البياني

#### مثال 2: اكتب الدالة المتعددة التعريف الممثلة بيانياً

##### مسائل (14، 15، 16): تحليل الرسوم البيانية المعطاة

تطبيقات حياتية

#### مثال 3: جمعية خيرية

##### الموقف: تبرع الجمعية بمبلغ مساو لأي صدقة ≤ 100 ريال، وتضيف 100 ريال لأي صدقة > 100 ريال.

##### المطلوب: تحديد نوع الدالة وكتابتها وتمثيلها بيانياً.

#### مسألة (26): استئجار دباب شاطئ

##### الموقف: جدول يوضح تكلفة الاستئجار لفترات زمنية مختلفة.

##### المطلوب: تحديد نوع الدالة وكتابتها وتمثيلها بيانياً.

تمثيل دوال القيمة المطلقة بيانياً

#### المثالان 3، 4: مثل كل دالة بيانياً وحدد مجالها ومداها

##### دوال أكبر عدد صحيح:

###### f(x) = [x]-6

###### h(x)=3[x]-8

##### دوال القيمة المطلقة:

###### f(x) = |x-5|

###### g(x) = |x+2|

###### h(x) = |2x|-8

###### k(x) = |-3x|+3

###### f(x) = 2|x-4|+6

###### h(x) = -3|0.5x+1|-2

كتابة دالة القيمة المطلقة من التمثيل البياني

#### مسائل (27، 28): اكتب دالة القيمة المطلقة الممثلة بيانياً

تدرب وحل المسائل (صفحة 30)

تمثيل دوال متعددة التعريف مختلطة

#### مسألة (29): g(x)=\begin{cases} [x], & x < -4 \\ x+1, & -4 \leq x \leq 3 \\ -|x|, & x > 3 \end{cases}

#### مسألة (30): h(x) = \begin{cases} -|x|, & x < -6 \\ [x], & -6 \leq x \leq 2 \\ -|x|, & x > 2 \end{cases}

تحليل دوال القيمة المطلقة بطرق متعددة

#### مسألة (31): f(x) = |x| - 4, g(x) = |3x|

##### جدولياً: عمل جدول لقيم x بين -4 و 4

##### بيانياً: التمثيل على مستوى إحداثي

##### عددياً: حساب الميل بين كل نقطتين متتاليتين في الجدول

##### لفظياً: وصف العلاقة بين ميل كل جزأي دالة القيمة المطلقة

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة (32): كتابة علاقة باستعمال القيمة المطلقة بحيث يكون المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

تحدٍ (33): تمثيل المعادلة 5 - | 3 + y | = 2 |x| بيانياً.

تبرير (34): إعطاء مثال مضاد للجملة: "حتى تجد أكبر عدد صحيح لعدد غير صحيح x ، فإنك تقرّب x إلى أقرب عدد صحيح".

مسألة مفتوحة (35): كتابة دالة قيمة مطلقة f(x)، تحقق f(5) = -3.

شرح (36): شرح كيفية استعمال الدوال المتعددة التعريف لتمثيل مسائل من واقع الحياة من خلال مثال.

تدريب على اختبار

إجابة قصيرة (37): إيجاد الحد النوني للنمط في جدول.

اختيار من متعدد (38): تحديد الدالة التي فيها f(-1) \neq 1.

مراجعة تراكمية

إيجاد قيمة الدالة عند تعويض معين

#### مسألة (39): f(2c) حيث f(x) = -4x + 6

#### مسألة (40): g(a + 1) حيث g(x) = -x²

#### مسألة (41): h(6) حيث h(x) = -2x^2 - 6x + 9

تحديد مجموعات الأعداد

#### مسألة (42): \sqrt{\sqrt{36}}

#### مسألة (43): -3

#### مسألة (44): \frac{2}{5}

#### مسألة (45): \sqrt{11}

```

نقاط مهمة

• تتضمن الصفحة تمارين على تمثيل دوال متعددة التعريف تجمع بين دالة أكبر عدد صحيح [x] ودالة القيمة المطلقة |x|.
• هناك تركيز على تحليل دوال القيمة المطلقة بطرق متعددة: جدولياً، بيانياً، عددياً (حساب الميل)، ولفظياً.
• تحتوي الصفحة على قسم "مسائل مهارات التفكير العليا" الذي يتطلب إبداعاً في كتابة الدوال وتحليلاً أعمق.
• يوجد قسمان للمراجعة: "تدريب على اختبار" و"مراجعة تراكمية" تغطي مواضيع سابقة.

مثل كل دالة فيما يأتي بيانيا، ثم حدد كلا من مجالها ومداها:

g(x)=\begin{cases} [x], & x < -4 \\ x+1, & -4 \leq x \leq 3 \\ -|x|, & x > 3 \end{cases}

h(x) = \begin{cases} -|x|, & x < -6 \\ [x], & -6 \leq x \leq 2 \\ -|x|, & x > 2 \end{cases}

تمثيلات متعددة: لتكن f(x) = |x| - 4, g(x) = |3x|

a) جدوليا : كون جدولاً لبعض قيم كل من (f(x و (g (x ما بين 4 = x = 4 ,x .

بيانيا : مثل كلا من الدالتين بيانيا على مستوى إحداثي مختلف.

عدديًا : احسب الميل بين كل نقطتين متتاليتين في الجدول.

لفظيا : صف العلاقة بين ميل كل من جزأي دالة القيمة المطلقة.

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة : اكتب علاقة باستعمال القيمة المطلقة بحيث يكون المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

تحد : مثل المعادلة 5 - | 3 + y | = 2 |x| بيانيا.

تبرير: أعط مثالاً مضادا للجملة الآتية، وفسر إجابتك. حتى تجد أكبر عدد صحيح لعدد غير صحيح x ، فإنك تقرّب x إلى أقرب عدد صحيح

مسألة مفتوحة : اكتب دالة قيمة مطلقة (f(x ، تحقق 3- = (5).

اكتب اشرح من خلال مثال كيف تستعمل الدوال المتعددة التعريف لتمثيل مسائل من واقع الحياة.

تدريب على اختبار

إجابة قصيرة : ما العبارة التي تعطي الحد النوني للنمط في الجدول التالي؟ 2 4 6 8 n 7 13 19 25 ?

أي دالة مما يأتي يكون فيها 1- ≠ ( - ) f؟

مراجعة تراكمية

إذا كان f(x) = -4x + 6, g(x) = -x², h(x) = -2x2 - 6x + 9 فأوجد كل قيمة مما يأتي: (الدرس 1-2)

f(2c)

g(a + 1)

h(6)

حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد مما يأتي: (الدرس 1-1)

√√36

-3

2 5

√11

30 الفصل 1 الدوال والمتباينات

وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447

مثل كل دالة فيما يأتي بيانيا، ثم حدد كلا من مجالها ومداها: --- SECTION: 29 --- g(x)=\begin{cases} [x], & x < -4 \\ x+1, & -4 \leq x \leq 3 \\ -|x|, & x > 3 \end{cases} --- SECTION: 30 --- h(x) = \begin{cases} -|x|, & x < -6 \\ [x], & -6 \leq x \leq 2 \\ -|x|, & x > 2 \end{cases} --- SECTION: 31 --- تمثيلات متعددة: لتكن f(x) = |x| - 4, g(x) = |3x| a) جدوليا : كون جدولاً لبعض قيم كل من (f(x و (g (x ما بين 4 = x = 4 ,x . بيانيا : مثل كلا من الدالتين بيانيا على مستوى إحداثي مختلف. عدديًا : احسب الميل بين كل نقطتين متتاليتين في الجدول. لفظيا : صف العلاقة بين ميل كل من جزأي دالة القيمة المطلقة. مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 32 --- مسألة مفتوحة : اكتب علاقة باستعمال القيمة المطلقة بحيث يكون المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية. --- SECTION: 33 --- تحد : مثل المعادلة 5 - | 3 + y | = 2 |x| بيانيا. --- SECTION: 34 --- تبرير: أعط مثالاً مضادا للجملة الآتية، وفسر إجابتك. حتى تجد أكبر عدد صحيح لعدد غير صحيح x ، فإنك تقرّب x إلى أقرب عدد صحيح --- SECTION: 35 --- مسألة مفتوحة : اكتب دالة قيمة مطلقة (f(x ، تحقق 3- = (5). --- SECTION: 36 --- اكتب اشرح من خلال مثال كيف تستعمل الدوال المتعددة التعريف لتمثيل مسائل من واقع الحياة. تدريب على اختبار --- SECTION: 37 --- إجابة قصيرة : ما العبارة التي تعطي الحد النوني للنمط في الجدول التالي؟ 2 4 6 8 n 7 13 19 25 ? --- SECTION: 38 --- أي دالة مما يأتي يكون فيها 1- ≠ ( - ) f؟ f(x) = 2x A f(x) = |-2x| B f(x) = [x] C f(x) = [2x] D مراجعة تراكمية إذا كان f(x) = -4x + 6, g(x) = -x², h(x) = -2x2 - 6x + 9 فأوجد كل قيمة مما يأتي: (الدرس 1-2) --- SECTION: 39 --- f(2c) --- SECTION: 40 --- g(a + 1) --- SECTION: 41 --- h(6) حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد مما يأتي: (الدرس 1-1) --- SECTION: 42 --- √√36 --- SECTION: 43 --- -3 --- SECTION: 44 --- 2 5 --- SECTION: 45 --- √11 30 الفصل 1 الدوال والمتباينات وزارة التعليم Ministry of Education 2025-1447