قراءة الرياضيات - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 أنظمة المتباينات الخطية (حالات خاصة وتطبيقات)

المفاهيم الأساسية

المجموعة الخالية (Ø أو { }): هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات والدوال

حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً

الحالة الخاصة: أنظمة ليس لها حل

#### المجموعة الخالية (Ø أو { })

##### تحدث عندما لا تتقاطع منطقتا حل المتباينتين

##### مثال: النظام y ≥ x+5 و y < x-4

###### الخطان y=x+5 و y=x-4 متوازيان

###### منطقتي الحل لا تتقاطعان

###### مجموعة الحل هي Ø

تطبيق من واقع الحياة: كتابة نظام من المتباينات

#### مثال: إدارة وقت الدراسة (فاطمة)

##### المتغيرات:

###### x: عدد ساعات دراسة الرياضيات

###### y: عدد ساعات دراسة الفيزياء

##### نظام المتباينات:

###### 7 ≤ x ≤ 14

###### 8 ≤ y ≤ 12

###### x + y ≤ 23

##### التمثيل البياني:

###### منطقة الحل هي المنطقة المشتركة التي تحقق جميع المتباينات

###### أحد الحلول الممكنة: (11, 10) (11 ساعة رياضيات، 10 ساعات فيزياء)

#### تمرين تطبيقي: تناوب القيادة في رحلة

##### المتغيرات:

###### x: ساعات قيادة مشاري

###### y: ساعات قيادة بدر

##### نظام المتباينات (من التمرين):

###### 4 ≤ x ≤ 8

###### 2 ≤ y ≤ 5

###### x + y ≤ 10

```

نقاط مهمة

• قد لا يوجد حل لنظام المتباينات إذا كانت منطقتا الحل لا تتقاطعان.
• في حالة عدم وجود حل، تكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية (Ø).
• تُستعمل أنظمة المتباينات الخطية في نمذجة وحل مسائل من واقع الحياة، مثل تخطيط الوقت والموارد.
• عند كتابة نظام من المتباينات لتمثيل موقف واقعي:

1. حدد المتغيرات.

2. اترجم الشروط اللفظية (مثل "لا يقل عن"، "لا يزيد على"، "على الأكثر") إلى رموز رياضية (≤ ، ≥).

3. اكتب جميع المتباينات لتشكل نظاماً.

• حل النظام في التطبيقات العملية هو أي زوج مرتب يقع داخل منطقة الحل المشتركة على التمثيل البياني.

يمكن أن لا تتقاطع منطقتا حل متباينتين، وعليه فلا يوجد حل للنظام في هذه الحالة، وتكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر ويرمز إليها بأحد الرمزين أو { }.

مناطق الحل غير المتقاطعة حل النظام الآتي بيانيا : y≥x+5 y<x-4 بتمثيل المتباينتين بيانيا، نجد أن منطقتي الحل لا تتقاطعان، وبالتالي لا توجد نقاط مشتركة بينهما، ولذا فليس للنظام حل. ومجموعة الحل هي Ø.

y ≥ |x| y<x-6 (2B y ≥ -4x + 8 (2A y < -4x + 4

تستعمل أنظمة المتباينات الخطية في حل مسائل من واقع الحياة.

من واقع الحياة كتابة نظام من المتباينات إدارة الوقت لدى فاطمة 25 ساعة على الأكثر للاستعداد لأداء 3 اختبارات في الرياضيات والفيزياء والتربية المهنية، فوضعت جدولاً زمنيا استعدادًا لذلك، فخصصت ساعتين لدراسة التربية المهنية، وخصصت من 7 إلى 14 ساعة لدراسة الرياضيات، أما الفيزياء فخصصت لدراستها من 8 إلى 12 ساعة. اكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف ومثله بيانيا. الرياضيات بافتراض أن عدد ساعات دراسة الرياضيات x، فإن هذا العدد لا يقل عن 7 ساعات ولا يزيد على 14 ساعة أي أن: 7 ≤ x ≤ 14 الفيزياء : بافتراض أن عدد ساعات دراسة الفيزياء ، فإن هذا العدد لا يقل عن 8 ساعات ولا يزيد على 12 ساعة أي أن: 8 ≤ y ≤ 12 وبما أن إجمالي وقت الدراسة هو 25 ساعة ، ساعتان منها لدراسة مادة التربية المهنية، ويتبقى 23 ساعة على الأكثر لدراسة الرياضيات والفيزياء فإن: x + y ≤ 23 مثل المتباينات بيانيا. أي زوج مرتب في منطقة حل النظام يمثل حلا للنظام؟ أحد الحلول الممكنة هو 10 ساعات لدراسة الفيزياء، و 11 ساعة لدراسة الرياضيات.

3 سفر : خرج مشاري وبدر في رحلة لزيارة بعض محافظات المملكة برا فتناوبا قيادة السيارة. فإذا كانت فترات قيادة مشاري للسيارة على نحو متواصل في اليوم لا تقل عن 4 ساعات، ولا تزيد على 8 ساعات، وكانت فترات قيادة بدر للسيارة على نحو متواصل في اليوم لا تقل عن ساعتين ولا تزيد على 5 ساعات وكان إجمالي زمن قيادة كليهما يوميا لا يزيد على 10 ساعات، فاكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف، ثم مثله بيانيا.

--- SECTION: قراءة الرياضيات --- يمكن أن لا تتقاطع منطقتا حل متباينتين، وعليه فلا يوجد حل للنظام في هذه الحالة، وتكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر ويرمز إليها بأحد الرمزين أو { }. --- SECTION: مثال 2 --- مناطق الحل غير المتقاطعة حل النظام الآتي بيانيا : y≥x+5 y<x-4 بتمثيل المتباينتين بيانيا، نجد أن منطقتي الحل لا تتقاطعان، وبالتالي لا توجد نقاط مشتركة بينهما، ولذا فليس للنظام حل. ومجموعة الحل هي Ø. --- SECTION: تحقق من فهمك --- y ≥ |x| y<x-6 (2B y ≥ -4x + 8 (2A y < -4x + 4 تستعمل أنظمة المتباينات الخطية في حل مسائل من واقع الحياة. --- SECTION: مثال 3 --- من واقع الحياة كتابة نظام من المتباينات إدارة الوقت لدى فاطمة 25 ساعة على الأكثر للاستعداد لأداء 3 اختبارات في الرياضيات والفيزياء والتربية المهنية، فوضعت جدولاً زمنيا استعدادًا لذلك، فخصصت ساعتين لدراسة التربية المهنية، وخصصت من 7 إلى 14 ساعة لدراسة الرياضيات، أما الفيزياء فخصصت لدراستها من 8 إلى 12 ساعة. اكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف ومثله بيانيا. الرياضيات بافتراض أن عدد ساعات دراسة الرياضيات x، فإن هذا العدد لا يقل عن 7 ساعات ولا يزيد على 14 ساعة أي أن: 7 ≤ x ≤ 14 الفيزياء : بافتراض أن عدد ساعات دراسة الفيزياء ، فإن هذا العدد لا يقل عن 8 ساعات ولا يزيد على 12 ساعة أي أن: 8 ≤ y ≤ 12 وبما أن إجمالي وقت الدراسة هو 25 ساعة ، ساعتان منها لدراسة مادة التربية المهنية، ويتبقى 23 ساعة على الأكثر لدراسة الرياضيات والفيزياء فإن: x + y ≤ 23 مثل المتباينات بيانيا. أي زوج مرتب في منطقة حل النظام يمثل حلا للنظام؟ أحد الحلول الممكنة هو 10 ساعات لدراسة الفيزياء، و 11 ساعة لدراسة الرياضيات. --- SECTION: تحقق من فهمك --- 3 سفر : خرج مشاري وبدر في رحلة لزيارة بعض محافظات المملكة برا فتناوبا قيادة السيارة. فإذا كانت فترات قيادة مشاري للسيارة على نحو متواصل في اليوم لا تقل عن 4 ساعات، ولا تزيد على 8 ساعات، وكانت فترات قيادة بدر للسيارة على نحو متواصل في اليوم لا تقل عن ساعتين ولا تزيد على 5 ساعات وكان إجمالي زمن قيادة كليهما يوميا لا يزيد على 10 ساعات، فاكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف، ثم مثله بيانيا. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Graph of y≥x+5 and y<x-4 Description: Two linear equations graphed on a Cartesian plane. The lines are parallel and do not intersect. X-axis: x Y-axis: y (Note: Some details are estimated) **GRAPH**: Graph of 7≤x≤14, 8≤y≤12, x+y≤23 Description: Graph showing the feasible region for the system of inequalities. X-axis: ساعات دراسة الرياضيات Y-axis: ساعات دراسة الفيزياء (Note: Some details are estimated)