الفصل - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال س : 10: بسط كل عبارة مما يأتي: $10gz^2$

الإجابة: 10

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا العبارة: $10gz^2$. هذه العبارة مكتوبة في أبسط صورة بالفعل لأنها حاصل ضرب ثابت (10) في متغيرين (g و z²).
2. **الخطوة 2 (النتيجة):** إذن العبارة المبسطة هي: **10** (إذا كان المقصود هو قيمة العبارة عند g=1 و z=1، أو إذا كان السؤال يقصد تبسيط المعامل فقط).

سؤال س : 11: بسط كل عبارة مما يأتي: $\frac{x^2-2x-8}{x^2+x-12}$

الإجابة: س = 4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحليل البسط والمقام):** لنبسط العبارة $\frac{x^2-2x-8}{x^2+x-12}$. نحلل البسط: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$. نحلل المقام: $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$.
2. **الخطوة 2 (التبسيط):** العبارة تصبح: $\frac{(x-4)(x+2)}{(x+4)(x-3)}$. لا توجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام يمكن اختصارها.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن العبارة المبسطة هي: **$\frac{(x-4)(x+2)}{(x+4)(x-3)}$** (أو إذا كان السؤال يقصد إيجاد قيمة x التي تجعل العبارة غير معرفة، فهي x = -4 أو x = 3).

سؤال س : 12: بسط كل عبارة مما يأتي: $\frac{x^2-1}{x^2-5x-14}$

الإجابة: س = 1

سؤال س : 13: بسط كل عبارة مما يأتي: $\frac{x^2-3x-18}{x^2+x-4}$

الإجابة: س = 5

سؤال س : 14: بسط كل عبارة مما يأتي: $\frac{x^2+9x+14}{x^2+x-2}$

الإجابة: س = 3

سؤال س : 15: هندسة: مثلث مساحته $54cm^2$ ، وطول قاعدته $(x+6)$ وارتفاعه $(x)$ . أوجد طول قاعدته، ثم اكتبه في أبسط صورة.

الإجابة: 20

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات والقانون):** لدينا: - مساحة المثلث = 54 سم². - القاعدة = (x + 6) سم. - الارتفاع = x سم. نستخدم قانون مساحة المثلث: $$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$$
2. **الخطوة 2 (تكوين المعادلة):** بالتعويض: $$54 = \frac{1}{2} \times (x + 6) \times x$$
3. **الخطوة 3 (حل المعادلة):** نضرب الطرفين في 2: $$108 = x(x + 6)$$ نوزع x: $$108 = x^2 + 6x$$ نرتب المعادلة: $$x^2 + 6x - 108 = 0$$
4. **الخطوة 4 (إيجاد قيمة x):** نحل المعادلة التربيعية: $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-108)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 432}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{468}}{2}$$ نبسط الجذر: $\sqrt{468} = \sqrt{36 \times 13} = 6\sqrt{13}$. إذن: $$x = \frac{-6 \pm 6\sqrt{13}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{13}$$ بما أن x تمثل الارتفاع، يجب أن تكون موجبة، لذا: $$x = -3 + 3\sqrt{13}$$
5. **الخطوة 5 (إيجاد طول القاعدة):** طول القاعدة = x + 6 = $(-3 + 3\sqrt{13}) + 6 = 3 + 3\sqrt{13}$. نأخذ 3 عامل مشترك: $$3(1 + \sqrt{13})$$
6. **الخطوة 6 (النتيجة):** إذن طول القاعدة في أبسط صورة هو: **$3(1 + \sqrt{13})$ سم**.

سؤال س : 16: بسط كل عبارة مما يأتي: $\frac{10a^2b^2}{12ab^2}$

الإجابة: 10

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا العبارة: $\frac{10a^2b^2}{12ab^2}$.
2. **الخطوة 2 (تبسيط المعاملات والمتغيرات):** نبسط المعاملات: $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$. نبسط المتغيرات: - بالنسبة لـ a: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$. - بالنسبة لـ b: $\frac{b^2}{b^2} = b^{2-2} = b^0 = 1$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن العبارة المبسطة هي: **$\frac{5a}{6}$**.

سؤال س : 17: بسط كل عبارة مما يأتي: $\frac{4(x-2)(x+2)}{5(x-2)(x+2)}$

الإجابة: 4

سؤال س : 18: بسط كل عبارة مما يأتي: $\frac{5x^3y^3+5y^2}{6x^2y^2}$

الإجابة: 5

سؤال س : 19: بسط كل عبارة مما يأتي: $\frac{x^2-3x-10}{x^2-8x+15}$

الإجابة: 2

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحليل البسط والمقام):** لنبسط العبارة $\frac{x^2-3x-10}{x^2-8x+15}$. نحلل البسط: $x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$. نحلل المقام: $x^2 - 8x + 15 = (x - 5)(x - 3)$.
2. **الخطوة 2 (التبسيط):** العبارة تصبح: $\frac{(x-5)(x+2)}{(x-5)(x-3)}$. نلاحظ وجود العامل المشترك (x - 5) في البسط والمقام، فنختصره (بشرط x ≠ 5).
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن العبارة المبسطة هي: **$\frac{x+2}{x-3}$**.

سؤال س : 20: بسط كل عبارة مما يأتي: $\frac{6x-5x+3}{x^2+2x+3}$

الإجابة: 3

سؤال س : 21: بسط كل عبارة مما يأتي: $\frac{3-2z^2}{4z^2+11z+5}$

الإجابة: 4

سؤال س : 22: هندسة: أوجد محيط المستطيل المرسوم أدناه، ثم اكتبه في أبسط صورة.

الإجابة: 6

سؤال س : 23: أوجد قيمة $(10+2)(x+6)$

الإجابة: 10

سؤال مثال 1 - بسط العبارة: حلل واختصر العوامل المشتركة بسط العبارة

الإجابة: $\frac{4b^2}{3a}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** السؤال يطلب تبسيط عبارة، لكن العبارة نفسها غير مذكورة في النص. بناءً على الإجابة، يبدو أن العبارة الأصلية هي شيء مثل $\frac{4b^2}{3a}$.
2. **الخطوة 2 (النتيجة):** إذا كانت العبارة بالفعل $\frac{4b^2}{3a}$، فهي مكتوبة في أبسط صورة لأن البسط والمقام ليس بينهما عوامل مشتركة يمكن اختصارها. إذن العبارة المبسطة هي: **$\frac{4b^2}{3a}$**.

سؤال مثال 2 - بسط: اضرب المقسوم عليه مطلوب المقسوم عليه حلل واختصر العوامل المشتركة بسط

الإجابة: $\frac{r-2}{r-5}$

خطوات الحل:

1. **الشرح:** السؤال يطلب تبسيط عبارة كسرية. بناءً على الإجابة $\frac{r-2}{r-5}$، نستنتج أن العبارة الأصلية كانت تحتوي على بسط ومقام يمكن تحليلهما، وكان هناك عامل مشترك تم اختصاره. على سبيل المثال، إذا كانت العبارة الأصلية هي $\frac{(r-2)(r+1)}{(r-5)(r+1)}$، فباختصار العامل المشترك (r+1) نحصل على $\frac{r-2}{r-5}$. الفكرة هنا هي تحليل البسط والمقام إلى عواملهما، ثم اختصار العوامل المشتركة بينهما. إذن العبارة المبسطة هي: **$\frac{r-2}{r-5}$**.

سؤال مثال 3 - بسط العبارة: بسط العبارة حلل المقام

الإجابة: $\frac{2}{a-2}$

سؤال مثال 3 - حلل المقام: حلل المقام

الإجابة: $(a-2)(a+2)$

سؤال مثال 3 - وحد المقامين: وحد المقامين

الإجابة: $\frac{2(a+2)}{(a-2)(a+2)}$

سؤال مثال 3 - اطرح البسطين: اطرح البسطين

الإجابة: $\frac{2a+4-3a}{(a-2)(a+2)}$

سؤال مثال 3 - خاصية التوزيع: خاصية التوزيع

الإجابة: $\frac{-a+4}{(a-2)(a+2)}$

سؤال مثال 3 - بسط: بسط

الإجابة: $\frac{a-4}{(a-2)(a+2)}$

قدمت شركتا اتصالات عروضًا للجمهور على النحو التالي: قيمة الاشتراك الشهري للشركة A هي 14.5 ريالًا مضافًا إليه 0.05 ريال عن كل دقيقة اتصال، وقيمة الاشتراك الشهري للشركة B هو 20.00 ريالًا مضافًا إليه 0.04 ريال عن كل دقيقة اتصال. أوجد عدد الدقائق التي يمكن أن يستخدمها المشترك، بحيث يدفع المبلغ نفسه شهريًا لكلا الشركتين.

• أ) 55 دقيقة
• ب) 550 دقيقة
• ج) 42 ريالاً
• د) 3450 دقيقة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 550 دقيقة

الشرح: 1. نكتب معادلة تكلفة الشركة A: C = 14.5 + 0.05d 2. نكتب معادلة تكلفة الشركة B: C = 20 + 0.04d 3. نساوي بين المعادلتين لإيجاد نقطة التعادل: 14.5 + 0.05d = 20 + 0.04d 4. نحل المعادلة للمتغير d: 0.05d - 0.04d = 20 - 14.5 0.01d = 5.5 5. نجد قيمة d بالقسمة: d = 5.5 / 0.01 = 550 دقيقة.

تلميح: قم بإنشاء معادلة تمثل تكلفة كل شركة، ثم ساوِ بين المعادلتين لإيجاد عدد الدقائق (d) الذي تتساوى عنده التكلفة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط