تأكد - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 البرمجة الخطية والحل الأمثل (تطبيقات)

المفاهيم الأساسية

* البرمجة الخطية: أسلوب رياضي لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة خطية تحت قيود (متباينات) خطية.

* منطقة الحل: المنطقة المشتركة الناتجة عن تقاطع أنماط التظليل لنظام المتباينات على الرسم البياني.

* رؤوس منطقة الحل: نقاط تقاطع المستقيمات التي تحدد حدود منطقة الحل.

* الدالة الهدف: الدالة الخطية (مثل f(x, y) = 5x - 2y) التي نريد إيجاد قيمتها العظمى أو الصغرى ضمن منطقة الحل.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات والدوال

حل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً

باستخدام الحاسبة البيانية (TI-nspire)

#### الهدف

##### استعمال الحاسبة البيانية لحل أنظمة متباينات خطية

#### الخطوات العامة

##### 1. افتح تطبيق الرسوم البيانية

##### 2. اكتب المتباينة الأولى

##### 3. اكتب المتباينة الثانية

##### 4. منطقة الحل هي منطقة التظليل المشترك

#### مثال توضيحي

##### النظام: y ≥ -3x+4 و y ≤ 2x-1

###### نمط التظليل فوق المستقيم y = -3x+4

###### نمط التظليل تحت المستقيم y = 2x-1

###### منطقة الحل هي تقاطع نمطي التظليل

تطبيقات عملية (من أمثلة الصفحة)

مسائل مهارات التفكير العليا (ص 42)

البرمجة الخطية والحل الأمثل

الهدف

#### إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ضمن منطقة الحل

#### استعمال البرمجة الخطية لحل مسائل حياتية

المفردات

#### القيود (Constraints)

#### منطقة الحل محدودة (Bounded)

#### منطقة الحل غير محدودة (Unbounded)

#### الحل الأمثل (Optimize)

القاعدة الأساسية

#### إذا كانت منطقة الحل محدودة (مغلقة)، فإن القيمة العظمى والصغرى تظهر دائمًا عند رؤوس منطقة الحل.

#### إذا كانت منطقة الحل غير محدودة (مفتوحة)، فقد تحتوي على قيمة عظمى أو صغرى.

مثال تطبيقي (من الصفحة)

#### قيود الإنتاج

##### المقاس الصغير: من 600 إلى 1500 ثوب يوميًا، تكلفة 55 ريال للثوب.

##### المقاس الكبير: من 800 إلى 1700 ثوب يوميًا، تكلفة 70 ريال للثوب.

##### قيد إضافي: إنتاج لا يقل عن 2000 ثوب يوميًا من كلا المقاسين.

##### السؤال: كم ثوبًا من كل مقاس يجب إنتاجه لتكون التكلفة أقل ما يمكن؟

خطوات إيجاد القيمة العظمى والصغرى

#### الخطوة 1: مثل المتباينات بيانيا، وحدد إحداثيات الرؤوس.

#### الخطوة 2: جد قيمة الدالة عند كل رأس.

تنبيه

#### لا تفترض عدم وجود قيم عظمى أو صغرى إذا كانت منطقة الحل غير محدودة.

#### اختبر قيمة الدالة عند كل رأس؛ لتحدد إذا كان هناك قيمة عظمى أو صغرى.

خطوات استعمال البرمجة الخطية (من الصفحة 46)

#### الخطوة 1: حدد المتغيرات.

#### الخطوة 2: اكتب نظام متباينات خطية يمثل المسألة.

#### الخطوة 3: مثل نظام المتباينات بيانيا.

#### الخطوة 4: جد إحداثيات رؤوس منطقة الحل.

#### الخطوة 5: اكتب الدالة الخطية التي تريد إيجاد قيمتها العظمى أو الصغرى.

#### الخطوة 6: عوض إحداثيات الرؤوس في الدالة.

#### الخطوة 7: اختر القيمة العظمى أو الصغرى وفقا لما هو مطلوب في المسألة.

تطبيق على مسألة واقعية (مثال 3)

#### الموقف: تخصيص ساعات عمل في مصنع غسالات

##### القيود:

###### قسم الإنتاج: 200 ساعة يومياً كحد أقصى.

###### قسم ضبط الجودة: 90 ساعة يومياً كحد أقصى.

##### الزمن اللازم للتصنيع (ساعة/غسالة):

###### النوع الأول: 5 ساعات إنتاج، ساعتان جودة.

###### النوع الثاني: 4 ساعات إنتاج، ساعتان جودة.

##### الدالة الهدف (الربح):

###### ربح النوع الأول: 80 ريال.

###### ربح النوع الثاني: 50 ريال.

###### P(x, y) = 80x + 50y

##### الأسئلة المطلوبة:

###### 1. كتابة نظام المتباينات.

###### 2. تمثيل النظام بيانياً وتحديد منطقة الحل.

###### 3. تحديد إحداثيات رؤوس منطقة الحل.

###### 4. كتابة دالة الربح الكلي.

###### 5. تحديد عدد الغسالات من كل نوع لتحقيق أقصى ربح، وحساب هذا الربح.

```

نقاط مهمة

* التركيز في هذا الجزء على تطبيق خطوات البرمجة الخطية لحل مسائل واقعية (مثل تخصيص الموارد في المصنع).

* يجب تمثيل القيود (المتباينات) بيانياً أولاً لتحديد منطقة الحل ورؤوسها.

* الحل الأمثل (أكبر ربح أو أقل تكلفة) يُوجد عادةً عند أحد رؤوس منطقة الحل.

* الصفحة تحتوي على العديد من التمارين (من 1 إلى 13) لتطبيق المهارة على أنظمة متباينات ودوال مختلفة.

مثل كل نظام مما يأتي بيانياً، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والمحلية والقيمة الصغرى للدالة المعطاة في هذه المنطقة:

y ≤ 5 x ≤ 4 y ≥ -x f(x, y) = 5x - 2y

y ≤ -3x + 6 -y ≤ x y ≤ 3 f(x, y) = 8x + 4y

y ≥ -3x + 2 9x + 3y ≤ 24 y ≥ -4 f(x, y) = 2x + 14y

-2 ≤ y ≤ 6 3y ≤ 4x + 26 y ≤ -2x + 2 f(x, y) = -3x - 6y

-3 ≤ y ≤ 7 4y ≥ 4x - 8 6y + 3x ≤ 24 f(x, y) = -12x + 9y

y ≤ 2x + 6 y ≥ 2x - 8 y ≥ -2x - 18 f(x, y) = 5x - 4y

ثقافة مالية: يبلغ مجموع ساعات العمل اليومي لعمال قسم الإنتاج في مصنع 200 ساعة على الأكثر، ولعمال قسم ضبط الجودة 90 ساعة على الأكثر، ويبين الجدول الآتي عدد الساعات التي يتطلبها إنتاج نوعين من الغسالات.

قسم الإنتاج 5 ساعات 4 ساعات قسم ضبط الجودة ساعتان ساعتان النوع الأول النوع الثاني

اكتب نظام متباينات يمثل هذا الموقف.

مثل نظام المتباينات بيانياً، وحدد منطقة الحل.

حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل.

إذا كان ربح الغسالة من النوع الأول 80 ريالاً، ومن النوع الثاني 50 ريالاً، فاكتب دالة تمثل الربح الكلي لكلا النوعين.

ما عدد الغسالات التي يجب تصنيعها من كل نوع للحصول على أكبر ربح ممكن؟ وما هو هذا الربح؟

مثل كل نظام مما يأتي بيانياً، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة المعطاة في هذه المنطقة:

-8 ≤ y ≤ -2 y ≤ x y ≤ -3x + 10 f(x, y) = 5x + 14y

-3 ≤ x ≤ 2 y ≥ -2x - 6 4y ≤ 2x + 32 f(x, y) = -4x - 9y

x + 4y ≥ 2 2x + 4y ≤ 24 2 ≤ x ≤ 6 f(x, y) = 6x + 7y

x ≥ -6 y + x ≤ -1 2x + 3y ≥ -9 f(x, y) = -10x - 12y

x ≥ -8 3x + 6y ≤ 36 2y + 12 ≥ 3x f(x, y) = 10x - 6y

y ≥ |x - 2| y ≤ 8 8y + 5x ≤ 49 f(x, y) = -5x - 15y

وزارة التعليم 2023 - 1447 47 الدرس 6-1 البرمجة الخطية والحل الأمثل

--- SECTION: تأكد --- مثل كل نظام مما يأتي بيانياً، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والمحلية والقيمة الصغرى للدالة المعطاة في هذه المنطقة: --- SECTION: 1 --- y ≤ 5 x ≤ 4 y ≥ -x f(x, y) = 5x - 2y --- SECTION: 2 --- y ≤ -3x + 6 -y ≤ x y ≤ 3 f(x, y) = 8x + 4y --- SECTION: 3 --- y ≥ -3x + 2 9x + 3y ≤ 24 y ≥ -4 f(x, y) = 2x + 14y --- SECTION: 4 --- -2 ≤ y ≤ 6 3y ≤ 4x + 26 y ≤ -2x + 2 f(x, y) = -3x - 6y --- SECTION: 5 --- -3 ≤ y ≤ 7 4y ≥ 4x - 8 6y + 3x ≤ 24 f(x, y) = -12x + 9y --- SECTION: 6 --- y ≤ 2x + 6 y ≥ 2x - 8 y ≥ -2x - 18 f(x, y) = 5x - 4y --- SECTION: مثال 3 --- ثقافة مالية: يبلغ مجموع ساعات العمل اليومي لعمال قسم الإنتاج في مصنع 200 ساعة على الأكثر، ولعمال قسم ضبط الجودة 90 ساعة على الأكثر، ويبين الجدول الآتي عدد الساعات التي يتطلبها إنتاج نوعين من الغسالات. --- SECTION: الزمن اللازم لتصنيع الغسالة --- قسم الإنتاج 5 ساعات 4 ساعات قسم ضبط الجودة ساعتان ساعتان النوع الأول النوع الثاني --- SECTION: 8 --- اكتب نظام متباينات يمثل هذا الموقف. --- SECTION: 9 --- مثل نظام المتباينات بيانياً، وحدد منطقة الحل. --- SECTION: 10 --- حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل. --- SECTION: 11 --- إذا كان ربح الغسالة من النوع الأول 80 ريالاً، ومن النوع الثاني 50 ريالاً، فاكتب دالة تمثل الربح الكلي لكلا النوعين. --- SECTION: 12 --- ما عدد الغسالات التي يجب تصنيعها من كل نوع للحصول على أكبر ربح ممكن؟ وما هو هذا الربح؟ --- SECTION: تدرب وحل المسائل --- مثل كل نظام مما يأتي بيانياً، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة المعطاة في هذه المنطقة: --- SECTION: 8 --- -8 ≤ y ≤ -2 y ≤ x y ≤ -3x + 10 f(x, y) = 5x + 14y --- SECTION: 9 --- -3 ≤ x ≤ 2 y ≥ -2x - 6 4y ≤ 2x + 32 f(x, y) = -4x - 9y --- SECTION: 10 --- x + 4y ≥ 2 2x + 4y ≤ 24 2 ≤ x ≤ 6 f(x, y) = 6x + 7y --- SECTION: 11 --- x ≥ -6 y + x ≤ -1 2x + 3y ≥ -9 f(x, y) = -10x - 12y --- SECTION: 12 --- x ≥ -8 3x + 6y ≤ 36 2y + 12 ≥ 3x f(x, y) = 10x - 6y --- SECTION: 13 --- y ≥ |x - 2| y ≤ 8 8y + 5x ≤ 49 f(x, y) = -5x - 15y وزارة التعليم 2023 - 1447 47 الدرس 6-1 البرمجة الخطية والحل الأمثل