1-1 خصائص الأعداد الحقيقية (الصفحات: 17-12)

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 مراجعة الدروس (صفحة 51)

المفاهيم الأساسية

* مجموعات الأعداد: (مذكورة في سياق الأمثلة والتمارين) تشمل الأعداد النسبية (Q)، غير النسبية (I)، والحقيقية (R).

* خاصية التوزيع: تُستخدم لتبسيط العبارات الجبرية وحل المسائل الحياتية.

* العلاقة والدالة: العلاقة هي مجموعة من الأزواج المرتبة. تكون الدالة إذا ارتبط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى.

* الدالة المتباينة: دالة يكون لكل عنصر في مجالها صورة مختلفة في مداها.

* مجال ومدى العلاقة: المجال هو مجموعة العناصر الأولى (س)، والمدى هو مجموعة العناصر الثانية (ص).

خريطة المفاهيم

```markmap

ملخص الفصل

1. الأعداد الحقيقية

النسبية (Q)

#### الصحيحة (Z)

#### الكلية (W)

#### الطبيعية (N)

غير النسبية (I)

2. العلاقات والدوال

تعريف الدالة

#### العلاقة التي يرتبط فيها كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى

مجال ومدى العلاقة

الدالة المتباينة

#### كل عنصر في المجال له صورة مختلفة في المدى

3. دوال خاصة

الدالة المتعددة التعريف

4. تمثيل المتباينات بيانياً

خطوات التمثيل

#### الخطوة 1: مثل المعادلة

#### الخطوة 2: اختر نقطة واختبرها

#### الخطوة 3: ظلل المنطقة

5. حل أنظمة المتباينات

إيجاد منطقة الحل المشتركة

6. البرمجة الخطية

إيجاد القيمة العظمى/الصغرى

الحل الأمثل

```

نقاط مهمة

* يمكن تبسيط العبارات الجبرية باستخدام خاصية التوزيع وجمع الحدود المتشابهة.

* لتحديد إذا ما كانت العلاقة تمثل دالة، تأكد من أن كل قيمة لـ (س) ترتبط بقيمة واحدة فقط لـ (ص).

* لإيجاد قيمة الدالة عند عدد معين (مثل f(4))، نعوض مكان المتغير (س) بهذا العدد في قاعدة الدالة.

* يمكن تطبيق مفهوم الدالة على مواقف حياتية، مثل حساب التكلفة الإجمالية بناءً على عدد الوحدات المستأجرة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد مما يأتي:

مثال 1

نوع: محتوى تعليمي

حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد 50√ العدد 50 الذي ينتمي إليها العدد 50√50 = 5√2 ، ومجموعة الأعداد غير النسبية (I)، ومجموعة الأعداد الحقيقية (R).

9

نوع: QUESTION_HOMEWORK

1.3

10

نوع: QUESTION_HOMEWORK

√4

11

نوع: QUESTION_HOMEWORK

-3/4

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

بسّط العبارة : 5b + 4(a + 3b) - 4(a + 3b) + 5b = -4(a) - 4(3b) + 5b = -4a - 12b + 5b = -4a - 7b

12

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4x - 3y + 7x + 5y

13

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2(a + 3) - 4a + 8b

14

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4(2m + 5n) - 3(m - 7n)

15

نوع: محتوى تعليمي

مال: اشترى سعد 3 شطائر بسعر 3.5 ريالات للشطيرة الواحدة، و 3 علب عصير بسعر 2.5 ريال للعلبة الواحدة.
أ) استعمل خاصية التوزيع لكتابة عبارتين تمثل كل منهما المبلغ الذي دفعه سعد.
ب) أوجد المبلغ الذي دفعه سعد باستعمال خاصية التوزيع.

1-2 العلاقات والدوال (الصفحات: 23-18)

نوع: محتوى تعليمي

حدد مجال كل علاقة مما يأتي ومداها، وبيّن ما إذا كانت دالة أم لا.
وإن كانت تمثل دالة أم لا، وهل هي متباينة أم لا؟

مثال 3

نوع: محتوى تعليمي

حدد مجال العلاقة: {(2, 6), (1, 2), (3, 4), (0, -1), (-4, 3), (-1, 0)}.
المجال: {3, 1, 2, 0, -4, -1}
المدى: {6, 0, 3, 4, -1}
كل عنصر في المجال مرتبط بعنصر واحد فقط في المدى، مما يعني أن العلاقة تمثل دالة. العناصر المختلفة في المجال لها صور مختلفة في المدى، إذا الدالة متباينة.

16

نوع: QUESTION_HOMEWORK

{(1, 2), (7, 8), (5, 6), (3, 4)}

17

نوع: QUESTION_HOMEWORK

{(-3, 0), (0, 2), (2, 4), (4, 5), (5, 2)}

18

نوع: QUESTION_HOMEWORK

{(-4, 1), (3, 3), (1, 1), (-2, 5), (3, -4)}

19

نوع: QUESTION_HOMEWORK

{(7, -4), (5, -2), (3, 0), (1, 2), (-1, 4)}

20-25

نوع: محتوى تعليمي

إذا كانت f(x) = 3x + 2 ، أوجد قيمة كل مما يأتي:

20

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(4)

21

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(-3)

22

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(0)

23

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(y)

24

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(-a)

25

نوع: QUESTION_HOMEWORK

f(2w)

مثال 4

نوع: محتوى تعليمي

إذا كانت 3 - 4x = f(x)، فأوجد f(-2).
f(-2) = 4(-2) - 3
= -8 - 3
= -11

26

نوع: QUESTION_HOMEWORK

مناسبات: تتقاضى مؤسسة مناسبات 100 ريال لتجهيز اللوازم المناسبة، و 4 ريالات أجرة يومية عن كل كرسي. ويمكن تمثيل ما تتقاضاه هذه المؤسسة عند استئجار x كرسياً بالمعادلة: 4x + 100 = y. أوجد مجال المعادلة ومداها، ثم حدد ما إذا كانت المعادلة دالة أم لا، وهل هي متصلة أم منفصلة؟

نوع: METADATA

وزارة التعليم
Ministry of Education
2023 - 1447
الفصل 1 دليل الدراسة والمراجعة 51

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: 1-1 خصائص الأعداد الحقيقية (الصفحات: 17-12) ---
حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد مما يأتي:

--- SECTION: مثال 1 ---
حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد 50√ العدد 50 الذي ينتمي إليها العدد 50√50 = 5√2 ، ومجموعة الأعداد غير النسبية (I)، ومجموعة الأعداد الحقيقية (R).

--- SECTION: 9 ---
1.3

--- SECTION: 10 ---
√4

--- SECTION: 11 ---
-3/4

--- SECTION: مثال 2 ---
بسّط العبارة : 5b + 4(a + 3b) - 4(a + 3b) + 5b = -4(a) - 4(3b) + 5b = -4a - 12b + 5b = -4a - 7b

--- SECTION: 12 ---
4x - 3y + 7x + 5y

--- SECTION: 13 ---
2(a + 3) - 4a + 8b

--- SECTION: 14 ---
4(2m + 5n) - 3(m - 7n)

--- SECTION: 15 ---
مال: اشترى سعد 3 شطائر بسعر 3.5 ريالات للشطيرة الواحدة، و 3 علب عصير بسعر 2.5 ريال للعلبة الواحدة.
أ) استعمل خاصية التوزيع لكتابة عبارتين تمثل كل منهما المبلغ الذي دفعه سعد.
ب) أوجد المبلغ الذي دفعه سعد باستعمال خاصية التوزيع.

--- SECTION: 1-2 العلاقات والدوال (الصفحات: 23-18) ---
حدد مجال كل علاقة مما يأتي ومداها، وبيّن ما إذا كانت دالة أم لا.
وإن كانت تمثل دالة أم لا، وهل هي متباينة أم لا؟

--- SECTION: مثال 3 ---
حدد مجال العلاقة: {(2, 6), (1, 2), (3, 4), (0, -1), (-4, 3), (-1, 0)}.
المجال: {3, 1, 2, 0, -4, -1}
المدى: {6, 0, 3, 4, -1}
كل عنصر في المجال مرتبط بعنصر واحد فقط في المدى، مما يعني أن العلاقة تمثل دالة. العناصر المختلفة في المجال لها صور مختلفة في المدى، إذا الدالة متباينة.

--- SECTION: 16 ---
{(1, 2), (7, 8), (5, 6), (3, 4)}

--- SECTION: 17 ---
{(-3, 0), (0, 2), (2, 4), (4, 5), (5, 2)}

--- SECTION: 18 ---
{(-4, 1), (3, 3), (1, 1), (-2, 5), (3, -4)}

--- SECTION: 19 ---
{(7, -4), (5, -2), (3, 0), (1, 2), (-1, 4)}

--- SECTION: 20-25 ---
إذا كانت f(x) = 3x + 2 ، أوجد قيمة كل مما يأتي:

--- SECTION: 20 ---
f(4)

--- SECTION: 21 ---
f(-3)

--- SECTION: 22 ---
f(0)

--- SECTION: 23 ---
f(y)

--- SECTION: 24 ---
f(-a)

--- SECTION: 25 ---
f(2w)

--- SECTION: مثال 4 ---
إذا كانت 3 - 4x = f(x)، فأوجد f(-2).
f(-2) = 4(-2) - 3
= -8 - 3
= -11

--- SECTION: 26 ---
مناسبات: تتقاضى مؤسسة مناسبات 100 ريال لتجهيز اللوازم المناسبة، و 4 ريالات أجرة يومية عن كل كرسي. ويمكن تمثيل ما تتقاضاه هذه المؤسسة عند استئجار x كرسياً بالمعادلة: 4x + 100 = y. أوجد مجال المعادلة ومداها، ثم حدد ما إذا كانت المعادلة دالة أم لا، وهل هي متصلة أم منفصلة؟

وزارة التعليم
Ministry of Education
2023 - 1447
الفصل 1 دليل الدراسة والمراجعة 51

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

باستعمال خاصية التوزيع، ما هي الخطوة الأولى لتبسيط العبارة: 4(a + 3b)؟

أ) 4a + 3b
ب) (4 + a) × (4 + 3b)
ج) 4(a) + 4(3b)
د) 4a × 12b

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 4(a) + 4(3b)

الشرح: 1. خاصية التوزيع تربط بين الضرب والجمع. 2. لحساب 4(a + 3b)، نضرب العدد 4 في كل حد داخل القوس. 3. الخطوة الأولى هي: 4 × a + 4 × 3b. 4. أي: 4a + 12b.

تلميح: خاصية التوزيع: أ(ب + جـ) = أ×ب + أ×جـ.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد √50.

أ) مجموعة الأعداد النسبية (Q) فقط.
ب) مجموعة الأعداد الطبيعية (N) ومجموعة الأعداد الصحيحة (Z).
ج) مجموعة الأعداد غير النسبية (I) ومجموعة الأعداد الحقيقية (R).
د) مجموعة الأعداد الصحيحة (Z) ومجموعة الأعداد النسبية (Q).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: مجموعة الأعداد غير النسبية (I) ومجموعة الأعداد الحقيقية (R).

الشرح: 1. بسّط √50 = √(25×2) = 5√2. 2. بما أن √2 عدد غير نسبي، فإن 5√2 عدد غير نسبي. 3. جميع الأعداد غير النسبية هي أعداد حقيقية. 4. ينتمي العدد إلى: I و R.

تلميح: بسّط العدد تحت الجذر لمعرفة ما إذا كان نسبياً أم لا.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كانت العلاقة ممثلة بمجموعة من الأزواج المرتبة، فما الشرط الذي يجعلها تمثل دالة؟

أ) أن يكون عدد عناصر المجال أكبر من عدد عناصر المدى.
ب) أن يرتبط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى.
ج) أن يكون لكل عنصر في المدى أكثر من عنصر مرتبط به في المجال.
د) أن تكون جميع عناصر المجال أعداداً موجبة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أن يرتبط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى.

الشرح: 1. الدالة هي علاقة تربط كل عنصر في المجال (قيم س) بعنصر واحد فقط في المدى (قيم ص). 2. في مجموعة الأزواج المرتبة، لا يمكن أن يظهر العنصر الأول (س) مرتين مع قيم ص مختلفة. 3. إذا ظهر نفس العنصر الأول مع قيمتين مختلفتين للص، فالعلاقة ليست دالة.

تلميح: تذكّر تعريف الدالة: لكل مدخل (س) مخرج (ص) واحد فقط.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

إذا كانت العلاقة دالة وكانت العناصر المختلفة في المجال لها صور مختلفة في المدى، فماذا نسمي هذه الدالة؟

أ) دالة متصلة.
ب) دالة منفصلة.
ج) دالة متباينة (دالة واحد لواحد).
د) علاقة عكسية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: دالة متباينة (دالة واحد لواحد).

الشرح: 1. الدالة المتباينة (One-to-One Function) هي دالة لا تشترك قيمتان مختلفتان في المجال في نفس القيمة في المدى. 2. بمعنى آخر: إذا كانت f(a) = f(b) فإن a يجب أن تساوي b. 3. هذا يضمن أن كل عنصر في المدى له عنصر واحد فقط في المجال يقابله.

تلميح: هذا النوع من الدوال يضمن أن كل قيمة في المدى تقابل قيمة واحدة فقط في المجال.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

لماذا يُصنف العدد √50 كعدد «غير نسبي» (I) ضمن مجموعات الأعداد الحقيقية؟

أ) لأن ناتج تبسيطه هو 5√2، وبما أنه يحتوي على جذر فهو عدد صحيح.
ب) لأنه لا يمكن كتابته على صورة كسر اعتيادي، وتمثيله العشري غير منتهٍ وغير دوري.
ج) لأن العدد 50 يقع بين المربعين الكاملين 49 و 64 على خط الأعداد.
د) لأن قيمته التقريبية تساوي 7.07، وكل الأعداد العشرية هي أعداد غير نسبية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأنه لا يمكن كتابته على صورة كسر اعتيادي، وتمثيله العشري غير منتهٍ وغير دوري.

الشرح: 1. العدد 50 ليس مربعاً كاملاً (لا يوجد عدد صحيح نضربه في نفسه ليعطي 50). 2. الجذور التربيعية للأعداد التي ليست مربعات كاملة تكون دائماً أعداداً غير نسبية. 3. العدد غير النسبي يتميز بأن تمثيله العشري لا ينتهي ولا يتكرر بنمط دوري. 4. بما أنه لا يمكن كتابته بصيغة كسر (a/b) حيث a, b أعداد صحيحة، فإنه ينتمي للمجموعة I.

تلميح: فكر في الجذور التربيعية للأعداد التي لا تمثل مربعات كاملة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط