صفحة 46 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 23: 23) كيمياء : يتغير حجم غاز معين T طرديًا مع درجة حرارته T ، وعكسيًا مع ضغطه P . فهل (P = k T/V) تمثل معادلة تغيرًا طرديًا، أم عكسيًا أم مركبًا؟ ب) عينة من الغاز حجمها ٤ لترات، ودرجة حرارتها 275° كلفن، وضغطها 1.25 وحدة ضغط. فإذا حفظ الغاز المدفأ، وضغطها ليصبح حجمها ٥ لترات وتصبحها إلى درجة حرارته 300° كلفن. فكم يصبح ضغطه؟

الإجابة: 23) أ: نعم، لأن قيمة المتغيرات لا تتغير بتغير ترتيبها. ب: لا، لأن قيمة المتغيرات تتغير بتغير ترتيبها.

سؤال 24: 24) جاذبية : ينص قانون الجاذبية العام على أن قوة الجذب F بين أي جسمين تتغير طرديًا مع حاصل ضرب كتلتيهما بالكيلو جرام $m_1$ و $m_2$ ، وعكسيًا مع مربع المسافة بينهما r بالمتر. وتبين المعادلة $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ هذه العلاقة، حيث G ثابت الجاذبية العام، وقيمته $6.67 \times 10^{-11} N \cdot m^2/kg^2$. أ) إذا كانت المسافة بين الأرض والقمر $3.84 \times 10^8$ m وكتلة الأرض $5.97 \times 10^{24}$ kg وكتلة القمر $7.36 \times 10^{22}$ kg ، فكم مرة مقدار قوة الجذب التي تؤثر بها كل منهما في الآخر؟ ب) إذا كانت المسافة بين الأرض والشمس $1.50 \times 10^{11}$ m وكتلة الشمس $1.99 \times 10^{30}$ kg ، فكم مقدار قوة الجذب التي تؤثر بها كل من الشمس والأرض في الآخر؟

الإجابة: 24) أ: $1.24 \times 10^{19}$ times ب: $7.36 \times 10^{23}$ N ج: $3.52 \times 10^{22}$ times

سؤال 25: 25) اكتشف الخطأ : يحل كل من يوسف وتركي مسألة عن التغير المركب، تعبر فيها $z$ طرديًا مع $x$ وعكسيًا مع $y$. أيهما توصل إلى الناتج الصحيح؟ وضح إجابتك.

الإجابة: 25) يوسف: $z = kx/y$ تركي: $z = kx/y$

سؤال 26: 26) تبرير : وضح لماذا يعد بعض المختصين في الرياضيات التغير المشترك تغيرًا مركبًا، ولكنهم لا يعدون التغير المركب تغيرًا مشتركًا.

الإجابة: 26) لأن المتغير المشترك حالة خاصة من المركب (قوى فقط)، بينما المركب له قوى مختلفة.

سؤال 27: 27) مسألة مفتوحة : صف ثلاث كميات من واقع الحياة تتغير إحداها طرديًا مع الأخرى، وعكسيًا مع الثالثة، ثم اكتب الدالة التي تمثلها.

الإجابة: 27) $m = pV$

سؤال 28: 28) اكتشف الخطأ : حدد أنواع التغيرات التي لا يمكن أن يكون فيها ثابت التناسب سالباً.

الإجابة: 28) لا يمكن أن يكون العدد سالباً.

سؤال 29 أ: 29) إذا كانت $x$ تتغير طرديًا مع $y$ ، وعكسيًا مع $z$ ، وكانت $15 = b$ عندما $2 = a$ ، $4 = c$ فما قيمة $b$ عندما $7 = a$ ، $8 = c$؟ أ) 105

الإجابة: 29) أ: 105

سؤال 29 ب: 29) إذا كانت $x$ تتغير طرديًا مع $y$ ، وعكسيًا مع $z$ ، وكانت $15 = b$ عندما $2 = a$ ، $4 = c$ فما قيمة $b$ عندما $7 = a$ ، $8 = c$؟ ب) -105

الإجابة: 29) ب: -105

سؤال 29 ج: 29) إذا كانت $x$ تتغير طرديًا مع $y$ ، وعكسيًا مع $z$ ، وكانت $15 = b$ عندما $2 = a$ ، $4 = c$ فما قيمة $b$ عندما $7 = a$ ، $8 = c$؟ ج) 105

الإجابة: 29) ج: 105

سؤال 29 د: 29) إذا كانت $x$ تتغير طرديًا مع $y$ ، وعكسيًا مع $z$ ، وكانت $15 = b$ عندما $2 = a$ ، $4 = c$ فما قيمة $b$ عندما $7 = a$ ، $8 = c$؟ د) -105

الإجابة: 29) د: -105

سؤال 30 أ: 30) ما التغير الذي تمثله المعادلات في الجدول الذي بجوارها؟ أ) طردي (إيجابي)

الإجابة: 30) أ: 21

سؤال 30 ب: 30) ما التغير الذي تمثله المعادلات في الجدول الذي بجوارها؟ ب) عكسي

الإجابة: 30) ب: 18

سؤال 30 ج: 30) ما التغير الذي تمثله المعادلات في الجدول الذي بجوارها؟ ج) مركب

الإجابة: 30) ج: 15

سؤال 30 د: 30) ما التغير الذي تمثله المعادلات في الجدول الذي بجوارها؟ د) لا يوجد

الإجابة: 30) د: 7

سؤال 31 أ: 31) بسط كل عبارة مما يأتي: أ) $\frac{2a^2+2a}{a+1}$

الإجابة: 31) أ: $2a(a+1)$

سؤال 31 ب: 31) بسط كل عبارة مما يأتي: ب) $\frac{2a^2+2a}{a+1}$

الإجابة: 31) ب: $2a(a+1)$

سؤال 32: 32) حلل كل كثيرة حدود مما يأتي: $x^2 + 3x - 4$

الإجابة: 32) $x = 1, -4$

سؤال 33: 33) حلل كل كثيرة حدود مما يأتي: $x^2 - 3xy - 2y^2$

الإجابة: 33) $x = 3, -2y$

سؤال 34: 34) أوجد المضاعف المشترك الأصغر لكل مجموعة وحيدات حد مما يأتي: $8x^2, 12x$

الإجابة: 34) $LCM = 24x^2$

سؤال 35: 35) أوجد المضاعف المشترك الأصغر لكل مجموعة وحيدات حد مما يأتي: $6x^4y^3, 2x^2y^2$

الإجابة: 35) $LCM = 6x^4y^3$

ما هو تعريف 'الحل الأمثل' في سياق البرمجة الخطية؟

• أ) هو إيجاد أي حل يحقق جميع قيود المسألة.
• ب) هو البحث عن السعر أو الكمية الأفضل أو الأنسب لتقليل التكلفة أو زيادة الربح.
• ج) هو تمثيل نظام المتباينات بيانياً فقط.
• د) هو إيجاد رؤوس منطقة الحل دون التعويض في دالة الهدف.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هو البحث عن السعر أو الكمية الأفضل أو الأنسب لتقليل التكلفة أو زيادة الربح.

الشرح: الحل الأمثل هو النتيجة التي نحصل عليها بعد تطبيق خطوات البرمجة الخطية، والتي تهدف إلى إيجاد القيمة العظمى (لزيادة الربح) أو الصغرى (لتقليل التكلفة) لدالة الهدف ضمن القيود المحددة.

تلميح: فكر في الهدف النهائي من استخدام البرمجة الخطية في المشكلات العملية.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الخطوة الأولى في استعمال البرمجة الخطية لإيجاد الحل الأمثل؟

• أ) كتابة نظام متباينات خطية.
• ب) تمثيل نظام المتباينات بيانياً.
• ج) تحديد المتغيرات.
• د) كتابة الدالة الخطية (دالة الهدف).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تحديد المتغيرات.

الشرح: يجب أولاً تعريف المتغيرات التي تمثل الكميات المجهولة في المسألة (مثل: x = عدد المنتج أ، y = عدد المنتج ب). هذه هي الأساس لبناء نموذج رياضي للمسألة.

تلميح: ما هو أول إجراء نقوم به قبل كتابة أي معادلات أو متباينات؟

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في أي مرحلة من خطوات البرمجة الخطية نعوض إحداثيات رؤوس منطقة الحل في دالة الهدف؟

• أ) الخطوة الثالثة.
• ب) الخطوة الرابعة.
• ج) الخطوة الخامسة.
• د) الخطوة السادسة.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: الخطوة السادسة.

الشرح: بعد تحديد رؤوس منطقة الحل (الخطوة 4) وكتابة دالة الهدف (الخطوة 5)، ننتقل إلى الخطوة 6 وهي التعويض بإحداثيات كل رأس في دالة الهدف لحساب قيمتها عند كل نقطة.

تلميح: تأمل تسلسل الخطوات بعد إيجاد رؤوس منطقة الحل.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

أي من العبارات التالية تصف بشكل صحيح العلاقة بين رؤوس منطقة الحل والقيمة العظمى أو الصغرى للدالة في البرمجة الخطية؟

• أ) تقع القيمة العظمى أو الصغرى دائمًا في منتصف منطقة الحل.
• ب) تقع القيمة العظمى أو الصغرى للدالة (إن وجدت) دائمًا عند أحد رؤوس منطقة الحل.
• ج) يمكن أن تقع القيمة العظمى أو الصغرى في أي نقطة داخل منطقة الحل.
• د) تقع القيمة العظمى عند رأس والقيمة الصغرى في منتصف منطقة الحل.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تقع القيمة العظمى أو الصغرى للدالة (إن وجدت) دائمًا عند أحد رؤوس منطقة الحل.

الشرح: هذه خاصية أساسية في البرمجة الخطية. نظرًا لأن منطقة الحل مضلع محدب ودالة الهدف خطية، فإن القيم القصوى (العظمى أو الصغرى) تتحقق دائمًا عند إحدى زوايا (رؤوس) هذا المضلع، وليس في منتصف أضلاعه أو داخله.

تلميح: تذكر خاصية هامة لمنطقة الحل في البرمجة الخطية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في عملية البرمجة الخطية، أين تقع القيمة العظمى أو الصغرى (الحل الأمثل) للدالة دائماً بعد تحديد منطقة الحل بيانياً؟

• أ) في المركز الهندسي لمنطقة الحل
• ب) دائماً عند نقطة الأصل (0,0)
• ج) عند أحد رؤوس منطقة الحل
• د) عند أي نقطة تقع على المحور السيني (x)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عند أحد رؤوس منطقة الحل

الشرح: 1. البرمجة الخطية تهدف لإيجاد الحل الأمثل (أكبر ربح أو أقل تكلفة). 2. يتم تمثيل المتباينات (القيود) بيانياً لتشكيل منطقة الحل. 3. تتقاطع حدود هذه المنطقة في نقاط تسمى 'الرؤوس'. 4. تنص القاعدة الرياضية على أن القيم القصوى للدالة تظهر دائماً عند هذه الرؤوس، ولذلك يتم التعويض بها حصراً للمقارنة واختيار الحل الأنسب.

تلميح: تذكر الخطوات العملية التي تتطلب التعويض بإحداثيات نقاط محددة ناتجة عن تقاطع المتباينات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط