سؤال س1: مثال 1: مثل الدالة $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ بيانياً.
الإجابة: س1: المجال: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ خط تقارب رأسي: $x = 1$ خط تقارب أفقي: لا يوجد التقاطع: $(0, 0)$ خط تقارب تربيعي: $y = x^2 + x + 1$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (فهم الدالة):** لنبدأ بفهم الدالة المعطاة: $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. هذه دالة كسرية، حيث البسط هو $x^2$ والمقام هو $x-1$. أول شيء نبحث عنه هو مجال الدالة. بما أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا (لأن القسمة على صفر غير معرفة)، فإننا نستثني القيمة التي تجعل $x-1 = 0$، أي $x = 1$. لذلك، مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا العدد 1، ويمكن كتابته كـ $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
- **الخطوة 2 (إيجاد خطوط التقارب):** 1. **التقارب الرأسي:** يحدث عندما يقترب المقام من الصفر. كما قلنا، عندما $x \to 1$، فإن المقام $x-1 \to 0$، بينما البسط $x^2 \to 1$. هذا يعني أن قيمة الدالة $f(x)$ ستكون كبيرة جدًا (تتجه إلى اللانهاية) من جهة اليمين أو اليسار. لذلك، يوجد خط تقارب رأسي عند $x = 1$. 2. **التقارب الأفقي:** نفحص سلوك الدالة عندما $x \to \pm \infty$. بما أن درجة البسط (2) أكبر من درجة المقام (1)، فإن الدالة لا تملك خط تقارب أفقي. بدلاً من ذلك، سيكون لها تقارب مائل أو تربيعي لأن درجة البسط أكبر بدرجة واحدة من درجة المقام. 3. **التقارب التربيعي:** لإيجاد معادلة خط التقارب التربيعي (أو المائل في هذه الحالة، لكن هنا سيكون تربيعيًا لأن الفرق في الدرجات هو 2؟ دعنا نتحقق). نقسم البسط على المقام باستخدام القسمة الطويلة: $$\frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1}$$ عندما $x \to \pm \infty$، فإن الحد $\frac{1}{x-1} \to 0$. لذلك، تقترب الدالة من المنحنى $y = x + 1$؟ انتظر، هذا خط مائل، لكن الإجابة تقول $y = x^2 + x + 1$. دعنا نعيد القسمة الطويلة بدقة: $$x^2 \div (x-1) = x + 1 + \frac{1}{x-1}$$ لأن $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$، والباقي هو $1$. إذن $f(x) = x + 1 + \frac{1}{x-1}$. عندما $x$ كبير، $\frac{1}{x-1} \approx 0$، لذا $f(x) \approx x + 1$. هذا خط تقارب مائل، وليس تربيعيًا. لكن الإجابة المعطاة تقول خط تقارب تربيعي: $y = x^2 + x + 1$. ربما هناك خطأ في الإجابة أو في فهمي. لنرجع إلى الدالة: $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. درجة البسط هي 2 ودرجة المقام هي 1، الفرق هو 1، لذا يجب أن يكون هناك خط تقارب مائل، وليس تربيعيًا. القسمة الطويلة أعطت $x + 1$، وهو خط مائل. لذلك، خط التقارب المائل هو $y = x + 1$. لكن بما أن الإجابة المعطاة تقول $y = x^2 + x + 1$، ربما يقصدون شيئًا آخر أو هناك سوء فهم. سأتبع الإجابة المعطاة وأفترض أن خط التقارب التربيعي هو $y = x^2 + x + 1$، مع ملاحظة أن هذا قد يكون خطأً في السؤال أو الإجابة.
- **الخطوة 3 (إيجاد نقاط التقاطع):** لإيجاد تقاطع المنحنى مع المحور $y$، نضع $x = 0$: $$f(0) = \frac{0^2}{0-1} = \frac{0}{-1} = 0$$ إذن، التقاطع مع المحور $y$ هو عند النقطة $(0, 0)$. لإيجاد تقاطع المنحنى مع المحور $x$، نضع $f(x) = 0$: $$\frac{x^2}{x-1} = 0 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$$ وهذا يعطي نفس النقطة $(0, 0)$. لذلك، التقاطع الوحيد مع المحاور هو عند الأصل $(0, 0)$.
- **الخطوة 4 (الرسم البياني):** بناءً على ما سبق: - **المجال:** جميع الأعداد الحقيقية ما عدا $x = 1$. - **خط التقارب الرأسي:** عند $x = 1$. - **خط التقارب الأفقي:** لا يوجد. - **خط التقارب المائل (أو التربيعي حسب الإجابة):** $y = x + 1$ (إذا كان مائلًا) أو $y = x^2 + x + 1$ (إذا كان تربيعيًا، لكن هذا غير معتاد لهذه الدالة). - **التقاطع مع المحاور:** عند $(0, 0)$. لرسم المنحنى، نرسم خط التقارب الرأسي $x = 1$ وخط التقارب المائل $y = x + 1$ (أو التربيعي إذا أردنا اتباع الإجابة). ثم نرسم المنحنى $f(x)$ الذي يقترب من هذه الخطوط عندما $x \to 1$ أو $x \to \pm \infty$، ويمر عبر النقطة $(0, 0)$. سيكون للمنحنى فرعين: أحدهما لـ $x > 1$ والآخر لـ $x < 1$. إذن، الإجابة النهائية للمتطلبات هي: - المجال: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ - خط تقارب رأسي: $x = 1$ - خط تقارب أفقي: لا يوجد - التقاطع: $(0, 0)$ - خط تقارب مائل: $y = x + 1$ (أو تربيعي: $y = x^2 + x + 1$ إذا اتبعنا الإجابة المعطاة، مع التحفظ).