صفحة 31 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

Q: حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد 25/11.

عدد نسبي، عدد حقيقي

Q: حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد -32.4.

عدد حقيقي، عدد نسبي

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 اختبار منتصف الفصل (الدروس 1-1 إلى 1-3)

المفاهيم الأساسية

مجموعات الأعداد: تحديد المجموعة (طبيعية، صحيحة، نسبية، غير نسبية، حقيقية) التي ينتمي إليها عدد معين.

الخاصية التوزيعية: كما في المعادلة (4 + 15)7 = 4(7) + 15(7).

النظير الجمعي والنظير الضربي: إيجادهما لعدد معين (مثل 7/6).

مجال ومدى العلاقة: تحديدهما من مجموعة مرتبة، والتحقق مما إذا كانت العلاقة تمثل دالة.

الدالة: تمثيل المعادلة (مثل y = 2x - 3) بيانياً وتحديد إذا كانت دالة، متباينة، منفصلة أم متصلة.

إيجاد قيمة الدالة: التعويض في دالة معطاة (مثل f(x) = 3x³ - 2x + 7) لإيجاد قيم مثل f(-2)، f(2y)، f(1.4).

الدالة المتعددة التعريف: تمثيلها بيانياً (مثل f(x) = { -x , x < -2; x+2 , -2 ≤ x ≤ 2; 5 , x > 2 }) أو كتابتها من التمثيل البياني.

دالة أكبر عدد صحيح: تحديد المجال والمدى للدالة y = [x] + 2.

دالة القيمة المطلقة: تمثيل الدالة (مثل f(x) = |12x|) بيانياً وتحديد مجالها ومداها.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات والدوال

كتابة الدوال وإيجاد قيمتها

كتابة معادلة دالة من سياق لفظي

#### مثال: p(t) = 800 + 200t

إيجاد قيمة الدالة عند عنصر معين

#### التعويض في المعادلة

#### مثال: f(3d) = -4(3d)^2 - 2(3d) + 1

اختبار الخط الرأسي

شرط الدالة: لا يقطع أي خط رأسي التمثيل البياني بأكثر من نقطة

طريقة التحديد: من خلال التمثيل البياني للعلاقة

تمثيل العلاقات بيانياً

علاقة سرعة سيارة وزمنها (مع توقف)

علاقة طول شخص وعمره (من 5 إلى 60 سنة)

علاقة درجة الحرارة مع الوقت (من 6 صباحاً إلى 11 مساءً)

الدوال المنفصلة والدوال المتصلة

الهدف: استعمالهما لحل مسائل حياتية

الدالة المتصلة

#### مثال: y = 2x (سعر العصير النظري)

#### التمثيل البياني: خط متصل

الدالة المنفصلة

#### مثال: سعر عبوات العصير الفعلية

#### التمثيل البياني: نقاط منفصلة

قاعدة الاختيار

#### يجب النظر إذا كانت جميع الأعداد الحقيقية في المجال منطقية للموقف أم لا

الدوال المتعددة التعريف

تعريف: دالة تكتب باستعمال عبارتين أو أكثر

مثال: `f(x) = \begin{cases} x-2, & x < -1 \\ x+3, & x \ge -1 \end{cases}`

التمثيل البياني

#### دائرة مظللة: النقطة تنتمي للتمثيل البياني

#### دائرة غير مظللة: النقطة لا تنتمي للتمثيل البياني

أنواعها

#### الدالة الدرجية (Step function)

##### تعريف: دالة متعددة التعريف خطية تتكون من قطع مستقيمة أفقية

##### مثال: دالة أكبر عدد صحيح f(x) = [x]

##### خصائص دالة أكبر عدد صحيح:

###### المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية

###### المدى: مجموعة الأعداد الصحيحة

###### التمثيل البياني: قطع مستقيمة أفقية

##### مثال من واقع الحياة: تأجير شقة

###### اليوم الأول أو جزء منه: 300 ريال

###### أي يوم إضافي أو جزء منه: 250 ريال

###### الدالة: T(x) = \begin{cases} 300, & 0 < x \le 1 \\ 550, & 1 < x \le 2 \\ 800, & 2 < x \le 3 \\ 1050, & 3 < x \le 4 \\ 1300, & 4 < x \le 5 \end{cases}

#### دالة القيمة المطلقة (Absolute value function)

##### الدالة الرئيسة (الأم): f(x) = |x|

##### تعريفها: f(x) = \begin{cases} x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}

##### شكل التمثيل البياني: على شكل حرف V

##### المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية

##### المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة

##### المقطعان: x = 0, f(x) = 0

##### لا يمكن أن تكون: f(x) < 0

##### خطوات التمثيل البياني للدالة f(x) = a|x - h| + k

###### 1. اجعل ما بداخل القيمة المطلقة يساوي الصفر.

###### 2. كون جدولاً للقيم، يحوي قيماً لـ x أكبر من الصفر وأصغر منه.

###### 3. مثل الأزواج المرتبة في المستوى الإحداثي.

###### 4. صل بين النقاط.

##### مثال: f(x) = |2x| - 4

###### المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية.

###### المدى: \{f(x) | f(x) \le 4\}

تدرب وحل المسائل (صفحة 29)

تمثيل الدوال المتعددة التعريف بيانياً

#### مثال 1: مثل الدالة بيانياً وحدد مجالها ومداها

##### f(x) = \begin{cases} -3x , & x \le -4 \\ x , & 0 < x \le 3 \\ 8 , & x > 3 \end{cases}

##### f(x) = \begin{cases} 2x , & x \le -6 \\ 5 , & -6 < x \le 2 \\ -2x+1 , & x > 4 \end{cases}

كتابة الدالة المتعددة التعريف من التمثيل البياني

#### مثال 2: اكتب الدالة المتعددة التعريف الممثلة بيانياً

##### مسائل (14، 15، 16): تحليل الرسوم البيانية المعطاة

تطبيقات حياتية

#### مثال 3: جمعية خيرية

##### الموقف: تبرع الجمعية بمبلغ مساو لأي صدقة ≤ 100 ريال، وتضيف 100 ريال لأي صدقة > 100 ريال.

##### المطلوب: تحديد نوع الدالة وكتابتها وتمثيلها بيانياً.

#### مسألة (26): استئجار دباب شاطئ

##### الموقف: جدول يوضح تكلفة الاستئجار لفترات زمنية مختلفة.

##### المطلوب: تحديد نوع الدالة وكتابتها وتمثيلها بيانياً.

تمثيل دوال القيمة المطلقة بيانياً

#### المثالان 3، 4: مثل كل دالة بيانياً وحدد مجالها ومداها

##### دوال أكبر عدد صحيح:

###### f(x) = [x]-6

###### h(x)=3[x]-8

##### دوال القيمة المطلقة:

###### f(x) = |x-5|

###### g(x) = |x+2|

###### h(x) = |2x|-8

###### k(x) = |-3x|+3

###### f(x) = 2|x-4|+6

###### h(x) = -3|0.5x+1|-2

كتابة دالة القيمة المطلقة من التمثيل البياني

#### مسائل (27، 28): اكتب دالة القيمة المطلقة الممثلة بيانياً

تدرب وحل المسائل (صفحة 30)

تمثيل دوال متعددة التعريف مختلطة

#### مسألة (29): g(x)=\begin{cases} [x], & x < -4 \\ x+1, & -4 \leq x \leq 3 \\ -|x|, & x > 3 \end{cases}

#### مسألة (30): h(x) = \begin{cases} -|x|, & x < -6 \\ [x], & -6 \leq x \leq 2 \\ -|x|, & x > 2 \end{cases}

تحليل دوال القيمة المطلقة بطرق متعددة

#### مسألة (31): f(x) = |x| - 4, g(x) = |3x|

##### جدولياً: عمل جدول لقيم x بين -4 و 4

##### بيانياً: التمثيل على مستوى إحداثي

##### عددياً: حساب الميل بين كل نقطتين متتاليتين في الجدول

##### لفظياً: وصف العلاقة بين ميل كل جزأي دالة القيمة المطلقة

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة (32): كتابة علاقة باستعمال القيمة المطلقة بحيث يكون المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

تحدٍ (33): تمثيل المعادلة `5 - | 3 + y | = 2 |x|` بيانياً.

تبرير (34): إعطاء مثال مضاد للجملة: "حتى تجد أكبر عدد صحيح لعدد غير صحيح x ، فإنك تقرّب x إلى أقرب عدد صحيح".

مسألة مفتوحة (35): كتابة دالة قيمة مطلقة `f(x)`، تحقق `f(5) = -3`.

شرح (36): شرح كيفية استعمال الدوال المتعددة التعريف لتمثيل مسائل من واقع الحياة من خلال مثال.

تدريب على اختبار

إجابة قصيرة (37): إيجاد الحد النوني للنمط في جدول.

اختيار من متعدد (38): تحديد الدالة التي فيها `f(-1) \neq 1`.

مراجعة تراكمية

إيجاد قيمة الدالة عند تعويض معين

#### مسألة (39): f(2c) حيث f(x) = -4x + 6

#### مسألة (40): g(a + 1) حيث g(x) = -x²

#### مسألة (41): h(6) حيث h(x) = -2x^2 - 6x + 9

تحديد مجموعات الأعداد

#### مسألة (42): \sqrt{\sqrt{36}}

#### مسألة (43): -3

#### مسألة (44): \frac{2}{5}

#### مسألة (45): \sqrt{11}

اختبار منتصف الفصل (صفحة 31)

تحديد مجموعات الأعداد

#### أمثلة: 25/11، -128/32، \sqrt{50}، -32.4

خصائص الأعداد الحقيقية

#### تحديد الخاصية (مثل التوزيعية)

تبسيط العبارات الجبرية

#### مثال: -3(7a - 4b) + 2(-3a + b)

#### مثال: \frac{2}{3}(4m - 5n) + \frac{1}{5}(2m + n)

تطبيق خاصية التوزيع

#### مسألة حياتية: حساب تكلفة شراء قمصان وبناطيل بطريقتين

النظير الجمعي والضربي

#### مثال: إيجادهما للعدد 7/6

تحديد مجال ومدى العلاقة والدالة

#### من مجموعة مرتبة: {(3, 2), (4, 1), (0, 3), (5, -2), (3, 7)}

#### من معادلة خطية: y = 2x - 3

إيجاد قيمة الدالة

#### من دالة كثيرة حدود: f(x) = 3x³ - 2x + 7

##### أمثلة: f(-2)، f(2y)، f(1.4)

#### من دالة خطية تطبيقية: f(x) = 0.35x + 49 (دخل سيارة أجرة)

تمثيل الدوال المتعددة التعريف

#### كتابتها من التمثيل البياني (سؤال 17)

#### تمثيلها بيانياً: f(x) = \begin{cases} -x , & x < -2 \\ x + 2 , & -2 \le x \le 2 \\ 5 , & x > 2 \end{cases}

دالة أكبر عدد صحيح

#### تحديد المجال والمدى: y = [x] + 2

دالة القيمة المطلقة

#### التمثيل البياني وتحديد المجال والمدى: f(x) = |12x|

```

نقاط مهمة

الاختبار يغطي مفاهيم مجموعات الأعداد وخصائصها والدوال وتمثيلها البياني.
يجب التركيز على مهارة تحديد مجال ومدى العلاقة والتحقق مما إذا كانت دالة.
من المهم التدرب على إيجاد قيمة الدالة عن طريق التعويض المباشر.
التمثيل البياني للدوال (الخطية، المتعددة التعريف، القيمة المطلقة) وفهم خصائصها (المجال، المدى، الاتصال) هو محور رئيسي.
يوجد سؤال تطبيقي على خاصية التوزيع في موقف حياتي (شراء ملابس).

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: METADATA

الفصل 1

نوع: محتوى تعليمي

اختبار منتصف الفصل

نوع: محتوى تعليمي

الدروس 1-1 إلى 1-3

نوع: محتوى تعليمي

حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد مما يأتي:

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

1) 25/11

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2) -128/32

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3) √50

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4) -32.4

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5) اذكر الخاصية الموضحة في المعادلة الآتية:
(4 + 15)7 = 4 (7) + 15 (7)؟

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6) بسط العبارة
-3(7a - 4b) + 2(-3a + b)

7

نوع: QUESTION_HOMEWORK

7) ملابس: يريد سعد شراء 3 قمصان و3 بناطيل. فإذا كان سعر القميص الواحد 35 ريالاً. وسعر البنطال الواحد 55 ريالاً. فأوجد المبلغ الذي يدفعه سعد بطريقتين مستعملاً خاصية التوزيع.

8

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8) اختيار من متعدد: أي العبارات التالية تكافئ
2/3(4m - 5n) + 1/5(2m + n)؟

9

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9) أوجد كلاً من النظير الجمعي والنظير الضربي للعدد 7/6.

10

نوع: QUESTION_HOMEWORK

10) حدد كلاً من مجال العلاقة الآتية ومداها، ثم بين هل تمثل دالة أم لا:
{(3, 2), (4, 1), (0, 3), (5, -2), (3, 7)}

11

نوع: QUESTION_HOMEWORK

11) مثل المعادلة y = 2x - 3 بيانياً، ثم بين إذا كانت تمثل دالة أم لا. وهل هي متباينة أم لا؟ وهل هي منفصلة أم متصلة؟

نوع: محتوى تعليمي

إذا كان f(x) = 3x³ - 2x + 7، فأوجد قيمة كل مما يأتي:

12

نوع: QUESTION_HOMEWORK

12) f(-2)

13

نوع: QUESTION_HOMEWORK

13) f(2y)

14

نوع: QUESTION_HOMEWORK

14) f(1.4)

15

نوع: QUESTION_HOMEWORK

15) اختيار من متعدد: يقدر الدخل بالريال لسيارة أجرة بالدالة f(x) = 0.35x + 49، حيث x عدد الكيلومترات التي تقطعها السيارة. قدر دخل السيارة إذا قطعت 250 km.

16

نوع: QUESTION_HOMEWORK

16) مثل بيانياً الدالة:
f(x) = {
-x , x < -2
x + 2 , -2 ≤ x ≤ 2
5 , x > 2

17

نوع: QUESTION_HOMEWORK

17) اكتب الدالة المتعددة التعريف الممثلة بيانياً فيما يأتي:

18

نوع: QUESTION_HOMEWORK

18) حدد كلاً من المجال والمدى للدالة: y = [x] + 2.

19

نوع: QUESTION_HOMEWORK

19) مثل الدالة f(x) = |12x|، ثم حدد كلاً من مجالها ومداها.

نوع: METADATA

الفصل 1 اختبار منتصف الفصل 31

🔍 عناصر مرئية

The graph represents a piecewise function. Part 1: A ray starting from an open circle at (-1, 2) extending to the left with a slope of -1. Part 2: A horizontal line segment on the x-axis (y=0) from x=-1 to x=3, inclusive of both endpoints (solid dots). Part 3: A ray starting from an open circle at (3, 4) extending to the right with a slope of 1.

📄 النص الكامل للصفحة

الفصل 1

اختبار منتصف الفصل

الدروس 1-1 إلى 1-3

حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد مما يأتي:

--- SECTION: 1 ---
1) 25/11

--- SECTION: 2 ---
2) -128/32

--- SECTION: 3 ---
3) √50

--- SECTION: 4 ---
4) -32.4

--- SECTION: 5 ---
5) اذكر الخاصية الموضحة في المعادلة الآتية:
(4 + 15)7 = 4 (7) + 15 (7)؟

--- SECTION: 6 ---
6) بسط العبارة
-3(7a - 4b) + 2(-3a + b)

--- SECTION: 7 ---
7) ملابس: يريد سعد شراء 3 قمصان و3 بناطيل. فإذا كان سعر القميص الواحد 35 ريالاً. وسعر البنطال الواحد 55 ريالاً. فأوجد المبلغ الذي يدفعه سعد بطريقتين مستعملاً خاصية التوزيع.

--- SECTION: 8 ---
8) اختيار من متعدد: أي العبارات التالية تكافئ
2/3(4m - 5n) + 1/5(2m + n)؟
  A 46/15 m - 47/15 n
  B 46m - 47n
  C -mn/15
  D 5/4 m - 9/8 n

--- SECTION: 9 ---
9) أوجد كلاً من النظير الجمعي والنظير الضربي للعدد 7/6.

--- SECTION: 10 ---
10) حدد كلاً من مجال العلاقة الآتية ومداها، ثم بين هل تمثل دالة أم لا:
{(3, 2), (4, 1), (0, 3), (5, -2), (3, 7)}

--- SECTION: 11 ---
11) مثل المعادلة y = 2x - 3 بيانياً، ثم بين إذا كانت تمثل دالة أم لا. وهل هي متباينة أم لا؟ وهل هي منفصلة أم متصلة؟

إذا كان f(x) = 3x³ - 2x + 7، فأوجد قيمة كل مما يأتي:

--- SECTION: 12 ---
12) f(-2)

--- SECTION: 13 ---
13) f(2y)

--- SECTION: 14 ---
14) f(1.4)

--- SECTION: 15 ---
15) اختيار من متعدد: يقدر الدخل بالريال لسيارة أجرة بالدالة f(x) = 0.35x + 49، حيث x عدد الكيلومترات التي تقطعها السيارة. قدر دخل السيارة إذا قطعت 250 km.
  A 84 ريالاً
  B 112.50 ريالاً
  C 136.50 ريالاً
  D 215 ريالاً

--- SECTION: 16 ---
16) مثل بيانياً الدالة:
f(x) = {
-x , x < -2
x + 2 , -2 ≤ x ≤ 2
5 , x > 2

--- SECTION: 17 ---
17) اكتب الدالة المتعددة التعريف الممثلة بيانياً فيما يأتي:

--- SECTION: 18 ---
18) حدد كلاً من المجال والمدى للدالة: y = [x] + 2.

--- SECTION: 19 ---
19) مثل الدالة f(x) = |12x|، ثم حدد كلاً من مجالها ومداها.

الفصل 1 اختبار منتصف الفصل 31

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: The graph represents a piecewise function. Part 1: A ray starting from an open circle at (-1, 2) extending to the left with a slope of -1. Part 2: A horizontal line segment on the x-axis (y=0) from x=-1 to x=3, inclusive of both endpoints (solid dots). Part 3: A ray starting from an open circle at (3, 4) extending to the right with a slope of 1.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: Used to test the student's ability to write a piecewise-defined function from its graphical representation.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 19 بطاقة لهذه الصفحة

حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد 25/11.

أ) عدد صحيح، عدد حقيقي
ب) عدد نسبي، عدد حقيقي
ج) عدد غير نسبي، عدد حقيقي
د) عدد طبيعي، عدد صحيح

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: عدد نسبي، عدد حقيقي

الشرح: ١. العدد 25/11 هو كسر بسطه (25) ومقامه (11) أعداد صحيحة. ٢. المقام لا يساوي صفر. ٣. إذن، العدد نسبي. ٤. جميع الأعداد النسبية هي أعداد حقيقية.

تلميح: تذكر أن الأعداد النسبية هي التي يمكن كتابتها على صورة كسر بسطه ومقامه أعداد صحيحة ومقامه لا يساوي صفر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد -128/32.

أ) عدد صحيح، عدد نسبي، عدد حقيقي
ب) عدد نسبي، عدد حقيقي فقط
ج) عدد غير نسبي، عدد حقيقي
د) عدد طبيعي، عدد صحيح

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: عدد صحيح، عدد نسبي، عدد حقيقي

الشرح: ١. بسّط الكسر: -128 ÷ 32 = -4. ٢. العدد -4 هو عدد صحيح. ٣. كل عدد صحيح هو عدد نسبي. ٤. كل عدد نسبي هو عدد حقيقي.

تلميح: بسّط الكسر أولاً. تذكر أن الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما الخاصية الموضحة في المعادلة (4 + 15)7 = 4(7) + 15(7)؟

أ) خاصية التجميع
ب) خاصية الإبدال
ج) خاصية التوزيع
د) خاصية العنصر المحايد

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: خاصية التوزيع

الشرح: ١. في المعادلة، العدد 7 مضروب في مجموع (4+15). ٢. النتيجة تساوي مجموع حاصل ضرب 7 في كل حد من الحدود (4 و 15) على حدة. ٣. هذه هي صيغة خاصية التوزيع: أ(ب+ج) = أ×ب + أ×ج.

تلميح: تذكر الخاصية التي توزع عملية الضرب على عملية الجمع داخل الأقواس.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

بسط العبارة: -3(7a - 4b) + 2(-3a + b).

أ) -27a + 14b
ب) -15a + 10b
ج) -27a - 14b
د) 3a - 2b

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: -27a + 14b

الشرح: ١. التوزيع: -3 × 7a = -21a، و -3 × (-4b) = +12b. ٢. التوزيع: 2 × (-3a) = -6a، و 2 × b = +2b. ٣. العبارة تصبح: -21a + 12b - 6a + 2b. ٤. جمع الحدود المتشابهة: (-21a - 6a) = -27a، و (12b + 2b) = 14b. ٥. الناتج: -27a + 14b.

تلميح: طبق خاصية التوزيع أولاً على كل قوس، ثم اجمع الحدود المتشابهة (حدود a مع بعضها وحدود b مع بعضها).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد النظير الجمعي والنظير الضربي للعدد 7/6.

أ) الجمعي: 6/7، الضربي: -7/6
ب) الجمعي: -7/6، الضربي: 6/7
ج) الجمعي: 7/6، الضربي: -6/7
د) الجمعي: -6/7، الضربي: 7/6

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الجمعي: -7/6، الضربي: 6/7

الشرح: ١. النظير الجمعي للعدد س هو -س. النظير الجمعي لـ 7/6 هو -7/6. ٢. النظير الضربي للعدد س (س ≠ 0) هو 1/س. النظير الضربي لـ 7/6 هو مقلوبه، أي 6/7.

تلميح: النظير الجمعي هو العدد الذي إذا أضيف إلى العدد الأصلي أعطى صفراً. النظير الضربي هو العدد الذي إذا ضرب في العدد الأصلي أعطى 1.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد √50.

أ) الأعداد النسبية فقط
ب) الأعداد الحقيقية، الأعداد النسبية
ج) الأعداد الحقيقية، الأعداد غير النسبية
د) الأعداد الصحيحة، الأعداد النسبية

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الأعداد الحقيقية، الأعداد غير النسبية

الشرح: ١. العدد √50 ليس عدداً صحيحاً ولا كسرياً (نسبياً) لأنه لا يمكن كتابته على صورة كسر بسط ومقام أعداد صحيحة. ٢. √50 ≈ 7.071... وهو عدد عشري غير منتهٍ ولا دوري. ٣. لذلك، √50 هو عدد غير نسبي. ٤. جميع الأعداد النسبية وغير النسبية تشكل مجموعة الأعداد الحقيقية.

تلميح: تذكر أن العدد النسبي هو الذي يمكن كتابته على صورة كسر بسطه عدد صحيح ومقامه عدد صحيح غير صفر. العدد غير النسبي هو العدد الحقيقي الذي لا يمكن كتابته على هذه الصورة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

حدد كلاً من مجال العلاقة الآتية ومداها، ثم بين هل تمثل دالة أم لا: {(3, 2), (4, 1), (0, 3), (5, -2), (3, 7)}

أ) المجال: {0, 3, 4, 5}، المدى: {-2, 1, 2, 3, 7}، تمثل دالة.
ب) المجال: {0, 3, 4, 5}، المدى: {-2, 1, 2, 3, 7}، لا تمثل دالة.
ج) المجال: {2, 1, 3, -2, 7}، المدى: {0, 3, 4, 5}، تمثل دالة.
د) المجال: {2, 1, 3, -2, 7}، المدى: {0, 3, 4, 5}، لا تمثل دالة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المجال: {0, 3, 4, 5}، المدى: {-2, 1, 2, 3, 7}، لا تمثل دالة.

الشرح: ١. المجال: مجموعة القيم الأولى (س): {3, 4, 0, 5}. ٢. المدى: مجموعة القيم الثانية (ص): {2, 1, 3, -2, 7}. ٣. نلاحظ أن العنصر '3' في المجال له صورتان مختلفتان في المدى (2 و 7). ٤. بما أن عنصراً واحداً في المجال يرتبط بأكثر من عنصر في المدى، فإن هذه العلاقة لا تمثل دالة.

تلميح: تذكر أن العلاقة تكون دالة إذا كان كل عنصر في المجال يرتبط بعنصر واحد فقط في المدى. ابحث عن عنصر في المجال له أكثر من صورة في المدى.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

إذا كان f(x) = 3x³ - 2x + 7، فأوجد قيمة f(2y).

أ) 6y³ - 4y + 7
ب) 24y³ - 4y + 7
ج) 6y³ - 2y + 7
د) 24y³ - 2y + 7

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 24y³ - 4y + 7

الشرح: ١. f(2y) = 3(2y)³ - 2(2y) + 7 ٢. احسب الأس أولاً: (2y)³ = 8y³ ٣. f(2y) = 3 × 8y³ - 4y + 7 ٤. f(2y) = 24y³ - 4y + 7

تلميح: استبدل كل 'x' في العبارة بـ '2y'، ثم بسط العبارة الناتجة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

يقدر الدخل بالريال لسيارة أجرة بالدالة f(x) = 0.35x + 49، حيث x عدد الكيلومترات التي تقطعها السيارة. قدر دخل السيارة إذا قطعت 250 km.

أ) 84 ريالاً
ب) 112.50 ريالاً
ج) 136.50 ريالاً
د) 215 ريالاً

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 136.50 ريالاً

الشرح: ١. f(250) = 0.35 × 250 + 49 ٢. f(250) = 87.5 + 49 ٣. f(250) = 136.5 ٤. الدخل = 136.50 ريالاً

تلميح: عوض عن x في الدالة بعدد الكيلومترات (250)، ثم احسب قيمة العبارة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد -32.4.

أ) عدد حقيقي، عدد نسبي
ب) عدد حقيقي، عدد غير نسبي
ج) عدد صحيح، عدد طبيعي
د) عدد غير حقيقي

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: عدد حقيقي، عدد نسبي

الشرح: ١. العدد -32.4 هو عدد عشري منتهٍ. ٢. الأعداد العشرية المنتهية هي أعداد نسبية. ٣. جميع الأعداد النسبية هي أعداد حقيقية. ٤. النتيجة: ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية (ℝ) ومجموعة الأعداد النسبية (ℚ).

تلميح: تذكر أن الأعداد العشرية المنتهية أو الدورية هي أعداد نسبية، وجميع الأعداد النسبية هي أعداد حقيقية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ملابس: يريد سعد شراء 3 قمصان و3 بناطيل. فإذا كان سعر القميص الواحد 35 ريالاً. وسعر البنطال الواحد 55 ريالاً. فأوجد المبلغ الذي يدفعه سعد بطريقتين مستعملاً خاصية التوزيع.

أ) 270 ريالاً
ب) 180 ريالاً
ج) 300 ريالاً
د) 240 ريالاً

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 270 ريالاً

الشرح: الطريقة الأولى (توزيع الضرب على الجمع): ١. المبلغ = 3 × (35 + 55) ٢. = 3 × 90 = 270 ريالاً. الطريقة الثانية (جمع حاصل الضرب): ١. المبلغ = (3 × 35) + (3 × 55) ٢. = 105 + 165 = 270 ريالاً. الإجابة النهائية: 270 ريالاً.

تلميح: خاصية التوزيع: أ(ب+ج) = أ×ب + أ×ج. يمكنك حساب تكلفة كل نوع ثم جمعهما، أو جمع سعر المجموعة الواحدة ثم ضربها في العدد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

مثل المعادلة y = 2x - 3 بيانياً، ثم بين إذا كانت تمثل دالة أم لا. وهل هي متباينة أم لا؟ وهل هي منفصلة أم متصلة؟

أ) تمثل دالة، وهي متباينة، وهي متصلة.
ب) لا تمثل دالة، وهي متباينة، وهي منفصلة.
ج) تمثل دالة، وهي غير متباينة (ثابتة)، وهي متصلة.
د) تمثل دالة، وهي متباينة، وهي منفصلة.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: تمثل دالة، وهي متباينة، وهي متصلة.

الشرح: ١. المعادلة y = 2x - 3 هي معادلة خطية. ٢. كل معادلة خطية تمثل دالة (اختبار الخط الرأسي). ٣. رسمها البياني هو خط مستقيم ليس أفقيًا (ميله 2)، لذا فهي متباينة (ليست ثابتة). ٤. الخط المستقيم غير منقطع، لذا الدالة متصلة. النتيجة: تمثل دالة، متباينة، متصلة.

تلميح: تذكر: المعادلة الخطية من الصورة y = mx + b تمثل دالة (لكل x قيمة y واحدة). الرسم البياني خط مستقيم (متصل).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

حدد كلاً من المجال والمدى للدالة: y = [x] + 2.

أ) المجال: جميع الأعداد الحقيقية (ℝ). المدى: جميع الأعداد الصحيحة (ℤ).
ب) المجال: جميع الأعداد الصحيحة (ℤ). المدى: جميع الأعداد الحقيقية (ℝ).
ج) المجال: جميع الأعداد الحقيقية (ℝ). المدى: جميع الأعداد الحقيقية (ℝ).
د) المجال: الأعداد الصحيحة الموجبة. المدى: الأعداد الصحيحة الأكبر من أو تساوي 2.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: المجال: جميع الأعداد الحقيقية (ℝ). المدى: جميع الأعداد الصحيحة (ℤ).

الشرح: ١. الدالة الأساسية هي y = [x] (دالة الجزء الصحيح). ٢. مجال دالة الجزء الصحيح هو جميع الأعداد الحقيقية (ℝ). ٣. مدى دالة الجزء الصحيح هو جميع الأعداد الصحيحة (ℤ). ٤. الإضافة (+2) تنقل مدى الأعداد الصحيحة بمقدار 2، ولكن يبقى المدى مجموعة من الأعداد الصحيحة. ٥. النتيجة: المجال = ℝ، المدى = {..., -1, 0, 1, 2, 3, ...} وهو مجموعة الأعداد الصحيحة (ℤ).

تلميح: الدالة [x] هي دالة أكبر عدد صحيح (الجزء الصحيح). فكر في القيم التي يمكن أن يأخذها y عند تعويض قيم مختلفة لـ x.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب

أي العبارات التالية تكافئ 2/3(4m - 5n) + 1/5(2m + n)؟

أ) 46/15 m - 47/15 n
ب) 46m - 47n
ج) -mn/15
د) 5/4 m - 9/8 n

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 46/15 m - 47/15 n

الشرح: ١. وزّع 2/3: (2/3 × 4m) - (2/3 × 5n) = (8/3)m - (10/3)n. ٢. وزّع 1/5: (1/5 × 2m) + (1/5 × n) = (2/5)m + (1/5)n. ٣. اجمع الحدود في m: (8/3)m + (2/5)m = (40/15)m + (6/15)m = (46/15)m. ٤. اجمع الحدود في n: -(10/3)n + (1/5)n = -(50/15)n + (3/15)n = -(47/15)n. ٥. النتيجة: 46/15 m - 47/15 n.

تلميح: استخدم خاصية التوزيع أولاً، ثم اجمع الحدود المتشابهة بعد توحيد المقامات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

مثل بيانياً الدالة: f(x) = { -x , x < -2 ; x + 2 , -2 ≤ x ≤ 2 ; 5 , x > 2 }

أ) خط مستقيم واحد ميله موجب.
ب) رسم بياني متعدد التعريف: خط مائل للأسفل من اليسار حتى (-2, 2)، ثم خط مائل للأعلى من (-2, 0) إلى (2, 4)، ثم خط أفقي عند y=5 يمين (2, 5).
ج) منحنى قطع مكافئ.
د) خط أفقي عند y=2.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: رسم بياني متعدد التعريف: خط مائل للأسفل من اليسار حتى (-2, 2)، ثم خط مائل للأعلى من (-2, 0) إلى (2, 4)، ثم خط أفقي عند y=5 يمين (2, 5).

الشرح: ١. للجزء الأول (x < -2): f(x) = -x. ارسم خطاً ميله -1 (ينزل بمقدار 1 لكل 1 إلى اليمين). عند x = -2، القيمة ستكون 2، لكن الشرط x < -2 يعني أن النقطة (-2, 2) غير مشمولة (دائرة مفتوحة). ٢. للجزء الثاني (-2 ≤ x ≤ 2): f(x) = x + 2. ميله 1. عند x = -2، f(-2) = 0 (نقطة مغلقة). عند x = 2، f(2) = 4 (نقطة مغلقة). ٣. للجزء الثالث (x > 2): f(x) = 5. خط أفقي عند y=5. عند x = 2، القيمة 5 غير مشمولة (دائرة مفتوحة).

تلميح: ارسم كل جزء من الدالة في الفترة المحددة له. انتبه إلى النقاط المفتوحة والمغلقة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

مثل الدالة f(x) = |12x| بيانياً، ثم حدد كلاً من مجالها ومداها.

أ) الرسم: قطع مكافئ. المجال: x ≥ 0. المدى: جميع الأعداد الحقيقية.
ب) الرسم: خط مستقيم. المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: جميع الأعداد الحقيقية.
ج) الرسم: خطان متقاطعان عند الأصل يشكلان V. المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: y ≥ 0.
د) الرسم: خط أفقي. المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: y = 12.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الرسم: خطان متقاطعان عند الأصل يشكلان V. المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: y ≥ 0.

الشرح: ١. الدالة f(x) = |12x|. يمكن كتابتها كدالة متعددة التعريف: f(x) = 12x إذا كانت x ≥ 0، و f(x) = -12x إذا كانت x < 0. ٢. الرسم البياني: خط مستقيم ميله 12 في الربع الأول (لـ x ≥ 0)، وخط مستقيم ميله -12 في الربع الثاني (لـ x < 0). يتقاطعان عند النقطة (0,0) مشكلة حرف V. ٣. المجال: يمكن تعويض أي قيمة حقيقية في x، لذا المجال هو جميع الأعداد الحقيقية. ٤. المدى: ناتج القيمة المطلقة دائماً ≥ 0، لذا المدى هو جميع الأعداد الحقيقية y حيث y ≥ 0.

تلميح: تذكر أن القيمة المطلقة تحول أي مدخل إلى قيمة غير سالبة. شكل الرسم البياني للقيمة المطلقة هو V.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد كلاً من المجال والمدى للدالة: y = [x] + 2. (حيث [x] هي دالة أكبر عدد صحيح ≤ x).

أ) المجال: الأعداد الصحيحة. المدى: الأعداد الصحيحة.
ب) المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: جميع الأعداد الصحيحة.
ج) المجال: x ≥ 0. المدى: y ≥ 2.
د) المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: جميع الأعداد الحقيقية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: جميع الأعداد الصحيحة.

الشرح: ١. الدالة الأصلية هي دالة أكبر عدد صحيح: y = [x]. مجالها جميع الأعداد الحقيقية، ومداها جميع الأعداد الصحيحة. ٢. الدالة المعطاة: y = [x] + 2. هذه تحويل رأسي للدالة الأصلية بإضافة 2. ٣. المجال لا يتأثر بالتحويل الرأسي، لذا يبقى جميع الأعداد الحقيقية. ٤. المدى: كل قيمة في مدى [x] (وهي عدد صحيح z) تصبح z + 2، وهي أيضاً عدد صحيح. أصغر قيمة لـ [x] هي ...-2, -1, 0, 1... لذا أصغر قيمة لـ y = [x] + 2 هي ...0, 1, 2, 3... أي جميع الأعداد الصحيحة التي تساوي أو تزيد عن 2 (مع الأخذ في الاعتبار الأعداد الصحيحة السالبة أيضاً، فمثلاً إذا كان [x] = -5، فإن y = -3، وهو عدد صحيح ≥ 2؟ لا، -3 < 2. لذا يجب تصحيح: المدى هو جميع الأعداد الصحيحة (بما فيها السالبة) لأن [x] يمكن أن يأخذ أي قيمة صحيحة، وبجمع 2 تظل النتيجة عدداً صحيحاً، لكن ليس بالضرورة ≥ 2). التصحيح: المدى هو جميع الأعداد الصحيحة.

تلميح: تذكر أن ناتج دالة أكبر عدد صحيح [x] هو عدد صحيح دائماً. ماذا يحدث عندما نضيف 2 إلى عدد صحيح؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

يقدر الدخل بالريال لسيارة أجرة بالدالة f(x) = 0.35x + 49، حيث x عدد الكيلومترات التي تقطعها السيارة. ما قدر دخل السيارة إذا قطعت مسافة 250 km؟

أ) 84 ريالاً
ب) 112.50 ريالاً
ج) 136.50 ريالاً
د) 215 ريالاً

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 136.50 ريالاً

الشرح: 1. التعويض في الدالة: f(250) = 0.35(250) + 49 2. إجراء عملية الضرب: 0.35 × 250 = 87.5 3. إجراء عملية الجمع: 87.5 + 49 = 136.5 4. الناتج النهائي هو 136.50 ريالاً.

تلميح: عوض عن قيمة المتغير x بالمسافة المعطاة (250) في معادلة الدالة ثم قم بإجراء العمليات الحسابية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الخاصية الموضحة في المعادلة الآتية: (4 + 15)7 = 4(7) + 15(7)؟

أ) خاصية الإبدال
ب) خاصية التوزيع
ج) خاصية التجميع
د) خاصية العنصر المحايد

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: خاصية التوزيع

الشرح: ١. نلاحظ في المعادلة أن الرقم ٧ تم ضربه في الحد الأول داخل القوس (٤) ثم في الحد الثاني (١٥). ٢. هذه العملية تتبع القاعدة الرياضية: أ(ب + جـ) = أ ب + أ جـ. ٣. تُسمى هذه القاعدة بخاصية توزيع الضرب على الجمع.

تلميح: لاحظ كيف تم ضرب العدد الموجود خارج القوسين في كل حد من الحدود الموجودة داخلهما.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

📚 معلومات الصفحة

📝 ملخص الصفحة

📚 اختبار منتصف الفصل (الدروس 1-1 إلى 1-3)

المفاهيم الأساسية

خريطة المفاهيم

العلاقات والدوال

كتابة الدوال وإيجاد قيمتها

كتابة معادلة دالة من سياق لفظي

إيجاد قيمة الدالة عند عنصر معين

اختبار الخط الرأسي

شرط الدالة: لا يقطع أي خط رأسي التمثيل البياني بأكثر من نقطة

طريقة التحديد: من خلال التمثيل البياني للعلاقة

تمثيل العلاقات بيانياً

علاقة سرعة سيارة وزمنها (مع توقف)

علاقة طول شخص وعمره (من 5 إلى 60 سنة)

علاقة درجة الحرارة مع الوقت (من 6 صباحاً إلى 11 مساءً)

الدوال المنفصلة والدوال المتصلة

الهدف: استعمالهما لحل مسائل حياتية

الدالة المتصلة

الدالة المنفصلة

قاعدة الاختيار

الدوال المتعددة التعريف

تعريف: دالة تكتب باستعمال عبارتين أو أكثر

مثال: f(x) = \begin{cases} x-2, & x < -1 \\ x+3, & x \ge -1 \end{cases}

التمثيل البياني

أنواعها

تدرب وحل المسائل (صفحة 29)

تمثيل الدوال المتعددة التعريف بيانياً

كتابة الدالة المتعددة التعريف من التمثيل البياني

تطبيقات حياتية

تمثيل دوال القيمة المطلقة بيانياً

كتابة دالة القيمة المطلقة من التمثيل البياني

تدرب وحل المسائل (صفحة 30)

تمثيل دوال متعددة التعريف مختلطة

تحليل دوال القيمة المطلقة بطرق متعددة

مسائل مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة (32): كتابة علاقة باستعمال القيمة المطلقة بحيث يكون المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

تحدٍ (33): تمثيل المعادلة 5 - | 3 + y | = 2 |x| بيانياً.

تبرير (34): إعطاء مثال مضاد للجملة: "حتى تجد أكبر عدد صحيح لعدد غير صحيح x ، فإنك تقرّب x إلى أقرب عدد صحيح".

مسألة مفتوحة (35): كتابة دالة قيمة مطلقة f(x)، تحقق f(5) = -3.

شرح (36): شرح كيفية استعمال الدوال المتعددة التعريف لتمثيل مسائل من واقع الحياة من خلال مثال.

تدريب على اختبار

إجابة قصيرة (37): إيجاد الحد النوني للنمط في جدول.

اختيار من متعدد (38): تحديد الدالة التي فيها f(-1) \neq 1.

مراجعة تراكمية

إيجاد قيمة الدالة عند تعويض معين

تحديد مجموعات الأعداد

اختبار منتصف الفصل (صفحة 31)

تحديد مجموعات الأعداد

خصائص الأعداد الحقيقية

تبسيط العبارات الجبرية

تطبيق خاصية التوزيع

النظير الجمعي والضربي

تحديد مجال ومدى العلاقة والدالة

إيجاد قيمة الدالة

تمثيل الدوال المتعددة التعريف

دالة أكبر عدد صحيح

دالة القيمة المطلقة

نقاط مهمة

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

مثال: `f(x) = \begin{cases} x-2, & x < -1 \\ x+3, & x \ge -1 \end{cases}`

تحدٍ (33): تمثيل المعادلة `5 - | 3 + y | = 2 |x|` بيانياً.

مسألة مفتوحة (35): كتابة دالة قيمة مطلقة `f(x)`، تحقق `f(5) = -3`.

اختيار من متعدد (38): تحديد الدالة التي فيها `f(-1) \neq 1`.