سؤال 1: إذا كانت x تتغير طرديًا مع y، فأوجد قيمة x عندما y = 14 و y = 8 فأوجد قيمة y عندما x = 1.
الإجابة: y = 21, x = 1
📚 معلومات الصفحة
الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2
الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم
نوع المحتوى: درس تعليمي
📝 ملخص الصفحة
📚 البرمجة الخطية والحل الأمثل
المفاهيم الأساسية
رمز الدالة: يستعمل الرمز (f(x, y للتعبير عن الدالة في المتغيرين x, y.
خريطة المفاهيم
```markmap
العلاقات والدوال
حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً
باستخدام الحاسبة البيانية (TI-nspire)
#### الهدف
##### استعمال الحاسبة البيانية لحل أنظمة متباينات خطية
#### الخطوات العامة
##### 1. افتح تطبيق الرسوم البيانية
##### 2. اكتب المتباينة الأولى
##### 3. اكتب المتباينة الثانية
##### 4. منطقة الحل هي منطقة التظليل المشترك
#### مثال توضيحي
##### النظام: y ≥ -3x+4 و y ≤ 2x-1
###### نمط التظليل فوق المستقيم y = -3x+4
###### نمط التظليل تحت المستقيم y = 2x-1
###### منطقة الحل هي تقاطع نمطي التظليل
تطبيقات عملية (من أمثلة الصفحة)
مسائل مهارات التفكير العليا (ص 42)
البرمجة الخطية والحل الأمثل
الهدف
#### إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ضمن منطقة الحل
#### استعمال البرمجة الخطية لحل مسائل حياتية
المفردات
#### القيود (Constraints)
#### منطقة الحل محدودة (Bounded)
#### منطقة الحل غير محدودة (Unbounded)
#### الحل الأمثل (Optimize)
القاعدة الأساسية
#### إذا كانت منطقة الحل محدودة (مغلقة)، فإن القيمة العظمى والصغرى تظهر دائمًا عند رؤوس منطقة الحل.
#### إذا كانت منطقة الحل غير محدودة (مفتوحة)، فقد تحتوي على قيمة عظمى أو صغرى.
مثال تطبيقي (من الصفحة)
#### قيود الإنتاج
##### المقاس الصغير: من 600 إلى 1500 ثوب يوميًا، تكلفة 55 ريال للثوب.
##### المقاس الكبير: من 800 إلى 1700 ثوب يوميًا، تكلفة 70 ريال للثوب.
##### قيد إضافي: إنتاج لا يقل عن 2000 ثوب يوميًا من كلا المقاسين.
##### السؤال: كم ثوبًا من كل مقاس يجب إنتاجه لتكون التكلفة أقل ما يمكن؟
خطوات إيجاد القيمة العظمى والصغرى
#### الخطوة 1: مثل المتباينات بيانيا، وحدد إحداثيات الرؤوس.
#### الخطوة 2: جد قيمة الدالة عند كل رأس.
تنبيه
#### لا تفترض عدم وجود قيم عظمى أو صغرى إذا كانت منطقة الحل غير محدودة.
#### اختبر قيمة الدالة عند كل رأس؛ لتحدد إذا كان هناك قيمة عظمى أو صغرى.
```
نقاط مهمة
- لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة خطية (مثل
f(x, y) = 4x - 2y) ضمن منطقة حل نظام متباينات:
2. احسب قيمة الدالة عند كل رأس من رؤوس منطقة الحل.
- القيمة العظمى أو الصغرى - إن وجدت - تكون عند رؤوس منطقة الحل.
- منطقة الحل قد تكون محدودة (مغلقة) أو غير محدودة (مفتوحة وممتدة).
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
قراءة الرياضيات
نوع: محتوى تعليمي
قراءة الرياضيات
رمز الدالة
نوع: محتوى تعليمي
رمز الدالة
يستعمل الرمز (f(x, y
للتعبير عن الدالة
في المتغيرين x, y .
وتقرأ أ لـ x و y .
مثال 1 منطقة الحل المحدودة
نوع: محتوى تعليمي
مثال 1
منطقة الحل المحدودة
مثل نظام المتباينات الآتي بيانيا، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى
للدالة المعطاة في هذه المنطقة:
3≤ y ≤6
y ≤ 3x + 12
y≤ -2x + 6
f(x, y) = 4x - 2y
الخطوة 1 مثل المتباينات بيانيا، وحدد إحداثيات الرؤوس.
الخطوة 2: جد قيمة الدالة عند كل رأس.
نوع: محتوى تعليمي
قيمة عظمى ←
نوع: محتوى تعليمي
قيمة صغرى -
تحقق من فهمك
نوع: QUESTION_HOMEWORK
-6≤ y ≤ -2
y≤-x+2
y ≤ 2x + 2
f(x, y) = 6x + 4y
تحقق من فهمك
نوع: QUESTION_HOMEWORK
-2≤x≤6
1≤ y ≤5
y≤x+3
f(x, y) = -5x + 2y
تنبيه
نوع: محتوى تعليمي
تنبيه
القيمة العظمى والصغرى
لا تفترض عدم وجود قيم
عظمى أو صغرى إذا كانت
منطقة الحل غير محدودة
بل اختبر قيمة الدالة
عند كل رأس؛ لتحدد إذا
كان هناك قيمة عظمى أو
صغرى .
مثال 2 منطقة الحل غير المحدودة
نوع: محتوى تعليمي
مثال 2
منطقة الحل غير المحدودة
إذا نتج عن التمثيل البياني لنظام متباينات منطقة مفتوحة وممتدة، فإنها تكون غير محدودة.
مثل نظام المتباينات الآتي بيانيا ، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى
للدالة المعطاة في هذه المنطقة:
2y+3x ≥ -12, y ≤ 3x + 12, y ≥ 3x - 6, f(x, y) = 9x - 6y
مثل المتباينات بيانيا، وأوجد قيمة الدالة عند كل رأس؛ لأن القيمة
العظمى أو الصغرى - إن وجدت - تكون عند الرؤوس.
تحقق من فهمك
نوع: QUESTION_HOMEWORK
y≤8
y≥-x+4
y ≤ -x + 10
f(x, y) = -6x + 8y
تحقق من فهمك
نوع: QUESTION_HOMEWORK
y≥x-9
y≤-4x + 16
y≥-4x-4
f(x, y) = 10x + 7y
🔍 عناصر مرئية
figure title or caption if visible
Overall visual characteristics: Triangle with vertices at (-3,3), (-2,6), (0,6), and (1.5,3)
figure title or caption if visible
Overall visual characteristics: Triangle with vertices at (-4,0), (0,-6), and (0,0)
N/A
Table showing vertices and function values
N/A
Table showing vertices and function values
📄 النص الكامل للصفحة
--- SECTION: قراءة الرياضيات ---
قراءة الرياضيات
--- SECTION: رمز الدالة ---
رمز الدالة
يستعمل الرمز (f(x, y
للتعبير عن الدالة
في المتغيرين x, y .
وتقرأ أ لـ x و y .
--- SECTION: مثال 1 منطقة الحل المحدودة ---
مثال 1
منطقة الحل المحدودة
مثل نظام المتباينات الآتي بيانيا، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى
للدالة المعطاة في هذه المنطقة:
3≤ y ≤6
y ≤ 3x + 12
y≤ -2x + 6
f(x, y) = 4x - 2y
الخطوة 1 مثل المتباينات بيانيا، وحدد إحداثيات الرؤوس.
الخطوة 2: جد قيمة الدالة عند كل رأس.
قيمة عظمى ←
قيمة صغرى -
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
-6≤ y ≤ -2
y≤-x+2
y ≤ 2x + 2
f(x, y) = 6x + 4y
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
-2≤x≤6
1≤ y ≤5
y≤x+3
f(x, y) = -5x + 2y
--- SECTION: تنبيه ---
تنبيه
القيمة العظمى والصغرى
لا تفترض عدم وجود قيم
عظمى أو صغرى إذا كانت
منطقة الحل غير محدودة
بل اختبر قيمة الدالة
عند كل رأس؛ لتحدد إذا
كان هناك قيمة عظمى أو
صغرى .
--- SECTION: مثال 2 منطقة الحل غير المحدودة ---
مثال 2
منطقة الحل غير المحدودة
إذا نتج عن التمثيل البياني لنظام متباينات منطقة مفتوحة وممتدة، فإنها تكون غير محدودة.
مثل نظام المتباينات الآتي بيانيا ، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى
للدالة المعطاة في هذه المنطقة:
2y+3x ≥ -12, y ≤ 3x + 12, y ≥ 3x - 6, f(x, y) = 9x - 6y
مثل المتباينات بيانيا، وأوجد قيمة الدالة عند كل رأس؛ لأن القيمة
العظمى أو الصغرى - إن وجدت - تكون عند الرؤوس.
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
y≤8
y≥-x+4
y ≤ -x + 10
f(x, y) = -6x + 8y
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
y≥x-9
y≤-4x + 16
y≥-4x-4
f(x, y) = 10x + 7y
--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: figure title or caption if visible
Description: Overall visual characteristics: Triangle with vertices at (-3,3), (-2,6), (0,6), and (1.5,3)
X-axis: x-axis
Y-axis: y-axis
Data: description of data points, trends, patterns
(Note: Some details are estimated)
**GRAPH**: figure title or caption if visible
Description: Overall visual characteristics: Triangle with vertices at (-4,0), (0,-6), and (0,0)
X-axis: x-axis
Y-axis: y-axis
Data: description of data points, trends, patterns
(Note: Some details are estimated)
**TABLE**: N/A
Description: Table showing vertices and function values
Table Structure:
Headers: (x, y) | 4x - 2y | f(x, y)
Rows:
Row 1: (-3,3) | 4(-3) - 2(3) | -18
Row 2: (1.5, 3) | 4(1.5) - 2(3) | 0
Row 3: (0,6) | 4(0) - 2(6) | -12
Row 4: (-2,6) | 4(-2) - 2(6) | -20
Calculation needed: Evaluating f(x, y) = 4x - 2y at given vertices
Context: Relates vertices to function values
**TABLE**: N/A
Description: Table showing vertices and function values
Table Structure:
Headers: (x, y) | 9x - 6y | f(x, y)
Rows:
Row 1: (-4,0) | 9(-4) -6(0) | -36
Row 2: (0,-6) | 9(0) -6(-6) | 36
Calculation needed: Evaluating f(x, y) = 9x - 6y at given vertices
Context: Relates vertices to function values
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 21
سؤال 2: إذا كانت x تتغير عكسيًا مع y، وكانت 50 = xy عندما 5 = x و 10 = y، فأوجد قيمة y عندما x = 9.
الإجابة: y = 27, x = 9
سؤال 3: إذا كانت x تتغير عكسيًا مع y، وكانت 18 = xy عندما 6 = x و 3 = y، فأوجد قيمة y عندما x = -2.
الإجابة: y = 32.3, x = -2
سؤال 4: خواص: تتناسب المسافات على الخرائط تناسبًا طرديًا مع المسافات الفعلية على سطح الأرض. إذا كانت مسافة in 2 على إحدى الخرائط تعادل mi 15 على سطح الأرض، وكانت المسافة بين نقطتين تمثلان مدينتين على الخريطة in 12، فأوجد المسافة الحقيقية بينهما.
الإجابة: 90 mi
سؤال 5: إذا كانت x تتغير طرديًا مع y، وعكسيًا مع z، وكانت 16 = x عندما 2 = y و 4 = z، فأوجد قيمة x عندما 8 = y.
الإجابة: a = 3, b = -8
سؤال 6: إذا كانت x تتغير طرديًا مع y، فأوجد قيمة x عندما y = 7 في كل من الحالتين الآتيتين: (6) إذا كانت 6 = x عندما 32 = y.
الإجابة: x = 88, y = 7
سؤال 7: (7) إذا كانت 8 = x عندما 3 = y.
الإجابة: w = 8, s = 3
سؤال 8: فضاء: إذا كان وزن جهاز استكشاف على الأرض 360 رطلاً، ووزنه على سطح القمر 60 رطلاً، فاكتب معادلة تربط بين وزن w على سطح الأرض ووزنه m على سطح القمر.
الإجابة: a = 3, b = -8
سؤال 9: إذا كانت n تتغير عكسيًا مع y و z، فأوجد قيمة n عندما 4 = y و 3 = z في كل من الحالتين الآتيتين: (9) إذا كانت 24 = n عندما 8 = y و 12 = z.
الإجابة: f = 2.1, g = 12
سؤال 10: (10) إذا كانت 24 = n عندما 8 = y و 12 = z.
الإجابة: f = 38, g = 12
سؤال 11: صوت: عندما يهاجر سرب من الطيور من مكان إلى آخر كل عام، فإنه يقطع مسافة تتغير طرديًا مع الزمن الذي يقضيه في الطيران. (أ) إذا قطع سرب الطيور مسافة mi 375 في 7.5h، فاكتب معادلة تربط d بـ t تمثل هذا الموقف.
الإجابة: 37.5 m
سؤال 12: (ب) إذا قطع سرب الطيور مسافة mi 3000 خلال هجرته، فأوجد عدد ساعات طيرانه.
الإجابة: 3000 km
سؤال 13: إذا كانت x تتغير طرديًا مع y، وعكسيًا مع z، وكانت 20 = x عندما 6 = y و 4 = z، فأوجد قيمة z عندما 10 = x و 7 = y.
الإجابة: x = 14, y = 6
سؤال 15: حدد إذا كانت كل علاقة ممثلة في الجدول أدناه، تمثل تغيرًا طرديًا، أو تغيرًا عكسيًا، أو غير ذلك.
الإجابة: (8, 12) (4, 24) (16, 48) (32, 96)
سؤال 16: حدد إذا كانت كل علاقة ممثلة في الجدول أدناه، تمثل تغيرًا طرديًا، أو تغيرًا عكسيًا، أو غير ذلك.
الإجابة: (2, 8) (4, 4) (8, 2) (16, 1)
سؤال 17: حدد إذا كانت كل علاقة ممثلة في الجدول أدناه، تمثل تغيرًا طرديًا، أو تغيرًا عكسيًا، أو غير ذلك.
الإجابة: (20, 5) (10, 4) (5, 3) (4, 2)
سؤال 18: إذا كانت x تتغير طرديًا مع y، وكانت 16 = x عندما 5 = y، فأوجد قيمة x عندما 20 = y.
الإجابة: m = 20d
سؤال 19: إذا كانت x تتغير طرديًا مع y، وكانت 16 = x عندما 5 = y، فأوجد قيمة x عندما 20 = y.
الإجابة: m = 20d
سؤال س:19: تعبير لفظي
الإجابة: ناتج التغير 27
سؤال س:20: تعبير لفظي
الإجابة: ناتج التغير 10
سؤال س:21: تعبير لفظي
الإجابة: ناتج التغير 7
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة
في البرمجة الخطية، أين تقع القيمة العظمى أو الصغرى للدالة (إن وجدت) داخل منطقة الحل؟
- أ) في منتصف منطقة الحل
- ب) عند أحد رؤوس منطقة الحل
- ج) على أحد أضلاع منطقة الحل (وليس عند الرأس)
- د) خارج منطقة الحل
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: عند أحد رؤوس منطقة الحل
الشرح: 1. القيمة العظمى أو الصغرى للدالة في مسائل البرمجة الخطية لا تقع داخل منطقة الحل، بل عند حدودها. 2. الحدود تتقاطع عند نقاط تسمى الرؤوس. 3. لذلك، يتم إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى - إن وجدت - عن طريق تقييم الدالة عند كل رأس من رؤوس منطقة الحل.
تلميح: فكر في النقاط التي تتقاطع عندها حدود المتباينات لتشكل منطقة الحل.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
إذا كانت منطقة الحل لنظام متباينات غير محدودة (مفتوحة وممتدة)، فماذا يجب فعله لتحديد وجود قيمة عظمى أو صغرى للدالة؟
- أ) افتراض أنه لا توجد قيم عظمى أو صغرى
- ب) اختبار قيمة الدالة عند نقطة عشوائية داخل المنطقة
- ج) اختبار قيمة الدالة عند كل رأس من رؤوس منطقة الحل
- د) توسيع حدود المنطقة لجعلها محدودة أولاً
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: اختبار قيمة الدالة عند كل رأس من رؤوس منطقة الحل
الشرح: 1. منطقة الحل غير المحدودة لا تعني تلقائيًا عدم وجود قيمة عظمى أو صغرى للدالة. 2. يجب عدم افتراض ذلك. 3. الطريقة الصحيحة هي تقييم قيمة الدالة عند كل رأس من رؤوس منطقة الحل (حتى لو كانت غير محدودة). 4. من خلال هذه القيم يمكن تحديد ما إذا كانت هناك قيمة عظمى أو صغرى.
تلميح: التنبيه في الصفحة يحذر من افتراض عدم وجود قيم عظمى أو صغرى لمجرد أن المنطقة غير محدودة.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
ما هي الخطوات الأساسية لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة (f(x, y)) في منطقة الحل لنظام متباينات خطية؟
- أ) 1. حل نظام المعادلات. 2. رسم الدالة (f(x, y)).
- ب) 1. تمثيل المتباينات بيانياً وتحديد رؤوس منطقة الحل. 2. تقييم الدالة (f(x, y)) عند كل رأس.
- ج) 1. إيجاد مشتقة الدالة (f(x, y)). 2. مساواة المشتقة بالصفر.
- د) 1. اختيار نقطة داخل منطقة الحل. 2. تعويضها في جميع المتباينات.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: 1. تمثيل المتباينات بيانياً وتحديد رؤوس منطقة الحل. 2. تقييم الدالة (f(x, y)) عند كل رأس.
الشرح: 1. الخطوة الأولى: تمثيل كل متباينة في النظام بيانياً لتحديد منطقة الحل المشتركة. 2. تحديد إحداثيات نقاط تقاطع هذه الحدود، وهي رؤوس منطقة الحل. 3. الخطوة الثانية: التعويض بإحداثيات كل رأس في دالة الهدف (f(x, y)). 4. مقارنة قيم الدالة عند جميع الرؤوس لتحديد القيمة الأكبر (العظمى) والأصغر (الصغرى).
تلميح: يبدأ الحل برسم الحدود، ثم إيجاد نقاط التقاطع.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
في البرمجة الخطية، أين تقع القيمة العظمى أو القيمة الصغرى لدالة الهدف f(x, y) -إن وُجدت- بالنسبة لمنطقة الحل؟
- أ) عند نقطة الأصل (0,0) دائماً
- ب) عند أحد رؤوس منطقة الحل
- ج) في مركز منطقة الحل تماماً
- د) عند أي نقطة اختيارية على حدود المنطقة
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: عند أحد رؤوس منطقة الحل
الشرح: ١. تعتمد البرمجة الخطية على تمثيل نظام المتباينات بيانيًا لتحديد منطقة الحل. ٢. دالة الهدف f(x, y) يتم اختبارها لإيجاد القيم القصوى. ٣. القاعدة الرياضية تنص على أن القيم العظمى والصغرى تقع دائمًا عند نقاط التقاطع للحدود، وهي رؤوس المنطقة (Vertices).
تلميح: تذكر الخطوات المتبعة في حل نظام المتباينات؛ أين نقوم بالتعويض بقيم الإحداثيات (x, y)؟
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط