صفحة 54 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 البرمجة الخطية والحل الأمثل

المفاهيم الأساسية

البرمجة الخطية: طريقة لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة خطية (دالة الهدف) تحت قيود معينة (متباينات خطية).

خريطة المفاهيم

```markmap

ملخص الفصل

1. الأعداد الحقيقية

النسبية (Q)

#### الصحيحة (Z)

#### الكلية (W)

#### الطبيعية (N)

غير النسبية (I)

2. العلاقات والدوال

تعريف الدالة

#### العلاقة التي يرتبط فيها كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى

مجال ومدى العلاقة

الدالة المتباينة

#### كل عنصر في المجال له صورة مختلفة في المدى

3. دوال خاصة

الدالة المتعددة التعريف

#### كتابتها من التمثيل البياني

#### تمثيلها بيانياً وإيجاد المجال والمدى

دالة أكبر عدد صحيح f(x) = [x]

#### تمثيلها بيانياً وإيجاد المجال والمدى

4. تمثيل المتباينات بيانياً

خطوات التمثيل

#### الخطوة 1: مثل المعادلة المرتبطة

##### إذا كانت الإشارة > أو < يكون الحد متقطعاً

##### إذا كانت الإشارة ≥ أو ≤ يكون الحد متصلاً

#### الخطوة 2: اختر نقطة اختيار (مثل (0,0)) واختبرها في المتباينة

#### الخطوة 3: ظلل المنطقة التي تحقق المتباينة

##### إذا كانت النقطة تحقق المتباينة، ظلل المنطقة التي تحتويها

##### إذا كانت النقطة لا تحقق المتباينة، ظلل المنطقة التي لا تحتويها

أنواع المتباينات في هذه الصفحة

#### متباينات خطية (مثل: x - 3y < 6)

#### متباينات بالقيمة المطلقة (مثل: y > |2x|)

#### مسائل كلامية (تمثيل موقف بمتباينة)

5. حل أنظمة المتباينات

إيجاد منطقة الحل المشتركة

#### منطقة الحل هي المنطقة التي تحقق جميع متباينات النظام

أنواع الأنظمة في هذه الصفحة

#### أنظمة متباينات خطية

#### أنظمة تحتوي على متباينات بالقيمة المطلقة

#### مسائل كلامية (تمثيل موقف بنظام متباينات)

6. البرمجة الخطية

إيجاد القيمة العظمى/الصغرى

الحل الأمثل

#### خطوات حل مسألة البرمجة الخطية

##### 1. تعريف المتغيرات (مثل: x = عدد المنتج أ، y = عدد المنتج ب)

##### 2. كتابة متباينات القيود (الزمن، المساحة، المواد، إلخ)

##### 3. كتابة دالة الهدف (الربح، التكلفة، إلخ) مثل: f(x,y) = 8x + 12y

##### 4. تمثيل منطقة الحل بيانياً وإيجاد رؤوسها

##### 5. تعويض رؤوس منطقة الحل في دالة الهدف لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى

#### أمثلة تطبيقية

##### مثال: تنسيق أزهار (الباقات)

##### مثال: زراعة (الشتلات)

##### مثال: صناعة (الأحذية)

```

نقاط مهمة

  • منطقة الحل في البرمجة الخطية هي منطقة تقاطع جميع القيود (المتباينات).
  • الحل الأمثل (القيمة العظمى أو الصغرى) يقع دائماً عند أحد رؤوس منطقة الحل.
  • لإيجاد الحل الأمثل، نعوض إحداثيات كل رأس من رؤوس منطقة الحل في دالة الهدف ونقارن النتائج.
  • مثال: في مسألة الزراعة، كانت القيود: x ≥ 0, y ≥ 0, 6x + 24y ≤ 5184, x + y ≤ 300 ودالة التكلفة: f(x,y) = 8x + 12y، وكان الحل الأمثل عند الرأس (112, 188).

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: البرمجة الخطية والحل الأمثل --- البرمجة الخطية والحل الأمثل (الصفحات: 49-44) --- SECTION: تنسيق أزهار --- تنسيق أزهار يعمل جميل منسقا للأزهار، ويقوم بتنسيق نوعين من باقات الأزهار. يحتاج النوع الأول منها إلى 18 دقيقة، والنوع الثاني إلى 10 دقائق. ولا يزيد عدد الباقات التي ينتجها أسبوعيًا من النوع الثاني عن ضعف عدد باقات النوع الأول. فإذا كان جميل يعمل مدة لا تزيد على 40 ساعة أسبوعيا وكان ربحه في تنسيق الباقة من النوع الأول 10 ريالات، ومن النوع الثاني 25 ريالا. فحدد عدد الباقات التي يجب عليه تنسيقها من كل نوع أسبوعيا ليحصل على أكبر ربح. --- SECTION: مثال 8 --- مثال 8 زراعة : يزرع فيصل ما لا يزيد على 300 شتلة من نوعين من الأشجار في مزرعته التي مساحتها 51842، حيث تحتاج الشجرة الواحدة من النوع (A) إلى مساحة 6m2، ومن النوع (B) إلى 242 ، وذلك لتوفير مسافة كافية بين الأشجار. إذا كان سعر الشتلة الواحدة من النوع (A) 8 ريالات، وسعر الشتلة الواحدة من النوع (B) 12 ريالا. فما عدد الشتلات من كل نوع الذي يجعل التكلفة أكبر ما يمكن؟ افرض أن X هي عدد الشتلات من النوع (A)، و y هي عدد الشتلات من النوع (B). x ≥ 0, y ≥ 0 6x + 24y≤ 5184 x + y ≤ 300 مثل المتباينات بيانيا، ولاحظ أن النقاط (0, 0), (300, 0), (0, 216), (112, 188) تمثل رؤوس منطقة الحل . دالة التكلفة هي : 12 + f(x,y) = 8x. القيمة 3152 ريالاً هي القيمة العظمى للتكلفة وتحصل عند النقطة (112188). ولذلك إذا زرع فيصل 112 شتلة من النوع (A)، و 188 شتلة من النوع (B) فإن التكلفة تكون أكبر ما يمكن. --- SECTION: صناعة --- صناعة : ينتج مصنع نوعين من الأحذية على مرحلتين، ويحتاج الحذاء من النوع الأول إلى ساعتين في المرحلة الأولى وساعة واحدة في المرحلة الثانية، ويحقق ربحا قدره 20 ريالاً . أما الحذاء من النوع الثاني فيحتاج إلى ساعة واحدة في المرحلة الأولى و 3 ساعات في المرحلة الثانية ويحقق ربحا قدره 15 ريالا. فإذا كان مجموع ساعات العمل اليومي لموظفي المرحلة الأولى لا يزيد على 40 ساعة ولا يزيد على 60 ساعة لموظفي المرحلة الثانية، فما أكبر ربح يمكن أن تحققه الشركة يوميًا ؟ وما عدد الأحذية من كل نوع الذي يحقق هذا الربح ؟ --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Graph of a feasible region for a linear programming problem. The region is bounded by the x-axis, y-axis, and two linear segments. X-axis: x Y-axis: y Data: The feasible region is a polygon with vertices at (0, 0), (300, 0), (112, 188), and (0, 216).

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 10

سؤال س:١: حل كل معادلة أو متباينة مما يأتي: (1) $\frac{1}{x-4} = \frac{2}{x-2}$

الإجابة: $x = ٦$

سؤال س:٢: (2) $\frac{1}{x-4} - \frac{2}{x-2} = 0$

الإجابة: $x = ٦$

سؤال س:٣: (3) $\frac{x}{x-4} = \frac{2}{x-2}$

الإجابة: $x = ٦$

سؤال س:٤: (4) $\frac{1}{x-1} = \frac{x}{x-1}$

الإجابة: ليس لها حل

سؤال س:٥: (5) $\frac{1}{x+1} > 0$

الإجابة: $x > -1$

سؤال س:٦: (6) $\frac{4}{x^2} \ge 1$

الإجابة: $x \ne 0, -2 \le x \le 2$

سؤال س:٧: (7) $\frac{x}{x-2} \le 0$

الإجابة: $0 \le x < 2$

سؤال س:٨: (8) $\frac{x+1}{x-3} \ge 2$

الإجابة: $3 < x \le 7$

سؤال س:٩: (9) $\frac{x^2+3x-4}{x^2-4} \le 0$

الإجابة: لا يوجد حل

سؤال س:١٠: (10) $\frac{x^2-2x-8}{x^2-9} \ge 0$

الإجابة: $x \le -3 \text{ أو } -2 \le x \le 3 \text{ أو } x \ge 4$

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 3 بطاقة لهذه الصفحة

في مثال زراعة الأشجار، إذا كانت دالة التكلفة هي f(x, y) = 8x + 12y، وكانت رؤوس منطقة الحل هي (0,0), (300,0), (0,216), (112,188)، فأي رأس يعطي أكبر تكلفة؟

  • أ) (٠, ٠)
  • ب) (٣٠٠, ٠)
  • ج) (٠, ٢١٦)
  • د) (١١٢, ١٨٨)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (١١٢, ١٨٨)

الشرح: ١. عوّض في دالة التكلفة: f(x,y) = 8x + 12y. ٢. عند (0,0): f = 0. ٣. عند (300,0): f = 8*300 = 2400. ٤. عند (0,216): f = 12*216 = 2592. ٥. عند (112,188): f = (8*112) + (12*188) = 896 + 2256 = 3152. ٦. أكبر قيمة هي 3152 عند الرأس (112, 188).

تلميح: عوّض إحداثيات كل رأس في دالة التكلفة وقارن النتائج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في مسألة البرمجة الخطية، ما الشرط الأساسي الذي يجب أن يحققه أي حل ممكن (x, y)؟

  • أ) يجب أن يحقق دالة الهدف فقط.
  • ب) يجب أن يكون x و y أعدادًا صحيحة موجبة.
  • ج) يجب أن يقع داخل أو على حدود منطقة الحل الممثلة بيانيًا.
  • د) يجب أن يحقق متباينة واحدة على الأقل من النظام.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يجب أن يقع داخل أو على حدود منطقة الحل الممثلة بيانيًا.

الشرح: ١. حل نظام المتباينات الخطية هو مجموعة جميع النقاط (x, y) التي تحقق جميع المتباينات. ٢. عند تمثيل هذه المتباينات بيانيًا، تشكل منطقة في المستوى الإحداثي تسمى 'منطقة الحل'. ٣. أي حل ممكن (مثل عدد الباقات أو الشتلات) يجب أن تكون إحداثياته تنتمي إلى هذه المنطقة. ٤. القيمة المثلى (العظمى أو الصغرى) للدالة الهدف توجد عادة عند أحد رؤوس هذه المنطقة.

تلميح: فكر في المعنى الهندسي لحل نظام المتباينات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في مسألة مصنع الأحذية، إذا كان x عدد أحذية النوع الأول، و y عدد أحذية النوع الثاني، فأي نظام متباينات يمثل قيود المرحلتين الإنتاجيتين؟

  • أ) س + ص ≤ ٤٠، ٢س + ٣ص ≤ ٦٠
  • ب) ٢س + ص ≤ ٤٠، س + ٣ص ≤ ٦٠
  • ج) ٣س + ص ≤ ٤٠، س + ٢ص ≤ ٦٠
  • د) ٢س + ٣ص ≤ ١٠٠

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٢س + ص ≤ ٤٠، س + ٣ص ≤ ٦٠

الشرح: ١. المرحلة الأولى: النوع الأول يحتاج ٢ ساعة، النوع الثاني يحتاج ١ ساعة. المجموع لا يزيد عن ٤٠ ساعة: ٢س + ١ص ≤ ٤٠. ٢. المرحلة الثانية: النوع الأول يحتاج ١ ساعة، النوع الثاني يحتاج ٣ ساعات. المجموع لا يزيد عن ٦٠ ساعة: ١س + ٣ص ≤ ٦٠. ٣. النظام هو: ٢س + ص ≤ ٤٠ و س + ٣ص ≤ ٦٠، مع س ≥ ٠، ص ≥ ٠.

تلميح: اقرأ وقت كل نوع في كل مرحلة، واجمع الأوقات لكل مرحلة على حدة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط