فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً

المفاهيم الأساسية

نظام المتباينات الخطية (system of linear inequalities): حل النظام يعني إيجاد جميع الأزواج المرتبة التي تحقق جميع المتباينات في النظام.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات والدوال

تمثيل المتباينات الخطية ومتباينات القيمة المطلقة بيانياً

تمثيل المتباينات الخطية بيانياً

#### المفردات

##### المتباينة الخطية (linear inequality)

##### منطقة الحل (feasible region)

##### الحد (boundary)

#### الفكرة الأساسية

##### الفرق بين المعادلة والمتباينة هو رمز المساواة مقابل رمز المتباينة

##### مثال: y > -3x - 2 هي متباينة، و y = -3x - 2 هي معادلتها المرتبطة

#### خطوات التمثيل البياني

##### الخطوة 1: تمثيل الحد (المستقيم)

###### إذا كان الرمز > أو < : الحد خط متقطع (لا يحقق المتباينة)

###### إذا كان الرمز ≥ أو ≤ : الحد خط متصل (يحقق المتباينة)

##### الخطوة 2: اختيار نقطة (مثل (0,0)) لا تقع على الحد

##### الخطوة 3: تظليل المنطقة التي تحقق المتباينة

#### تمارين تطبيقية (من الصفحة)

##### تمارين أساسية (1-4)

###### y ≤ 4

###### x > -6

###### x + 4y ≤ 2

###### 3x + y > -8

##### تمارين "تدرب وحل المسائل" (8-13)

###### x + 2y > 6

###### y ≥ -3x - 2

###### 2y + 3 ≤ 11

###### 4x - 3y > 12

###### 6x + 4y ≤ -24

###### y ≥ \frac{3}{4}x + 6

تمثيل متباينات القيمة المطلقة بيانياً

#### خطوات التمثيل

##### الخطوة 1: مثل المعادلة المرتبطة (y = |x| - 4).

##### الخطوة 2: حدد إذا كان الحد متصلاً (≥ أو ≤) أو متقطعاً (> أو <).

##### الخطوة 3: اختبر نقطة لتحديد المنطقة المطلوب تظليلها.

#### تمارين تطبيقية (من الصفحة)

##### y ≥ |x + 3| (6)

##### y - 6 < |x| (7)

#### تمارين تطبيقية جديدة (من الصفحة 35)

##### تمارين على الشكل الأساسي (15-20)

###### y > |3x|

###### y + 4 ≤ |x - 2|

###### y - 6 < |-2x|

###### y + 8 < 2|\frac{2}{3}x + 6|

###### 2y > |4x - 5|

###### -y ≤ |3x - 4|

##### تمارين على أشكال متقدمة (22-24, 26-28)

###### y ≥ |-2x - 6|

###### y ≤ |x - 3| + 4

###### y - 3 > -2|x + 4|

###### y ≥ |x|

###### y < |x + 2|

###### y ≥ |x|

##### مسائل مهارات تفكير عليا (29-30)

###### مسألة مفتوحة: تكوين متباينة قيمتها المطلقة لا يقع حلها في الربعين الثاني أو الثالث.

###### تحدّ: تمثيل متباينة لدالة متعددة التعريف بيانياً:

g(x) > \begin{cases} |x + 1|, & x ≤ -4 \\ -|x|, & -4 < x < 2 \\ |x - 4|, & x ≥ 2 \end{cases}

تطبيق من واقع الحياة

#### مثال: دعوة تركي

##### المتباينة: 6p + 5d ≤ 150

###### حيث p عدد الفطائر، d عدد أكواب العصير.

##### الغرض: التأكد من أن السعر ضمن ميزانية 150 ريالاً.

#### مثال: مركز تدريب اللغة

##### المتباينة: \frac{1}{2}x + y ≤ 20

###### حيث x عدد الدروس (30 دقيقة)، y عدد الدروس (60 دقيقة).

##### الغرض: ألا يزيد زمن الدروس على 20 ساعة أسبوعيًا.

#### تطبيقات جديدة (من الصفحة 35)

##### تطبيق "أعمال" (21)

###### الموقف: سعيد يعمل عملين، أجرهما 20 و 25 ريال/ساعة، دخله الأسبوعي لا يقل عن 1500 ريال.

###### المطلوب: كتابة متباينة، تمثيلها بيانياً، والتحقق من حل معطى.

##### تطبيق "زينة" (25)

###### الموقف: ميساء تصنع عقوداً (x) وأساور (y) من الخرز.

###### المطلوب: كتابة متباينة للمواد المتاحة، تمثيلها بيانياً، وإعطاء ثلاثة حلول.

تمارين مهارات تفكير عليا (من الصفحة 36)

#### اكتشف الخطأ (31)

##### المتباينة: 2 ≥ x - y

##### الغرض: مقارنة تمثيلين بيانيين (زيد ومصعب) وتحديد الصحيح مع التفسير.

#### تبرير (32)

##### متى يكون من الممكن تظليل منطقتين مختلفتين عند تمثيل متباينة القيمة المطلقة؟

#### اكتب (33)

##### اذكر مثالاً لمتباينة قيمة مطلقة ليس لها حل مع التفسير.

تدريب على اختبار (من الصفحة 36)

#### اختيار من متعدد (34)

##### أي النقاط تقع في منطقة حل المتباينة 2 - < y + 3x؟

#### اختيار من متعدد (35)

##### أي الدوال مداها هو 0 ≤ (f(x) | f(x؟

مراجعة تراكمية (من الصفحة 36)

#### تمثيل دوال بيانياً (36-38)

##### (الدرس 3-1)

#### إيجاد قيم الدوال (39-41)

##### (الدرس 2-1)

###### f(-9)

###### g(-4)

###### h(12)

حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً

المفردات

#### نظام المتباينات الخطية (system of linear inequalities)

الفكرة الأساسية

#### حل النظام هو إيجاد الأزواج المرتبة التي تحقق جميع المتباينات في النظام.

#### منطقة الحل هي المنطقة المشتركة (المتقاطعة) بين مناطق حل كل متباينة.

خطوات الحل البياني

#### الخطوة 1: مثل كل متباينة في النظام بيانياً.

#### الخطوة 2: حدد المنطقة المظللة المشتركة بين مناطق حل متباينات النظام.

مثال توضيحي

#### حل النظام:

y > 2x - 4

y ≤ -0.5x + 3

##### المنطقة المشتركة (المنطقة 3) هي منطقة حل النظام.

##### التحقق باستخدام نقطة الاختبار (0,0):

###### 0 > -4 (صحيحة)

###### 0 ≤ 3 (صحيحة)

تطبيق من واقع الحياة

#### شروط إطلاق مركبة فضائية:

##### 35 ≤ x ≤ 100 (درجة الحرارة بالفهرنهايت)

##### y ≤ 30 (سرعة الرياح بالعقد)

```

نقاط مهمة

• حل نظام المتباينات الخطية هو إيجاد جميع الأزواج المرتبة التي تحقق جميع المتباينات في النظام.
• منطقة الحل على الرسم البياني هي المنطقة المشتركة (المتقاطعة) بين مناطق حل كل متباينة على حدة.
• يمكن التحقق من صحة الحل بتعويض نقطة تقع داخل منطقة الحل (مثل نقطة الأصل (0,0) إذا كانت داخلها) في جميع متباينات النظام.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

1-5

حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً Solving Systems of Linear Inequalities by Graphing

درست حل نظام من معادلتين خطيتين بيانياً. (مهارة سابقة)

• أحل نظام متباينات خطية بيانياً. • أحدد إحداثيات النقاط التي تمثل رؤوس منطقة الحل.

نظام المتباينات الخطية system of linear inequalities

لماذا؟

تؤخذ الحالة الجوية بالاعتبار عند إطلاق المركبات الفضائية، فيجب أن تكون درجة الحرارة بين 35°F و 100°F، وأن لا تزيد سرعة الرياح على 30 عقدة. ويمكن تمثيل هذه الشروط بنظام من المتباينات الخطية كما في الشكل المجاور.

نظام المتباينات الخطية: حل نظام المتباينات الخطية يعني إيجاد أزواج مرتبة تحقق جميع المتباينات في النظام.

مفهوم أساسي: حل أنظمة المتباينات الخطية

الخطوة 1: مثل كل متباينة في النظام بيانياً. الخطوة 2: حدد المنطقة المظللة المشتركة بين مناطق حل متباينات النظام والتي تمثل منطقة حل النظام.

مثال 1: مناطق الحل المتقاطعة

حل النظام الآتي بيانياً: y > 2x - 4 y ≤ -0.5x + 3 بتمثيل المتباينتين بيانياً نجد أن: حل المتباينة y > 2x - 4 ← المنطقتان: 1, 3 حل المتباينة y ≤ -0.5x + 3 ← المنطقتان: 2, 3 المنطقة 3 هي منطقة مشتركة بين منطقتي حل المتباينتين، وعليه فتكون هي منطقة حل النظام.

لاحظ أن نقطة الأصل تنتمي إلى منطقة حل النظام، ويمكن استعمال نقطة الأصل نقطة اختبار. والتحقق من صحة الحل بتعويض (0, 0) بدلاً من x, y في كلتا المتباينتين. y > 2x - 4 0 > 2(0) - 4 0 > 0 - 4 0 > -4 (صحيحة) y ≤ -0.5x + 3 0 ≤ -0.5(0) + 3 0 ≤ 0 + 3 0 ≤ 3 (صحيحة)

تحقق من فهمك

1A) y ≤ -2x + 5 y > -1/4x - 6

1B) y ≥ |x| y < 4/3x + 5

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 1-5 حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً Solving Systems of Linear Inequalities by Graphing --- SECTION: فيما سبق --- درست حل نظام من معادلتين خطيتين بيانياً. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- • أحل نظام متباينات خطية بيانياً. • أحدد إحداثيات النقاط التي تمثل رؤوس منطقة الحل. --- SECTION: المفردات --- نظام المتباينات الخطية system of linear inequalities لماذا؟ تؤخذ الحالة الجوية بالاعتبار عند إطلاق المركبات الفضائية، فيجب أن تكون درجة الحرارة بين 35°F و 100°F، وأن لا تزيد سرعة الرياح على 30 عقدة. ويمكن تمثيل هذه الشروط بنظام من المتباينات الخطية كما في الشكل المجاور. --- SECTION: نظام المتباينات الخطية --- نظام المتباينات الخطية: حل نظام المتباينات الخطية يعني إيجاد أزواج مرتبة تحقق جميع المتباينات في النظام. مفهوم أساسي: حل أنظمة المتباينات الخطية الخطوة 1: مثل كل متباينة في النظام بيانياً. الخطوة 2: حدد المنطقة المظللة المشتركة بين مناطق حل متباينات النظام والتي تمثل منطقة حل النظام. مثال 1: مناطق الحل المتقاطعة حل النظام الآتي بيانياً: y > 2x - 4 y ≤ -0.5x + 3 بتمثيل المتباينتين بيانياً نجد أن: حل المتباينة y > 2x - 4 ← المنطقتان: 1, 3 حل المتباينة y ≤ -0.5x + 3 ← المنطقتان: 2, 3 المنطقة 3 هي منطقة مشتركة بين منطقتي حل المتباينتين، وعليه فتكون هي منطقة حل النظام. --- SECTION: تحقق --- لاحظ أن نقطة الأصل تنتمي إلى منطقة حل النظام، ويمكن استعمال نقطة الأصل نقطة اختبار. والتحقق من صحة الحل بتعويض (0, 0) بدلاً من x, y في كلتا المتباينتين. y > 2x - 4 0 > 2(0) - 4 0 > 0 - 4 0 > -4 (صحيحة) y ≤ -0.5x + 3 0 ≤ -0.5(0) + 3 0 ≤ 0 + 3 0 ≤ 3 (صحيحة) تحقق من فهمك 1A) y ≤ -2x + 5 y > -1/4x - 6 1B) y ≥ |x| y < 4/3x + 5 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a shaded region representing the safe conditions for spacecraft launch. The region is bounded horizontally by the x-axis (y=0) and a solid line at y=30. It is bounded vertically by two dashed lines at x=35 and x=100. X-axis: درجة الحرارة (°F) Y-axis: سرعة الرياح (عقدة) Context: Visualizes a system of linear inequalities in a real-world context: x ≥ 35, x ≤ 100, y ≤ 30. **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing the intersection of two linear inequalities. Line 1 (y = 2x - 4) is dashed, indicating a strict inequality (>). Line 2 (y = -0.5x + 3) is solid, indicating a non-strict inequality (≤). X-axis: x Y-axis: y Context: Demonstrates the graphical solution of a system of linear inequalities where the solution is the overlapping shaded area.