صفحة 49 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 24: حدد نظام المتباينات المختلف عن الأنظمة الثلاثة الأخرى فيما يأتي، وضح إجابتك.

الإجابة: النظام (a) هو المختلف؛ لأن منطقة الحل غير محدودة، بينما الأنظمة الأخرى محدودة.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال. لدينا أربعة أنظمة من المتباينات، والمطلوب تحديد النظام المختلف عن الثلاثة الأخرى. الفكرة هنا هي مقارنة خصائص منطقة الحل لكل نظام. منطقة الحل لنظام المتباينات يمكن أن تكون محدودة (مغلقة ومحصورة في مساحة معينة) أو غير محدودة (ممتدة إلى ما لا نهاية في اتجاه واحد أو أكثر). بعد تحليل الأنظمة، نجد أن ثلاثة منها لها منطقة حل محدودة (مغلقة)، بينما النظام (a) له منطقة حل غير محدودة (مفتوحة وممتدة). إذن الإجابة هي: **النظام (a) هو المختلف؛ لأن منطقة الحل غير محدودة، بينما الأنظمة الأخرى محدودة.**

سؤال 26: حصل عامل على مبلغ 1950 ريالًا أجرة تبليط مساحة من الأرضيات والجدران في أحد البيوت، فإذا كانت أجرة تبليط المتر المربع من الأرضيات 12 ريالا، وأجرة تبليط المتر المربع من الجدران 15 ريالا وكان عدد أمتار بلاط الأرضيات يقل عن 3 أمثال عدد أمتار بلاط الجدران بـ 16m2، فأي أنظمة المعادلات الآتية تمثل هذا الموقف؟

الإجابة: B

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - الأجرة الكلية: 1950 ريال. - أجرة تبليط المتر المربع من الأرضيات: 12 ريال. - أجرة تبليط المتر المربع من الجدران: 15 ريال. - عدد أمتار بلاط الأرضيات (لنسمها x) يقل عن 3 أمثال عدد أمتار بلاط الجدران (لنسمها y) بـ 16 مترًا مربعًا.
2. **الخطوة 2 (صياغة المعادلات):** من المعطى الأول (الأجرة الكلية): $$12x + 15y = 1950$$ من المعطى الثاني (العلاقة بين x و y): عدد أمتار الأرضيات (x) يقل عن 3 أمثال عدد أمتار الجدران (3y) بـ 16، أي: $$x = 3y - 16$$
3. **الخطوة 3 (المقارنة مع الخيارات):** نظام المعادلات الذي يمثل الموقف هو: $$12x + 15y = 1950$$ $$x = 3y - 16$$ بمقارنة هذا مع الخيارات المعطاة، نجد أن الخيار B يتطابق مع هاتين المعادلتين. إذن الإجابة هي: **B**

سؤال 27: هندسة : أي مما يأتي يُعد وصفًا مناسبًا للتمثيل البياني ؟y = 3x-5, 4y = 2x + 16 للمعادلتين

الإجابة: B

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحليل المعادلتين):** لدينا المعادلتان: 1) $$y = 3x - 5$$ 2) $$4y = 2x + 16$$ لنحول المعادلة الثانية إلى صيغة الميل والمقطع (y = mx + b) لتسهيل المقارنة: $$4y = 2x + 16$$ $$y = \frac{2x + 16}{4}$$ $$y = \frac{1}{2}x + 4$$
2. **الخطوة 2 (مقارنة المستقيمين):** المعادلة الأولى: $$y = 3x - 5$$، ميلها $$m_1 = 3$$. المعادلة الثانية: $$y = \frac{1}{2}x + 4$$، ميلها $$m_2 = \frac{1}{2}$$. بما أن الميلين مختلفان ($$3 \neq \frac{1}{2}$$)، فهذا يعني أن المستقيمين متقاطعان (ليسا متوازيين ولا متطابقين). إذن الوصف المناسب هو أن المستقيمين متقاطعان في نقطة واحدة. بمقارنة هذا مع الخيارات المعطاة، نجد أن الخيار B يصف هذا. إذن الإجابة هي: **B**

سؤال 28: حل كل نظام مما يأتي بيانيا : (الدرس 5-1) 3x+2y≥6 4x-y≥2

الإجابة: انظر التمثيل البياني المجاور.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحويل المتباينات إلى معادلات):** لحل النظام بيانيًا، نحول كل متباينة إلى معادلة مستقيم أولاً: 1) $$3x + 2y = 6$$ 2) $$4x - y = 2$$
2. **الخطوة 2 (رسم المستقيمين وتحديد مناطق الحل):** - ارسم المستقيم $$3x + 2y = 6$$ (مثلاً بإيجاد نقطتي تقاطع مع المحاور: عندما x=0، y=3؛ وعندما y=0، x=2). - ارسم المستقيم $$4x - y = 2$$ (مثلاً: عندما x=0، y=-2؛ وعندما y=0، x=0.5). بما أن المتباينات هي ≥ (أكبر من أو يساوي)، فإن منطقة الحل لكل متباينة تشمل المستقيم نفسه (خط متصل) والمنطقة التي تحقق المتباينة.
3. **الخطوة 3 (تحديد منطقة الحل المشتركة):** - للمتباينة الأولى $$3x + 2y \geq 6$$، اختبر نقطة الأصل (0,0): $$3(0) + 2(0) = 0 \geq 6$$؟ لا، إذن منطقة الحل هي الجهة المعاكسة للأصل. - للمتباينة الثانية $$4x - y \geq 2$$، اختبر نقطة الأصل (0,0): $$4(0) - 0 = 0 \geq 2$$؟ لا، إذن منطقة الحل هي الجهة المعاكسة للأصل. منطقة الحل للنظام هي التقاطع بين منطقتي الحل للمتباينتين (المنطقة المشتركة التي تحقق كليهما). إذن الإجابة هي: **انظر التمثيل البياني المجاور.** (حيث تُظهر المنطقة المظللة المشتركة)

سؤال 29: 4x-3y <7 2y-x <-6

الإجابة: انظر التمثيل البياني المجاور.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحويل المتباينات إلى معادلات):** 1) $$4x - 3y = 7$$ 2) $$2y - x = -6$$
2. **الخطوة 2 (رسم المستقيمين وتحديد مناطق الحل):** - ارسم المستقيم $$4x - 3y = 7$$ (مثلاً: عندما x=0، y=-7/3 ≈ -2.33؛ وعندما y=0، x=7/4=1.75). - ارسم المستقيم $$2y - x = -6$$، يمكن إعادة ترتيبها إلى $$x - 2y = 6$$ أو $$y = \frac{x + 6}{2}$$ (مثلاً: عندما x=0، y=3؛ وعندما y=0، x=-6). بما أن المتباينات هي < (أصغر من، بدون يساوي)، فإن منطقة الحل لكل متباينة لا تشمل المستقيم نفسه (خط متقطع) والمنطقة التي تحقق المتباينة.
3. **الخطوة 3 (تحديد منطقة الحل المشتركة):** - للمتباينة الأولى $$4x - 3y < 7$$، اختبر نقطة الأصل (0,0): $$4(0) - 3(0) = 0 < 7$$؟ نعم، إذن منطقة الحل هي الجهة التي تحتوي الأصل. - للمتباينة الثانية $$2y - x < -6$$، اختبر نقطة الأصل (0,0): $$2(0) - 0 = 0 < -6$$؟ لا، إذن منطقة الحل هي الجهة المعاكسة للأصل. منطقة الحل للنظام هي التقاطع بين منطقتي الحل للمتباينتين. إذن الإجابة هي: **انظر التمثيل البياني المجاور.** (حيث تُظهر المنطقة المظللة المشتركة)

سؤال 30: 3y≤2x-8 y≥⅔x-1

الإجابة: انظر التمثيل البياني المجاور.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحويل المتباينات إلى معادلات):** 1) $$3y = 2x - 8$$ 2) $$y = \frac{2}{3}x - 1$$
2. **الخطوة 2 (رسم المستقيمين وتحديد مناطق الحل):** - ارسم المستقيم $$3y = 2x - 8$$، أو $$y = \frac{2}{3}x - \frac{8}{3}$$. - ارسم المستقيم $$y = \frac{2}{3}x - 1$$. لاحظ أن كلا المستقيمين لهما نفس الميل $$\frac{2}{3}$$، لذا هما متوازيان. بما أن المتباينة الأولى هي ≤ (أصغر من أو يساوي)، فإن منطقة الحل تشمل المستقيم (خط متصل) والمنطقة التي تحقق المتباينة. وبما أن المتباينة الثانية هي ≥ (أكبر من أو يساوي)، فإن منطقة الحل تشمل المستقيم (خط متصل) والمنطقة التي تحقق المتباينة.
3. **الخطوة 3 (تحديد منطقة الحل المشتركة):** بما أن المستقيمين متوازيان، فمنطقة الحل للنظام هي الشريط المحصور بينهما (بما في ذلك المستقيمين نفسهما، لأنهما ≤ و ≥). إذن الإجابة هي: **انظر التمثيل البياني المجاور.** (حيث تُظهر المنطقة المظللة بين المستقيمين المتوازيين)

سؤال 31: -7

الإجابة: -٧

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال. العدد المعطى هو -7، والمطلوب كتابته بشكل واضح. الرقم -7 هو عدد صحيح سالب، حيث الإشارة السالبة (-) تسبق الرقم 7. إذن الإجابة هي: **-٧** (مكتوبة بالأرقام العربية أو الهندية حسب السياق، ولكن هنا بالعربية).

سؤال 32: -⅓

الإجابة: $-\frac{١}{٣}$

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال. العدد المعطى هو -⅓، والمطلوب كتابته بشكل واضح. هذا كسر سالب، حيث الإشارة السالبة (-) تسبق الكسر ⅓ (واحد على ثلاثة). في الكتابة الرياضية، نكتبه عادة باستخدام LaTeX للوضوح: $$-\frac{1}{3}$$. إذن الإجابة هي: **$$-\frac{١}{٣}$$** (مكتوبة بالأرقام العربية في البسط والمقام).

سؤال 33: √3

الإجابة: $\sqrt{٣}$

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال. العدد المعطى هو √3، والمطلوب كتابته بشكل واضح. هذا جذر تربيعي للعدد 3، حيث الرمز √ يغطي الرقم 3. في الكتابة الرياضية، نكتبه عادة باستخدام LaTeX للوضوح: $$\sqrt{3}$$. إذن الإجابة هي: **$$\sqrt{٣}$$** (مكتوبة بالرقم العربي ٣ تحت الجذر).

عند مقارنة أنظمة المتباينات الخطية، ما الخاصية التي يمكن استخدامها للتمييز بين نظام مختلف عن البقية؟

• أ) النظام الذي يحتوي على أكبر عدد من المتباينات.
• ب) النظام الذي تكون منطقة حله غير محدودة يختلف عن الأنظمة التي تكون منطقة حلها محدودة.
• ج) النظام الذي يحتوي على معاملات سالبة فقط.
• د) النظام الذي تقع منطقة حله في الربع الأول فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: النظام الذي تكون منطقة حله غير محدودة يختلف عن الأنظمة التي تكون منطقة حلها محدودة.

الشرح: 1. منطقة الحل لنظام المتباينات يمكن أن تكون محدودة (مغلقة ومحصورة) أو غير محدودة (مفتوحة وممتدة). 2. عند مقارنة أنظمة متباينات، النظام الذي له منطقة حل غير محدودة يختلف عن الأنظمة التي لها منطقة حل محدودة. 3. هذه خاصية أساسية في تحليل أنظمة المتباينات الخطية.

تلميح: فكر في شكل منطقة الحل على المستوى الإحداثي. هل هي مغلقة ومحصورة أم مفتوحة وممتدة؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي مما يلي يمثل نظام المعادلات الصحيح لموقف: عامل يكسب 1950 ريالاً، أجرته 12 ريال/م² للأرضيات و15 ريال/م² للجدران، وعدد أمتار الأرضيات يقل عن 3 أمثال أمتار الجدران بـ 16 م²؟

• أ) x + y = 1950 و 3x = y
• ب) 12x + 15y = 1950 و x + 16 = 3y
• ج) 2x + 3y = 15 و x + y = 12
• د) x - y = 1950 و 12x + 15y = 3

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 12x + 15y = 1950 و x + 16 = 3y

الشرح: 1. لتكن x: أمتار الأرضيات، y: أمتار الجدران. 2. المعادلة الأولى (الأجر الكلي): 12x + 15y = 1950. 3. المعادلة الثانية (العلاقة بين الكميات): 'عدد أمتار الأرضيات (x) يقل عن 3 أمثال أمتار الجدران (3y) بـ 16' → x = 3y - 16 أو إعادة ترتيبها: x + 16 = 3y. 4. إذن النظام الصحيح هو: 12x + 15y = 1950 و x + 16 = 3y.

تلميح: افترض أن x تمثل أمتار الأرضيات و y تمثل أمتار الجدران. ثم ترجم العبارات اللفظية إلى معادلات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

عند حل نظام المتباينات 3x + 2y ≥ 6 و 4x - y ≥ 2 بيانيًا، ما الخطوة الأولى الصحيحة؟

• أ) جمع المعادلتين معًا.
• ب) تحويل كل متباينة إلى معادلة خطية (بدون إشارة المتباينة).
• ج) إيجاد قيمة x و y عن طريق التعويض.
• د) رسم منطقة الحل مباشرة دون رسم الخطوط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تحويل كل متباينة إلى معادلة خطية (بدون إشارة المتباينة).

الشرح: 1. الخطوة الأساسية في الحل البياني لأي نظام متباينات خطية هي تحويل كل متباينة إلى معادلة خطية. 2. على سبيل المثال: تحويل 3x + 2y ≥ 6 إلى 3x + 2y = 6 لرسم خط الحدود. 3. ثم نحدد منطقة الحل للمتباينة باستخدام نقطة اختبار (مثل الأصل).

تلميح: تذكر أن الرسم البياني للمتباينة يعتمد على رسم خط الحدود أولاً.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

عند حل نظام المتباينات 3y ≤ 2x - 8 و y ≥ ⅔x - 1 بيانيًا، ما الخاصية الملاحظة لخطي الحدود؟

• أ) خطا الحدود متقاطعان عند نقطة واحدة.
• ب) خطا الحدود متطابقان.
• ج) خطا الحدود متوازيان لأنهما لهما نفس الميل.
• د) خطا الحدود متعامدان.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: خطا الحدود متوازيان لأنهما لهما نفس الميل.

الشرح: 1. المعادلة الأولى: 3y ≤ 2x - 8 → y ≤ (2/3)x - 8/3. 2. المعادلة الثانية: y ≥ (2/3)x - 1. 3. ميل المعادلة الأولى = 2/3، ميل المعادلة الثانية = 2/3. 4. بما أن الميلين متساويان، فإن خطي الحدود متوازيان. 5. منطقة الحل للنظام هي الشريط المحصور بين المستقيمين المتوازيين.

تلميح: اكتب كل معادلة حدود بصيغة y = mx + b وقارن بين الميلين.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط