فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 البرمجة الخطية والحل الأمثل

المفاهيم الأساسية

البرمجة الخطية: طريقة لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ما تحت قيود معينة (متباينات خطية)، وذلك بعد تمثيل نظام المتباينات بيانيًا. تقع القيمة العظمى أو الصغرى - إن وجدت - للدالة دائمًا عند أحد رؤوس منطقة الحل.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات والدوال

حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً

باستخدام الحاسبة البيانية (TI-nspire)

#### الهدف

##### استعمال الحاسبة البيانية لحل أنظمة متباينات خطية

#### الخطوات العامة

##### 1. افتح تطبيق الرسوم البيانية

##### 2. اكتب المتباينة الأولى

##### 3. اكتب المتباينة الثانية

##### 4. منطقة الحل هي منطقة التظليل المشترك

#### مثال توضيحي

##### النظام: y ≥ -3x+4 و y ≤ 2x-1

###### نمط التظليل فوق المستقيم y = -3x+4

###### نمط التظليل تحت المستقيم y = 2x-1

###### منطقة الحل هي تقاطع نمطي التظليل

تطبيقات عملية (من أمثلة الصفحة)

مسائل مهارات التفكير العليا (ص 42)

البرمجة الخطية والحل الأمثل

الهدف

#### إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ضمن منطقة الحل

#### استعمال البرمجة الخطية لحل مسائل حياتية

المفردات

#### القيود (Constraints)

#### منطقة الحل محدودة (Bounded)

#### منطقة الحل غير محدودة (Unbounded)

#### الحل الأمثل (Optimize)

القاعدة الأساسية

#### إذا كانت منطقة الحل محدودة (مغلقة)، فإن القيمة العظمى والصغرى تظهر دائمًا عند رؤوس منطقة الحل.

#### إذا كانت منطقة الحل غير محدودة (مفتوحة)، فقد تحتوي على قيمة عظمى أو صغرى.

مثال تطبيقي (من الصفحة)

#### قيود الإنتاج

##### المقاس الصغير: من 600 إلى 1500 ثوب يوميًا، تكلفة 55 ريال للثوب.

##### المقاس الكبير: من 800 إلى 1700 ثوب يوميًا، تكلفة 70 ريال للثوب.

##### قيد إضافي: إنتاج لا يقل عن 2000 ثوب يوميًا من كلا المقاسين.

##### السؤال: كم ثوبًا من كل مقاس يجب إنتاجه لتكون التكلفة أقل ما يمكن؟

```

نقاط مهمة

• تواجه المصانع أوضاعًا ضمن قيود مختلفة (كالطلب والشحن) وتسعى للوصول إلى أقل تكلفة أو أعلى ربح، ويمكن التعامل معها باستعمال البرمجة الخطية.
• يتم التعبير عن القيود في مسائل البرمجة الخطية باستعمال أنظمة المتباينات الخطية.
• منطقة الحل هي المنطقة التي تحقق جميع قيود (متباينات) المسألة.
• يتم إيجاد الحل الأمثل (أقل تكلفة أو أعلى ربح) بتعويض إحداثيات رؤوس منطقة الحل في الدالة الهدف (دالة التكلفة أو الربح).

1-6 البرمجة الخطية والحل الأمثل Optimization with Linear Programming

درست حل أنظمة متباينات خطية بيانيًا. (مهارة سابقة)

• أجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى لدالة ضمن منطقة الحل. • أستعمل البرمجة الخطية لإيجاد الحل الأمثل لمسائل حياتية.

القيود constraints البرمجة الخطية linear programming محدودة bounded غير محدودة unbounded الحل الأمثل optimize

يبين الجدول أدناه أكبر وأقل عدد للأثواب المنتجة في اليوم الواحد من المقاسين الكبير والصغير، وتكلفة إنتاج كل ثوب منها في أحد المصانع الوطنية.

إذا كان عدد الأثواب المطلوب إنتاجها من المقاسين في اليوم الواحد لا يقل عن 2000 ثوب، فكم ثوبًا من كل مقاس يجب إنتاجه لتكون التكلفة أقل ما يمكن؟

هناك قيود إضافية على إنتاج المصنع ناجمة عن الطلب والشحن وكفاءة المصنع. وللتعبير عن هذه القيود يمكن استعمال أنظمة المتباينات الخطية.

تواجه المصانع في كثير من الأحيان أوضاعًا ضمن قيود مختلفة وتسعى للوصول إلى أقل تكلفة أو إلى أعلى ربح. مثل هذه الأوضاع يمكن التعامل معها عادة باستعمال البرمجة الخطية.

هي طريقة لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ما تحت قيود معينة كل منها عبارة عن متباينة خطية، وذلك بعد تمثيل نظام المتباينات بيانيًا، وتقع القيمة العظمى أو الصغرى - إن وجدت - للدالة ذات الصلة دائمًا عند أحد رؤوس منطقة الحل.

مفهوم أساسي: منطقة الحل

إذا كانت منطقة الحل محدودة (مغلقة) أو محصورة بقيود كما في الشكل أعلاه، فإن القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة تظهر دائمًا عند رؤوس منطقة الحل.

إذا كانت منطقة الحل مفتوحة وممتدة، فهي بذلك غير محدودة، ويمكن أن تحتوي على قيمة عظمى أو قيمة صغرى.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

44 الفصل 1 الدوال والمتباينات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

1-6 البرمجة الخطية والحل الأمثل Optimization with Linear Programming --- SECTION: فيما سبق --- درست حل أنظمة متباينات خطية بيانيًا. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- • أجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى لدالة ضمن منطقة الحل. • أستعمل البرمجة الخطية لإيجاد الحل الأمثل لمسائل حياتية. --- SECTION: المفردات --- القيود constraints البرمجة الخطية linear programming محدودة bounded غير محدودة unbounded الحل الأمثل optimize --- SECTION: لماذا؟ --- يبين الجدول أدناه أكبر وأقل عدد للأثواب المنتجة في اليوم الواحد من المقاسين الكبير والصغير، وتكلفة إنتاج كل ثوب منها في أحد المصانع الوطنية. --- SECTION: لماذا؟ - تابع --- إذا كان عدد الأثواب المطلوب إنتاجها من المقاسين في اليوم الواحد لا يقل عن 2000 ثوب، فكم ثوبًا من كل مقاس يجب إنتاجه لتكون التكلفة أقل ما يمكن؟ هناك قيود إضافية على إنتاج المصنع ناجمة عن الطلب والشحن وكفاءة المصنع. وللتعبير عن هذه القيود يمكن استعمال أنظمة المتباينات الخطية. --- SECTION: القيمة العظمى والقيمة الصغرى --- تواجه المصانع في كثير من الأحيان أوضاعًا ضمن قيود مختلفة وتسعى للوصول إلى أقل تكلفة أو إلى أعلى ربح. مثل هذه الأوضاع يمكن التعامل معها عادة باستعمال البرمجة الخطية. --- SECTION: البرمجة الخطية --- هي طريقة لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ما تحت قيود معينة كل منها عبارة عن متباينة خطية، وذلك بعد تمثيل نظام المتباينات بيانيًا، وتقع القيمة العظمى أو الصغرى - إن وجدت - للدالة ذات الصلة دائمًا عند أحد رؤوس منطقة الحل. --- SECTION: مفهوم أساسي: منطقة الحل --- مفهوم أساسي: منطقة الحل إذا كانت منطقة الحل محدودة (مغلقة) أو محصورة بقيود كما في الشكل أعلاه، فإن القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة تظهر دائمًا عند رؤوس منطقة الحل. إذا كانت منطقة الحل مفتوحة وممتدة، فهي بذلك غير محدودة، ويمكن أن تحتوي على قيمة عظمى أو قيمة صغرى. رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 44 الفصل 1 الدوال والمتباينات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: عدد الأثواب المنتجة في اليوم الواحد Description: No description Table Structure: Headers: المقاس | أقل عدد | أكبر عدد | تكلفة إنتاج الثوب Rows: Row 1: صغير | 600 | 1500 | 55 ريال Row 2: كبير | 800 | 1700 | 70 ريال Calculation needed: حساب التكلفة الإجمالية بناءً على عدد الأثواب من كل مقاس Context: يوفر البيانات اللازمة لمسألة البرمجة الخطية في قسم 'لماذا؟' **GRAPH**: منطقة الحل (محدودة) Description: تمثيل بياني يوضح منطقة حل مغلقة محاطة بأربعة قيود خطية، مع تحديد الرؤوس (Vertices). Context: يوضح مفهوم منطقة الحل المحدودة حيث توجد القيم العظمى والصغرى عند الرؤوس. **GRAPH**: منطقة الحل (غير محدودة) Description: تمثيل بياني يوضح منطقة حل مفتوحة ممتدة في الربع الأول، محددة بقيود خطية من الأسفل واليسار فقط. Context: يوضح مفهوم منطقة الحل غير المحدودة التي قد لا تحتوي على قيمة عظمى.