صفحة 48 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 البرمجة الخطية والحل الأمثل (تطبيقات)

المفاهيم الأساسية

* البرمجة الخطية: أسلوب رياضي لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة خطية (دالة هدف) ضمن منطقة محددة بقيود (نظام متباينات خطية).

خريطة المفاهيم

```markmap

البرمجة الخطية والحل الأمثل (تطبيقات)

خطوات حل مسائل البرمجة الخطية

الخطوة 1: حدد المتغيرات

الخطوة 2: اكتب نظام متباينات خطية يمثل القيود

الخطوة 3: مثل نظام المتباينات بيانياً، وحدد منطقة الحل

الخطوة 4: جد إحداثيات رؤوس منطقة الحل

الخطوة 5: اكتب الدالة الخطية (الهدف) التي تريد إيجاد قيمتها العظمى أو الصغرى

الخطوة 6: عوض إحداثيات الرؤوس في الدالة

الخطوة 7: اختر القيمة العظمى أو الصغرى وفقاً للمطلوب

تطبيقات عملية (من أمثلة الصفحة)

صناعة وحدات الإنارة (مثال 17)

#### المتغيرات: عدد وحدات النوع الأول (x)، عدد وحدات النوع الثاني (y)

#### القيود:

##### الطاقة الإنتاجية: x + y ≤ 450

##### إنتاج النوع الأول: x ≥ 100

##### إنتاج النوع الثاني: y ≤ 200

#### الدالة الهدف (الدخل): f(x, y) = 25x + 35y

#### المطلوب: إيجاد (x, y) التي تحقق أكبر دخل

طلاء الجدران والأسقف (مثال 18)

#### المتغيرات: عدد الجدران (x)، عدد الأسقف (y)

#### القيود:

##### الوقت المتاح: x/2.5 + y/2 ≤ 20

##### عدد الأسطح: x + y = 45

#### الدالة الهدف (الأجرة): f(x, y) = 26x + 30y

#### المطلوب: إيجاد (x, y) التي تحقق أكبر أجر

شحن المنتجات (تمرين 20)

#### المتغيرات: عدد الصناديق الصغيرة (x)، عدد الصناديق الكبيرة (y)

#### القيود:

##### الوزن: 25x + 50y ≤ 4200

##### الحجم: 3x + 5y ≤ 480

#### الدالة الهدف (الأجرة): f(x, y) = 5x + 8y

#### المطلوب: إيجاد (x, y) التي تحقق أكبر أجرة

إعادة تدوير البلاستيك (تمرين 21)

#### المتغيرات: أطنان البلاستيك للحاويات الصغيرة (x)، أطنان البلاستيك للحاويات الكبيرة (y)

#### القيود:

##### الطاقة القصوى: x + y ≤ 1200

##### الحد الأدنى للحاويات الصغيرة: x ≥ 300

##### الحد الأدنى للحاويات الكبيرة: y ≥ 450

#### الدالة الهدف (الربح): f(x, y) = 175x + 200y

#### المطلوب: إيجاد (x, y) التي تحقق أكبر ربح

```

نقاط مهمة

* مسائل البرمجة الخطية هي تطبيقات حياتية لـ حل أنظمة المتباينات الخطية.

* الخطوة الأهم هي تحويل نص المسألة إلى متغيرات وجبر (نظام متباينات ودالة هدف).

* الحل الأمثل (القيمة العظمى أو الصغرى) للدالة الخطية يقع دائمًا عند أحد رؤوس منطقة الحل إذا كانت المنطقة محددة ومغلقة.

* التمرين 19 يطلب تمثيل عقوبة قانونية باستخدام متباينات في متغيرين (مدة السجن، قيمة الغرامة).

y ≤ x + 4 y ≥ x - 4 y ≤ -x + 10 y ≥ -x - 10 f(x, y) = -10x + 9y

-4≤x≤8 -8≤ y ≤6 y≥x-6 4y + 7x ≤ 31 f(x, y) = 12x + 8y

y≥|x+1|-2 0≤ y ≤6 -6≤ x ≤2 x + 3y ≤ 14 f(x, y) = 5x + 4y

صناعة : ينتج مصنع نوعين من وحدات الإنارة؛ يباع النوع الأول بسعر 25 ريالا، أما النوع الثاني فيباع بسعر 35 ريالا. فإذا كانت الطاقة الإنتاجية للمصنع لا تزيد على 450 وحدة إنارة يوميا، وكان على المصنع أن ينتج ما لا يقل عن 100 وحدة إنارة من النوع الأول وما لا يزيد على 200 وحدة إنارة من النوع الثاني، فما عدد وحدات الإنارة اللازم إنتاجها من كل نوع ليكون دخل المصنع اليومي أكبر ما يمكن؟

طلاء : إذا كان الوقت المتاح لمعاذ لطلاء 45 جدارًا وسقفًا متساوون في المساحة في أحد المباني هو 20 يوما، ويستطيع معاذ طلاء 2.5 جدار ، أو سقفين في اليوم الواحد.

عقوبات : اكتب العبارة التالية باستخدام المتباينات، ثم مثلها بيانيا، وحدد مجموعة من الحلول الممكنة وفسرها. «يُعاقب بالسجن مدة لا تقل عن خمس سنوات ولا تزيد عن خمس عشرة سنة، وبغرامة من ألف ريال إلى خمسين ألف ريال؛ كل من حاز مادة مخدرة أو باعها أو اشتراها أو نقلها».

