تأكد - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً (تطبيقات)

المفاهيم الأساسية

نظام المتباينات الخطية: مجموعة من متباينتين خطيتين أو أكثر في متغيرين (مثل x و y)، ويمثل حله بيانياً منطقة التقاطع لمناطق حل كل متباينة على حدة.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات والدوال

حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً

الحالة الخاصة: أنظمة ليس لها حل

#### المجموعة الخالية (Ø أو { })

##### تحدث عندما لا تتقاطع منطقتا حل المتباينتين

##### مثال: النظام y ≥ x+5 و y < x-4

###### الخطان y=x+5 و y=x-4 متوازيان

###### منطقتي الحل لا تتقاطعان

###### مجموعة الحل هي Ø

تطبيق من واقع الحياة: كتابة نظام من المتباينات

#### مثال: إدارة وقت الدراسة (فاطمة)

##### المتغيرات:

###### x: عدد ساعات دراسة الرياضيات

###### y: عدد ساعات دراسة الفيزياء

##### نظام المتباينات:

###### 7 ≤ x ≤ 14

###### 8 ≤ y ≤ 12

###### x + y ≤ 23

##### التمثيل البياني:

###### منطقة الحل هي المنطقة المشتركة التي تحقق جميع المتباينات

###### أحد الحلول الممكنة: (11, 10) (11 ساعة رياضيات، 10 ساعات فيزياء)

#### تمرين تطبيقي: تناوب القيادة في رحلة

##### المتغيرات:

###### x: ساعات قيادة مشاري

###### y: ساعات قيادة بدر

##### نظام المتباينات (من التمرين):

###### 4 ≤ x ≤ 8

###### 2 ≤ y ≤ 5

###### x + y ≤ 10

إيجاد رؤوس منطقة الحل

#### الطريقة:

##### 1. مثل كل متباينة بيانياً.

##### 2. أوجد إحداثيات نقاط تقاطع المستقيمات المحددة للمنطقة.

#### مثال 4:

##### النظام:

###### y = 2x - 8

###### y ≤ -x + 6

###### 4y = -15x - 32

##### الرؤوس:

###### (-4, 7)

###### (0, -8)

###### (6, 4) (بعد حل نظام المعادلتين y = 2x - 8 و y = -x + 6)

##### التحقق: مقارنة الإحداثيات مع التمثيل البياني.

تطبيقات عملية (من أمثلة الصفحة)

#### مثال 3: مشتريات ليلى

##### المتغيرات:

###### x: عدد رزم النوع الأول (10 أقلام/رزمة)

###### y: عدد رزم النوع الثاني (8 أقلام/رزمة)

##### نظام المتباينات:

###### 35x + 25y ≤ 350 (لا يتجاوز 350 ريالاً)

###### 10x + 8y ≥ 40 (40 قلماً على الأقل)

###### x ≥ 0, y ≥ 0 (عدد الرزم لا يمكن أن يكون سالباً)

#### مثال 3 (آخر): عمل جزئي (سعيد)

##### المتغيرات:

###### x: عدد ساعات العمل الأول

###### y: عدد ساعات العمل الثاني

##### نظام المتباينات:

###### x + y ≤ 25 (لا تزيد على 25 ساعة أسبوعياً)

###### x ≥ 0, y ≥ 0 (عدد الساعات لا يمكن أن يكون سالباً)

```

نقاط مهمة

• عند تمثيل نظام متباينات بيانياً، منطقة الحل هي المنطقة المشتركة التي تحقق جميع المتباينات في النظام.
• في التطبيقات العملية (مثل المشتريات أو إدارة الوقت)، غالباً ما تضاف متباينات عدم السلبية (x ≥ 0, y ≥ 0) لأن الكميات لا يمكن أن تكون سالبة.
• يمكن أن تكون منطقة الحل مضلعاً (مثلثاً، رباعياً)، ويمكن إيجاد رؤوسه بحل أنظمة المعادلات الناتجة من تقاطع المستقيمات الحدودية.
• تحتوي الصفحة على 22 تمريناً متنوعاً لممارسة تمثيل الأنظمة بيانياً، تتراوح بين أنظمة بسيطة (متباينتين) وأنظمة أكثر تعقيداً (ثلاث متباينات أو أكثر).

المثالان 2 , 1 حل كل نظام مما يأتي بيانياً:

y ≤ 6 y > -3 + x

y ≤ -3x + 4 y ≥ 2x - 1

y > -2x + 10 y ≤ -3x - 3

مشتريات: خصصت ليلى مبلغاً لا يتجاوز 350 ريالاً لشراء نوعين من الأقلام، يباع الأول في رزم تضم الواحدة منها 10 أقلام وثمنها 35 ريالاً، ويباع الثاني في رزم الواحدة منها 8 أقلام وثمنها 25 ريالاً. فإذا أرادت ليلى شراء 40 قلماً على الأقل من كلا النوعين. فاكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف، ومثله بيانياً.

أوجد إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني لكل نظام مما يأتي:

y ≥ 2x + 1 y ≤ 8 4x + 3y ≥ 8

y ≥ -2x - 4 6y ≤ x + 28 y ≥ 13x - 34

x < 3 y ≥ -4

y > 3x - 5 y ≤ 4

y < -3x + 4 3y + x > -6

y ≥ 0 y < x

6x - 2y ≥ 12 3x + 4y > 12

-8x > -2y - 1 -4y ≥ 2x - 5

5y < 2x + 10 y - 4x > 8

3y - 2x ≤ -24 y ≥ 2/3 x - 1

y > -2/5 x + 2 5y ≤ -2x - 15

عمل جزئي: يعمل سعيد عملين جزئيين، ويتقاضى على كل منهما أجراً؛ فيتقاضى 20 ريالاً عن كل ساعة في العمل الأول، و 24 ريالاً عن كل ساعة في العمل الثاني، فإذا علمت أنه يعمل مدة لا تزيد على 25 ساعة في كلا العملين أسبوعياً. فاكتب نظاماً من متباينتين يبين عدد الساعات التي يعملها في كل من العملين؛ ثم مثله بيانياً.

حل كل نظام مما يأتي بيانياً:

x ≥ 0 y ≥ 0 x + 2y < 4

y ≥ 3x - 7 y ≤ 8 x + y > 1

x ≤ 4 y > -3x + 12 y ≤ 9

-3x + 4y ≤ 15 2y + 5x > -12 10y + 60 ≥ 27x

8y - 19x < 74 38y + 26x ≤ 119 54y - 12x ≥ -198

6y - 24x ≥ -168 8y + 7x > 10 20y - 2x ≤ 64

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

40

--- SECTION: تأكد --- المثالان 2 , 1 حل كل نظام مما يأتي بيانياً: --- SECTION: 1 --- y ≤ 6 y > -3 + x --- SECTION: 2 --- y ≤ -3x + 4 y ≥ 2x - 1 --- SECTION: 3 --- y > -2x + 10 y ≤ -3x - 3 --- SECTION: مثال 3 --- مشتريات: خصصت ليلى مبلغاً لا يتجاوز 350 ريالاً لشراء نوعين من الأقلام، يباع الأول في رزم تضم الواحدة منها 10 أقلام وثمنها 35 ريالاً، ويباع الثاني في رزم الواحدة منها 8 أقلام وثمنها 25 ريالاً. فإذا أرادت ليلى شراء 40 قلماً على الأقل من كلا النوعين. فاكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف، ومثله بيانياً. --- SECTION: مثال 4 --- أوجد إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني لكل نظام مما يأتي: --- SECTION: 5 --- y ≥ 2x + 1 y ≤ 8 4x + 3y ≥ 8 --- SECTION: 6 --- y ≥ -2x - 4 6y ≤ x + 28 y ≥ 13x - 34 --- SECTION: 7 --- x < 3 y ≥ -4 --- SECTION: 8 --- y > 3x - 5 y ≤ 4 --- SECTION: 9 --- y < -3x + 4 3y + x > -6 --- SECTION: 10 --- y ≥ 0 y < x --- SECTION: 11 --- 6x - 2y ≥ 12 3x + 4y > 12 --- SECTION: 12 --- -8x > -2y - 1 -4y ≥ 2x - 5 --- SECTION: 13 --- 5y < 2x + 10 y - 4x > 8 --- SECTION: 14 --- 3y - 2x ≤ -24 y ≥ 2/3 x - 1 --- SECTION: 15 --- y > -2/5 x + 2 5y ≤ -2x - 15 --- SECTION: مثال 3 --- عمل جزئي: يعمل سعيد عملين جزئيين، ويتقاضى على كل منهما أجراً؛ فيتقاضى 20 ريالاً عن كل ساعة في العمل الأول، و 24 ريالاً عن كل ساعة في العمل الثاني، فإذا علمت أنه يعمل مدة لا تزيد على 25 ساعة في كلا العملين أسبوعياً. فاكتب نظاماً من متباينتين يبين عدد الساعات التي يعملها في كل من العملين؛ ثم مثله بيانياً. --- SECTION: تدرب وحل المسائل --- حل كل نظام مما يأتي بيانياً: --- SECTION: 17 --- x ≥ 0 y ≥ 0 x + 2y < 4 --- SECTION: 18 --- y ≥ 3x - 7 y ≤ 8 x + y > 1 --- SECTION: 19 --- x ≤ 4 y > -3x + 12 y ≤ 9 --- SECTION: 20 --- -3x + 4y ≤ 15 2y + 5x > -12 10y + 60 ≥ 27x --- SECTION: 21 --- 8y - 19x < 74 38y + 26x ≤ 119 54y - 12x ≥ -198 --- SECTION: 22 --- 6y - 24x ≥ -168 8y + 7x > 10 20y - 2x ≤ 64 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 40