شحن يشحن مزارع منتجاته بالتعاون مع شركة شحن مختصة، وذلك في حاويات مبردة تبلغ حمولة الواحدة منها 4200 ، وحجم الحيز الذي توضع فيه البضائع بداخلها 480، وتوضع المنتجات في أثناء الشحن في صناديق بمقاسين؛ صغيرة حجمها 3 وتزن 25 ، وكبيرة حجمها ft3 5، وتزن 50kg، وأجرة شركة الشحن هي 5 ريالات عن كل صندوق من المقاس الصغير، و 8 ريالات عن كل صندوق من المقاس الكبير.

إعادة التدوير : يقوم مصنع بإعادة تدوير ما لا يزيد على 1200 طن من البلاستيك شهريا لصنع حاويات بمقاسين صغير وكبير، وعلى المصنع أن يستعمل ما لا يقل عن 300 طن في صنع الحاويات الصغيرة وما لا يقل عن 450 طنا في صنع الحاويات الكبيرة. إذا كان المصنع يحقق ربحا قدره 175 ريالًا لكل طن بلاستيك تم استعماله لصنع الحاويات الصغيرة، و 200 ريال لكل طن تم استعماله لصنع الحاويات الكبيرة. فما أكبر ربح يمكن تحقيقه؟ وما عدد الأطنان المستعملة لكل نوع من الحاويات لتحقيق ذلك الربح ؟

--- SECTION: 14 --- y ≤ x + 4 y ≥ x - 4 y ≤ -x + 10 y ≥ -x - 10 f(x, y) = -10x + 9y --- SECTION: 15 --- -4≤x≤8 -8≤ y ≤6 y≥x-6 4y + 7x ≤ 31 f(x, y) = 12x + 8y --- SECTION: 16 --- y≥|x+1|-2 0≤ y ≤6 -6≤ x ≤2 x + 3y ≤ 14 f(x, y) = 5x + 4y --- SECTION: 17 --- صناعة : ينتج مصنع نوعين من وحدات الإنارة؛ يباع النوع الأول بسعر 25 ريالا، أما النوع الثاني فيباع بسعر 35 ريالا. فإذا كانت الطاقة الإنتاجية للمصنع لا تزيد على 450 وحدة إنارة يوميا، وكان على المصنع أن ينتج ما لا يقل عن 100 وحدة إنارة من النوع الأول وما لا يزيد على 200 وحدة إنارة من النوع الثاني، فما عدد وحدات الإنارة اللازم إنتاجها من كل نوع ليكون دخل المصنع اليومي أكبر ما يمكن؟ --- SECTION: 18 --- طلاء : إذا كان الوقت المتاح لمعاذ لطلاء 45 جدارًا وسقفًا متساوون في المساحة في أحد المباني هو 20 يوما، ويستطيع معاذ طلاء 2.5 جدار ، أو سقفين في اليوم الواحد. a. اكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف. b. مثل نظام المتباينات بيانيا ، وحدد منطقة الحل وإحداثيات رؤوسها. c. إذا كان معاذ يتقاضى 26 ريالًا عن طلاء الجدار، و 30 ريالاً عن طلاء السقف، فاكتب دالة تمثل المبلغ الكلي الذي سيتقاضاه. d. ما عدد الجدران والأسقف التي عليه طلاؤها ليتقاضى أكبر مبلغ؟ وما هو هذا المبلغ ؟ --- SECTION: 19 --- عقوبات : اكتب العبارة التالية باستخدام المتباينات، ثم مثلها بيانيا، وحدد مجموعة من الحلول الممكنة وفسرها. «يُعاقب بالسجن مدة لا تقل عن خمس سنوات ولا تزيد عن خمس عشرة سنة، وبغرامة من ألف ريال إلى خمسين ألف ريال؛ كل من حاز مادة مخدرة أو باعها أو اشتراها أو نقلها». --- SECTION: 20 --- شحن يشحن مزارع منتجاته بالتعاون مع شركة شحن مختصة، وذلك في حاويات مبردة تبلغ حمولة الواحدة منها 4200 ، وحجم الحيز الذي توضع فيه البضائع بداخلها 480، وتوضع المنتجات في أثناء الشحن في صناديق بمقاسين؛ صغيرة حجمها 3 وتزن 25 ، وكبيرة حجمها ft3 5، وتزن 50kg، وأجرة شركة الشحن هي 5 ريالات عن كل صندوق من المقاس الصغير، و 8 ريالات عن كل صندوق من المقاس الكبير. a. جد عدد الصناديق المشحونة من كلا النوعين لتكون الأجرة أكبر ما يمكن. b. ما أكبر أجرة ممكنة لحاوية الشحن ؟ --- SECTION: 21 --- إعادة التدوير : يقوم مصنع بإعادة تدوير ما لا يزيد على 1200 طن من البلاستيك شهريا لصنع حاويات بمقاسين صغير وكبير، وعلى المصنع أن يستعمل ما لا يقل عن 300 طن في صنع الحاويات الصغيرة وما لا يقل عن 450 طنا في صنع الحاويات الكبيرة. إذا كان المصنع يحقق ربحا قدره 175 ريالًا لكل طن بلاستيك تم استعماله لصنع الحاويات الصغيرة، و 200 ريال لكل طن تم استعماله لصنع الحاويات الكبيرة. فما أكبر ربح يمكن تحقيقه؟ وما عدد الأطنان المستعملة لكل نوع من الحاويات لتحقيق ذلك الربح ؟ --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: Image of green plastic bottles and a recycling symbol. Context: Illustrates the recycling of plastic materials.